Basel problem (original) (raw)
Das Basler Problem ist ein mathematisches Problem, das für längere Zeit ungelöst war und mit dem sich anfangs vor allem Basler Mathematiker befassten. Es handelt sich um die Frage nach der Summe der reziproken Quadratzahlen, also nach dem Wert der Reihe Es wurde 1735 durch Leonhard Euler gelöst, der den Reihenwert fand. Man kann dies auch als Suche nach dem Wert für die riemannsche ζ-Funktion an der Stelle 2 auffassen, die definitionsgemäß durch die angegebene unendliche Reihe dargestellt wird. Das Basler Problem ist äquivalent zu wegen
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| dbo:abstract | Basilejský problém se ptá na součet nekonečné řady převrácených hodnot čtverců přirozených čísel: Jde o otázku z oboru matematické analýzy, jejíž odpověď výrazně pomohla teorii čísel. Problém formuloval Pietro Mengoli roku 1650; a protože evropské matematiky na tuto otázku upozornil basilejský profesor matematiky Jacob Bernoulli, říká se mu basilejský problém. Vyřešil ho 28letý Leonard Euler v roce 1735 a ukázalo se, že výsledek je Řešení tohoto problému mělo významný dopad na další vývoj matematické analýzy, na teorii čísel a později i na komplexní analýzu. Nakonec se řada inverzních čtverců ukázala jako první krok k zavedení Riemannovy funkce zeta. Sám Euler zahájil tuto cestu zavedením zobecnění řady pro libovolnou sudou mocninu s, a také odvozením identity se součinem nekonečné řady obsahující všechna prvočísla: (cs) مسألة بازل أو معضلة بازل هي مسألة في التحليل الرياضي ذات صلة بنظرية الأعداد. طرحها بترو منجولي عام 1644 وحلها ليونارد أويلر في عام 1734. وقد عَرض الحل في 5 ديسمبر 1735 في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم. صمدَت المسألة ضد هجمات علماء الرياضيات البارزين في ذلك العصر. حل أويلر جلب له شهرة فورية وعمره لم يكن يتجاوز الثامنة والعشرين.قام أويلر بتعميم طريقة حله، وقد أخذ برنارد ريمان أفكاره لاحقًا بسنوات في بحثه المنشور عام 1859 بعنوان حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما، والذي حدد فيه دالة زيتا وأثبت خصائصها الأساسية.سميت المسألة بـمعضلة بازل نسبة إلى المدينة السويسرية بازل، مسقط رأس أويلر والمدينة التي عاشت فيها عائلة برنولي الذين هاجموا المسألة بلا جدوى. تطالب مسألة بازل بحاصل الجمع الدقيق لمقلوبات مربعات الأعداد الطبيعية، أي حاصل جمع المتسلسلة اللا نهائية: . حاصل الجمع التقريبي لهذه المسألة هو 1.644934، ولكن المطلوب هو إيجاد حاصل الجمع الدقيق للمتسلسلة بصورة مبسطة (أي بتعبير منغلق الشكل مثل الكسور)، مع البرهان وهو الذي وجده أويلر π26.أعلن عن اكتشافه للحل في عام 1735. استندَت حُجج وبراهين أويلر على نتائج رياضية لم يكن مبرهنا عنهن في ذلك الوقت، على الرغم من أن صحتها ثبتت في وقت لاحق. لم يقدم أويلر برهانا صارما على نتيجته هذه إلا في حدود عام 1741. (ar) El problema de Basilea és un problema famós en teoria de nombres, plantejat per primer a vegada per Pietro Mengoli el 1644, tot i que la fou Jakob Bernoulli qui el donà a conèixer més àmpliament (i d'ell prové el seu nom, ja que Jakob Bernoulli residia a Basilea). Fou solucionat per Leonhard Euler el 1735, després de resistir els atacs de diversos matemàtics. Es pot enunciar de la següent forma: Quin és el valor exacte de la suma dels inversos dels quadrats dels nombres naturals? és a dir, quin és valor exacte de la La sèrie s'aproxima a un valor proper a 1,644934..., que es pot anar calculant fàcilment afegint termes de la sèrie, però el problema demana el valor exacte, és a dir en una forma tancada (com una fracció, per exemple). Euler demostrà que la suma exacta de la sèrie és π²/6 i ho anuncià el 1735. Tot i així encara trigà 10 anys a donar una demostració totalment rigorosa, ja que la primera realitzava algunes operacions que no estaven plenament justificades. Cal dir que la generalització d'aquesta sèrie per a qualsevol exponent real o complex és precisament la funció zeta de Riemann, d'importància cabdal en teoria de nombres. (ca) Das Basler Problem ist ein mathematisches Problem, das für längere Zeit ungelöst war und mit dem sich anfangs vor allem Basler Mathematiker befassten. Es handelt sich um die Frage nach der Summe der reziproken Quadratzahlen, also nach dem