Riemann series theorem (original) (raw)
Je-li reálná řada neabsolutně konvergentní, pak ke každému existuje přerovnání takové, že . Rovněž existuje oscilující přerovnání této řady.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Je-li reálná řada neabsolutně konvergentní, pak ke každému existuje přerovnání takové, že . Rovněž existuje oscilující přerovnání této řady. (cs) Der riemannsche Umordnungssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein mathematischer Satz über bedingt konvergente Reihen reeller Zahlen. (de) En matemáticas, el Teorema de Riemann sobre la reordenación de series convergentes, llamado así en honor al matemático alemán Riemann, dice que si una serie infinita de números reales es condicionalmente convergente, entonces sus términos pueden ser permutados de modo que la nueva serie converja a un número real arbitrario, o diverja. La serie 1 – 1 + 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/3 + ... , por ejemplo, converge a 0, pero si se toma la serie en valor absoluto, es decir, reemplazando cada término con su valor absoluto, se obtiene la serie 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ... , que diverge. Por ello la serie original es condicionalmente convergente, y puede ser reordenada para dar una serie que converge a una suma diferente, como por ejemplo: 1 + 1/2 – 1 + 1/3 + 1/4 – 1/2 + ... = ln 2. En general, utilizando este procedimiento con p positivos seguido por q negativos da la suma ln(p/q). Otras reordenaciones pueden sumar un número real distinto, o infinito. (es) In mathematics, the Riemann series theorem (also called the Riemann rearrangement theorem), named after 19th-century German mathematician Bernhard Riemann, says that if an infinite series of real numbers is conditionally convergent, then its terms can be arranged in a permutation so that the new series converges to an arbitrary real number, or diverges. This implies that a series of real numbers is absolutely convergent if and only if it is unconditionally convergent. As an example, the series 1 − 1 + 1/2 − 1/2 + 1/3 − 1/3 + ⋯ converges to 0 (for a sufficiently large number of terms, the partial sum gets arbitrarily near to 0); but replacing all terms with their absolute values gives 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯, which sums to infinity. Thus the original series is conditionally convergent, and can be rearranged (by taking the first two positive terms followed by the first negative term, followed by the next two positive terms and then the next negative term, etc.) to give a series that converges to a different sum: 1 + 1/2 − 1 + 1/3 + 1/4 − 1/2 + ⋯ = ln 2. More generally, using this procedure with p positives followed by q negatives gives the sum ln(p/q). Other rearrangements give other finite sums or do not converge to any sum. (en) En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou bien tende vers plus ou moins l'infini. Il en résulte que dans ℝ, toute série inconditionnellement convergente est absolument convergente (autrement dit : toute famille sommable est absolument sommable). (fr) 실해석학에서 리만 재배열 정리(-再配列定理, 영어: Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem)는 실수항의 조건 수렴 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 무한대로 수렴하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다. (ko) In matematica, il teorema di Riemann-Dini è un teorema sulle serie a valori reali semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei matematici Bernhard Riemann e Ulisse Dini. Il teorema afferma che se una serie è (semplicemente) convergente, ma non assolutamente convergente, allora, dato un qualsiasi numero reale, esiste una permutazione dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre, esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a e a . (it) Twierdzenie Riemanna – twierdzenie autorstwa Bernharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny. (pl) Riemanns serieteorem eller Riemanns omordningssats, namngiven efter 1800-tals matematikern Bernhard Riemann, säger att om en oändlig serie är så kan dess termer omordnas i en permutation så att serien konvergerar till ett godtyckligt värde, eller divergerar. (sv) Теорема Римана об условно сходящихся рядах — теорема в математическом анализе, которая утверждает, что, переставляя члены произвольного условно сходящегося ряда, можно получить произвольное значение. Этот факт показывает разницу между условной сходимостью и абсолютной сходимостью: если ряд сходится абсолютно, то он будет сходиться к одному и тому же значению вне зависимости от перестановки его элементов (см. Теорема о перестановке ряда). (ru) Теорема Рімана про умовно збіжний ряд — теорема стверджує, що перестановкою членів умовно збіжного ряду можна побудувати ряд, що збігається до якої завгодно суми чи взагалі розходиться. Названа на честь німецького математика Бернгарда Рімана. (uk) 黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://mathworld.wolfram.com/RiemannSeriesTheorem.html |