Wert der Reihe Es wurde 1735 durch Leonhard Euler gelöst, der den Reihenwert fand. Man kann dies auch als Suche nach dem Wert für die riemannsche ζ-Funktion an der Stelle 2 auffassen, die definitionsgemäß durch die angegebene unendliche Reihe dargestellt wird. Das Basler Problem ist äquivalent zu wegen (de) The Basel problem is a problem in mathematical analysis with relevance to number theory, concerning an infinite sum of inverse squares. It was first posed by Pietro Mengoli in 1650 and solved by Leonhard Euler in 1734, and read on 5 December 1735 in The Saint Petersburg Academy of Sciences. Since the problem had withstood the attacks of the leading mathematicians of the day, Euler's solution brought him immediate fame when he was twenty-eight. Euler generalised the problem considerably, and his ideas were taken up years later by Bernhard Riemann in his seminal 1859 paper "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude", in which he defined his zeta function and proved its basic properties. The problem is named after Basel, hometown of Euler as well as of the Bernoulli family who unsuccessfully attacked the problem. The Basel problem asks for the precise summation of the reciprocals of the squares of the natural numbers, i.e. the precise sum of the infinite series: The sum of the series is approximately equal to 1.644934. The Basel problem asks for the exact sum of this series (in closed form), as well as a proof that this sum is correct. Euler found the exact sum to be and announced this discovery in 1735. His arguments were based on manipulations that were not justified at the time, although he was later proven correct. He produced a truly rigorous proof in 1741. The solution to this problem can be used to estimate the probability that two large random numbers are coprime. Two random integers in the range from 1 to , in the limit as goes to infinity, are relatively prime with a probability that approaches , the reciprocal of the solution to the Basel problem. (en) El Problema de Basilea es un famoso problema de teoría de números, planteado por primera vez por Pietro Mengoli, y resuelto por Leonhard Euler en 1735. Puesto que el problema había resistido los ataques de los matemáticos más importantes de la época, la solución llevó a Euler rápidamente a la fama cuando tenía veintiocho años. Euler generalizó el problema considerablemente, y sus ideas fueron tomadas años después por Bernhard Riemann en su artículo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sobre la cantidad de números primos menores que una magnitud dada), en donde definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. El problema debe su nombre a la ciudad de residencia de Euler (Basilea), ciudad donde vivía también la familia Bernoulli, que trató el problema sin éxito. El problema de Basilea consiste en encontrar la suma exacta de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos, esto es, la suma exacta de la serie infinita: Numéricamente, se puede obtener que la serie es aproximadamente igual a 1,644934. Sin embargo, el problema de Basilea busca la suma exacta de la serie, de forma cerrada, así como una demostración de que dicha suma es correcta. Euler encontró que la suma exacta era π2/6 y anunció su descubrimiento en 1735. Sus argumentos estaban basados en manipulaciones que no estaban aún justificadas, y no fue hasta 1741 cuando pudo dar una demostración verdaderamente rigurosa. Aunque es poco conocido, esta suma puede escribirse, en forma de integral, como función de dos variables. A menudo, se coloca como ejercicio para estudiantes de matemáticas: Otra forma de expresar esta serie es mediante la integral de una sola variable: (es) En mathématiques, le problème de Bâle (connu parfois aussi sous le nom de problème de Mengoli) est un problème renommé de théorie des nombres, qui consiste à demander la valeur de la somme de la série convergente : Le problème a été résolu par Leonhard Euler, qui établit que cette somme vaut : et en donna une première preuve en 1735, puis une deuxième, plus rigoureuse, en 1741. Posé en premier par Pietro Mengoli en 1644, étudié 40 ans plus tard par Jacques Bernoulli né à Bâle, le problème résiste aux attaques des mathématiciens éminents de l'époque. Des valeurs approchées furent d'abord calculées, la valeur demandée étant approximativement égale à 1,64493406684822640. À cause de la lente convergence de la série, une telle valeur approchée n'a pu être trouvée qu'en mettant en œuvre des méthodes d'accélération de convergence, ce qui a notamment été fait par Stirling en 1730 et Euler en 1731. Euler, dont Bâle est également la ville natale, annonce en 1735 la découverte de la somme exacte. Mais ses arguments d’alors font intervenir des produits infinis de façon non rigoureuse. Euler obtient une notoriété immédiate. Il a considérablement généralisé le problème et ses idées seront reprises par le mathématicien allemand Bernhard Riemann dans son article de 1859, dans lequel celui-ci définit la fonction ζ, en démontre les propriétés de base et énonce sa célèbre hypothèse. Six ans plus tard, en 1741, Euler produit . (fr) Il problema di Basilea è un famoso problema dell'analisi matematica, proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644 e risolto da Eulero nel 1735. Il problema aveva resistito agli attacchi dei più grandi matematici dell'epoca e quindi la soluzione di Eulero, appena ventottenne, suscitò stupore e ammirazione. Il problema di Basilea chiede di scoprire la somma esatta della serie infinita: La serie è approssimativamente uguale a 1,644934.... Il problema di Basilea consiste nel trovare la somma esatta di questa serie. Eulero dimostrò che la somma esatta è e annunciò questa scoperta nel 1735. Le sue dimostrazioni erano basate su passaggi non chiariti appieno. Per una dimostrazione rigorosa bisognerà aspettare fino al 1741. (it) 바젤 문제(영어: Basel Problem)는 1650년 이탈리아의 수학자 피에트로 멩골리(이탈리아어: Pietro Mengoli)에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다. 이 문제는 제안된 이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었던 난제였다. '바젤 문제'라는 이름은 이 문제를 수학계에 널리 알린 야코프 베르누이가 재직하던 스위스 바젤시의 바젤 대학에서 유래된 것이다. 레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가 로 수렴함을 증명하였다. 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다. (ko) Het Bazel-probleem is een beroemd probleem uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde. Het Bazel-probleem werd voor het eerst in 1644 aan de orde gesteld door Pietro Mengoli, en werd bijna honderd jaar later, in 1735, opgelost door Leonhard Euler. Het probleem is naar de stad Bazel genoemd, de thuisstad van zowel Euler als de familie Bernoulli. Diverse Bernoulli's waren er eerder niet in geslaagd dit probleem op te lossen. Gezien het feit dat het probleem drie generaties lang, ook door de vooraanstaande wiskundigen, niet kon worden opgelost, bracht zijn bewijs Euler, op zijn achtentwintigste, ogenblikkelijke roem. Door gebruik te maken van reeksontwikkelingen gaf Euler een oplossing, waarmee meer kan worden bewezen dan alleen het Bazel-probleem. Zijn ideeën werden meer dan honderd jaar later, in 1859, door Bernhard Riemann opgepakt en verder uitgewerkt in diens vruchtdragende artikel Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (Over het aantal priemgetallen kleiner dan een gegeven getal), waarin Riemann de Riemann-zèta-functie definieerde en tevens de basale eigenschappen van deze zèta-functie bewees. Het Bazel-probleem vraagt naar de sommatie van de multiplicatieve inversen van de kwadraten van de natuurlijke getallen, dat wil zeggen de (exacte) som van de reeks: Deze reeks is bij benadering gelijk aan 1,644 934. Het Bazel-probleem vraagt echter zowel naar de exacte som van deze rij, alsook naar het bewijs dat deze som correct is. Euler slaagde erin te bewijzen dat: en maakte deze ontdekking in 1735 bekend. Zijn argumenten waren echter gebaseerd op manipulaties die ook in zijn tijd niet waren toegestaan. In 1741 gaf hij alsnog een wiskundig sluitend bewijs. (nl) バーゼル問題（バーゼルもんだい、英: Basel problem）は、級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和はいくつかという問題である。ヤコブ・ベルヌーイやレオンハルト・オイラーなどバーゼル出身の数学者がこの問題に取り組んだことからこの名前で呼ばれる。 (ja) Problem bazylejski – zagadnienie z teorii liczb sformułowane po raz pierwszy w 1644 roku przez włoskiego matematyka Piotra Mengolego, które zostało rozwiązane w 1735 roku przez Leonarda Eulera. Ponieważ problem ten przez blisko 100 lat opierał się podejmowanym przez ówczesnych czołowych matematyków próbom rozwiązania, podołanie temu zadaniu przez dwudziestoośmioletniego Eulera przyniosło mu natychmiastową sławę. Euler w znacznym stopniu uogólnił pierwotne zagadnienie; jego pomysły zostały podjęte w 1859 przez Bernarda Riemanna w jego doniosłej pracy Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, w której zdefiniował funkcję dzeta i udowodnił jej podstawowe właściwości. Nazwa problemu bazylejskiego pochodzi od Bazylei, rodzinnego miasta Eulera i rodziny Bernoullich – znanych szwajcarskich matematyków, którzy bezskutecznie zmagali się z tym zadaniem. Przedmiotem problemu bazylejskiego w jego pierwotnym brzmieniu było znalezienie dokładnej sumy odwrotności kwadratów wszystkich liczb naturalnych, tj. sumy szeregu: Suma ta z dokładnością do szóstego miejsca po przecinku wynosi 1,644934. Istotą bazylejskiego problemu było jednak znalezienie odpowiedzi na pytanie jaka jest dokładna suma tego szeregu i przeprowadzenie na to odpowiedniego dowodu. Euler w swoim odkryciu ogłoszonym w 1735 stwierdził, że suma ta wynosi W ówczesnej argumentacji użył pewnych zabiegów nieuprawnionych wedle wiedzy z tamtego roku; w pełni poprawny w sensie rygorów matematycznych dowód przeprowadził w 1741. (pl) Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1734 (lösningen presenterades 1735 inför Rysslands Vetenskapsakademi). Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion. Problemet är att finna vad serien konvergerar mot. (sv) Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд: Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна (см. последовательность в OEIS). Эта сумма встречается во многих других задачах теории чисел. Решение данной проблемы (и смежных с ней) не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению дзета-функции Римана. Начал этот путь сам Эйлер, рассмотрев обобщение ряда обратных квадратов — ряд для произвольной чётной степени s, а также выведя фундаментальное тождество Эйлера: Произведение в правой части берётся по всем простым числам. (ru) O Problema de Basileia é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengoli e resolvido por Leonhard Euler em 1735. Posto que o problema não foi resolvido pelos matemáticos mais importantes da época, a solução tornou Euler rapidamente conhecido aos vinte e oito anos. Euler generalizou o problema consideravelmente, e suas ideias foram tomadas anos depois por Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 , onde definiu sua função zeta e demonstrou suas propriedades básicas. O problema deve seu nome à cidade onde residia Euler (Basileia), cidade onde vivia também a família Bernoulli, que tentou resolver o problema sem êxito. O problema de Basileia consiste em encontrar a soma exata dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos, isto é, a soma exata da série infinita: (pt) 巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。 这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和，也就是以下级数的和： 这个级数的和大约等于1.644934（OEIS數列）。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，并证明它是正确的。欧拉发现准确值是，并在1735年公布；彼时他的证明还不是十分严密，真正严密的证明在1741年给出。 (zh) Ряд обернених квадратів — нескінченний ряд: Задача знаходження суми цього ряду тривалий час залишалася нерозв'язаною. Оскільки увагу європейських математиків до цієї проблеми привернув базельський професор математики Якоб Бернуллі (1689 рік), в історії вона нерідко називається «базельською задачею» (або «базельською проблемою»). Першим суму ряду зумів отримати 1735 року 28-літній Леонард Ейлер, вона виявилася рівною (див. ). Розв'язок цієї проблеми не лише приніс молодому Ейлеру світову славу, але й значно вплинув на подальший розвиток аналізу, теорії чисел, а згодом — комплексного аналізу. В черговий раз (після відкриття ряду Лейбніца) число вийшло за межі геометрії та підтвердило свою універсальність. Нарешті, ряд обернених квадратів виявився першим кроком до введення знаменитої дзета-функції Рімана. (uk) |
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(ko) バーゼル問題（バーゼルもんだい、英: Basel problem）は、級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和はいくつかという問題である。ヤコブ・ベルヌーイやレオンハルト・オイラーなどバーゼル出身の数学者がこの問題に取り組んだことからこの名前で呼ばれる。 (ja) Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1734 (lösningen presenterades 1735 inför Rysslands Vetenskapsakademi). Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion. Problemet är att finna vad serien konvergerar mot. (sv) 巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。 这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和，也就是以下级数的和： 这个级数的和大约等于1.644934（OEIS數列）。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，并证明它是正确的。欧拉发现准确值是，并在1735年公布；彼时他的证明还不是十分严密，真正严密的证明在1741年给出。 (zh) مسألة بازل أو معضلة بازل هي مسألة في التحليل الرياضي ذات صلة بنظرية الأعداد. طرحها بترو منجولي عام 1644 وحلها ليونارد أويلر في عام 1734. وقد عَرض الحل في 5 ديسمبر 1735 في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم. صمدَت المسألة ضد هجمات علماء الرياضيات البارزين في ذلك العصر. حل أويلر جلب له شهرة فورية وعمره لم يكن يتجاوز الثامنة والعشرين.قام أويلر بتعميم طريقة حله، وقد أخذ برنارد ريمان أفكاره لاحقًا بسنوات في بحثه المنشور عام 1859 بعنوان حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما، والذي حدد فيه دالة زيتا وأثبت خصائصها الأساسية.سميت المسألة بـمعضلة بازل نسبة إلى المدينة السويسرية بازل، مسقط رأس أويلر والمدينة التي عاشت فيها عائلة برنولي الذين هاجموا المسألة بلا جدوى. (ar) El problema de Basilea és un problema famós en teoria de nombres, plantejat per primer a vegada per Pietro Mengoli el 1644, tot i que la fou Jakob Bernoulli qui el donà a conèixer més àmpliament (i d'ell prové el seu nom, ja que Jakob Bernoulli residia a Basilea). Fou solucionat per Leonhard Euler el 1735, després de resistir els atacs de diversos matemàtics. Es pot enunciar de la següent forma: Quin és el valor exacte de la suma dels inversos dels quadrats dels nombres naturals? és a dir, quin és valor exacte de la (ca) Basilejský problém se ptá na součet nekonečné řady převrácených hodnot čtverců přirozených čísel: Jde o otázku z oboru matematické analýzy, jejíž odpověď výrazně pomohla teorii čísel. Problém formuloval Pietro Mengoli roku 1650; a protože evropské matematiky na tuto otázku upozornil basilejský profesor matematiky Jacob Bernoulli, říká se mu basilejský problém. Vyřešil ho 28letý Leonard Euler v roce 1735 a ukázalo se, že výsledek je (cs) The Basel problem is a problem in mathematical analysis with relevance to number theory, concerning an infinite sum of inverse squares. It was first posed by Pietro Mengoli in 1650 and solved by Leonhard Euler in 1734, and read on 5 December 1735 in The Saint Petersburg Academy of Sciences. Since the problem had withstood the attacks of the leading mathematicians of the day, Euler's solution brought him immediate fame when he was twenty-eight. Euler generalised the problem considerably, and his ideas were taken up years later by Bernhard Riemann in his seminal 1859 paper "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude", in which he defined his zeta function and proved its basic properties. The problem is named after Basel, hometown of Euler as well as of the Bernoulli family who unsuc (en) El Problema de Basilea es un famoso problema de teoría de números, planteado por primera vez por Pietro Mengoli, y resuelto por Leonhard Euler en 1735. Puesto que el problema había resistido los ataques de los matemáticos más importantes de la época, la solución llevó a Euler rápidamente a la fama cuando tenía veintiocho años. Euler generalizó el problema considerablemente, y sus ideas fueron tomadas años después por Bernhard Riemann en su artículo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sobre la cantidad de números primos menores que una magnitud dada), en donde definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. El problema debe su nombre a la ciudad de residencia de Euler (Basilea), ciudad donde vivía también la familia Bernoulli, que trató el proble (es) En mathématiques, le problème de Bâle (connu parfois aussi sous le nom de problème de Mengoli) est un problème renommé de théorie des nombres, qui consiste à demander la valeur de la somme de la série convergente : Le problème a été résolu par Leonhard Euler, qui établit que cette somme vaut : et en donna une première preuve en 1735, puis une deuxième, plus rigoureuse, en 1741. Posé en premier par Pietro Mengoli en 1644, étudié 40 ans plus tard par Jacques Bernoulli né à Bâle, le problème résiste aux attaques des mathématiciens éminents de l'époque. Six ans plus tard, en 1741, Euler produit . (fr) Il problema di Basilea è un famoso problema dell'analisi matematica, proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644 e risolto da Eulero nel 1735. Il problema aveva resistito agli attacchi dei più grandi matematici dell'epoca e quindi la soluzione di Eulero, appena ventottenne, suscitò stupore e ammirazione. Il problema di Basilea chiede di scoprire la somma esatta della serie infinita: (it) Het Bazel-probleem is een beroemd probleem uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde. Het Bazel-probleem werd voor het eerst in 1644 aan de orde gesteld door Pietro Mengoli, en werd bijna honderd jaar later, in 1735, opgelost door Leonhard Euler. Het probleem is naar de stad Bazel genoemd, de thuisstad van zowel Euler als de familie Bernoulli. Diverse Bernoulli's waren er eerder niet in geslaagd dit probleem op te lossen. Gezien het feit dat het probleem drie generaties lang, ook door de vooraanstaande wiskundigen, niet kon worden opgelost, bracht zijn bewijs Euler, op zijn achtentwintigste, ogenblikkelijke roem. Door gebruik te maken van reeksontwikkelingen gaf Euler een oplossing, waarmee meer kan worden bewezen dan alleen het Bazel-probleem. Zijn ideeën werden meer dan honderd (nl) Problem bazylejski – zagadnienie z teorii liczb sformułowane po raz pierwszy w 1644 roku przez włoskiego matematyka Piotra Mengolego, które zostało rozwiązane w 1735 roku przez Leonarda Eulera. Ponieważ problem ten przez blisko 100 lat opierał się podejmowanym przez ówczesnych czołowych matematyków próbom rozwiązania, podołanie temu zadaniu przez dwudziestoośmioletniego Eulera przyniosło mu natychmiastową sławę. Euler w znacznym stopniu uogólnił pierwotne zagadnienie; jego pomysły zostały podjęte w 1859 przez Bernarda Riemanna w jego doniosłej pracy Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, w której zdefiniował funkcję dzeta i udowodnił jej podstawowe właściwości. Nazwa problemu bazylejskiego pochodzi od Bazylei, rodzinnego miasta Eulera i rodziny Bernoullich – znanych sz (pl) O Problema de Basileia é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengoli e resolvido por Leonhard Euler em 1735. Posto que o problema não foi resolvido pelos matemáticos mais importantes da época, a solução tornou Euler rapidamente conhecido aos vinte e oito anos. Euler generalizou o problema consideravelmente, e suas ideias foram tomadas anos depois por Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 , onde definiu sua função zeta e demonstrou suas propriedades básicas. O problema deve seu nome à cidade onde residia Euler (Basileia), cidade onde vivia também a família Bernoulli, que tentou resolver o problema sem êxito. (pt) Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд: Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна (см. последовательность в OEIS). Эта сумма встречается во многих других задачах теории чисел. Произведение в правой части берётся по всем простым числам. (ru) Ряд обернених квадратів — нескінченний ряд: Задача знаходження суми цього ряду тривалий час залишалася нерозв'язаною. Оскільки увагу європейських математиків до цієї проблеми привернув базельський професор математики Якоб Бернуллі (1689 рік), в історії вона нерідко називається «базельською задачею» (або «базельською проблемою»). Першим суму ряду зумів отримати 1735 року 28-літній Леонард Ейлер, вона виявилася рівною (див. ). (uk) |
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