| dbo:wikiPageID | 1895800 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 20536 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1097018366 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Lévy–Steinitz_theorem dbr:Bernhard_Riemann dbr:Permutation dbr:Vector_space dbc:Permutations dbr:Complex_number dbr:Conditionally_convergent dbr:Mathematics dbr:Conditional_convergence dbr:Convergent_series dbc:Bernhard_Riemann dbr:Harmonic_series_(mathematics) dbr:Divergent_series dbr:Affine_space dbr:Alternating_harmonic_series dbr:Euler–Mascheroni_constant dbr:Unconditional_convergence dbc:Mathematical_series dbc:Theorems_in_analysis dbc:Summability_theory dbr:Absolute_convergence dbr:Big_O_notation dbr:Bijection dbr:Positive_integer dbr:Ideal_(set_theory) dbr:If_and_only_if dbr:Natural_logarithm dbr:Real_number dbr:Sequence dbr:Set_(mathematics) dbr:Infinite_series |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:Main dbt:Math dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Slink dbt:Bernhard_Riemann |
| dcterms:subject | dbc:Permutations dbc:Bernhard_Riemann dbc:Mathematical_series dbc:Theorems_in_analysis dbc:Summability_theory |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInAnalysis yago:Abstraction100002137 yago:Change107296428 yago:Communication100033020 yago:Event100029378 yago:Happening107283608 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Statement106722453 yago:Substitution107443761 yago:Theorem106752293 yago:Variation107337390 yago:WikicatPermutations |
| rdfs:comment | Je-li reálná řada neabsolutně konvergentní, pak ke každému existuje přerovnání takové, že . Rovněž existuje oscilující přerovnání této řady. (cs) Der riemannsche Umordnungssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein mathematischer Satz über bedingt konvergente Reihen reeller Zahlen. (de) En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou bien tende vers plus ou moins l'infini. Il en résulte que dans ℝ, toute série inconditionnellement convergente est absolument convergente (autrement dit : toute famille sommable est absolument sommable). (fr) 실해석학에서 리만 재배열 정리(-再配列定理, 영어: Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem)는 실수항의 조건 수렴 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 무한대로 수렴하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다. (ko) In matematica, il teorema di Riemann-Dini è un teorema sulle serie a valori reali semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei matematici Bernhard Riemann e Ulisse Dini. Il teorema afferma che se una serie è (semplicemente) convergente, ma non assolutamente convergente, allora, dato un qualsiasi numero reale, esiste una permutazione dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre, esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a e a . (it) Twierdzenie Riemanna – twierdzenie autorstwa Bernharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny. (pl) Riemanns serieteorem eller Riemanns omordningssats, namngiven efter 1800-tals matematikern Bernhard Riemann, säger att om en oändlig serie är så kan dess termer omordnas i en permutation så att serien konvergerar till ett godtyckligt värde, eller divergerar. (sv) Теорема Римана об условно сходящихся рядах — теорема в математическом анализе, которая утверждает, что, переставляя члены произвольного условно сходящегося ряда, можно получить произвольное значение. Этот факт показывает разницу между условной сходимостью и абсолютной сходимостью: если ряд сходится абсолютно, то он будет сходиться к одному и тому же значению вне зависимости от перестановки его элементов (см. Теорема о перестановке ряда). (ru) Теорема Рімана про умовно збіжний ряд — теорема стверджує, що перестановкою членів умовно збіжного ряду можна побудувати ряд, що збігається до якої завгодно суми чи взагалі розходиться. Названа на честь німецького математика Бернгарда Рімана. (uk) 黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。 (zh) En matemáticas, el Teorema de Riemann sobre la reordenación de series convergentes, llamado así en honor al matemático alemán Riemann, dice que si una serie infinita de números reales es condicionalmente convergente, entonces sus términos pueden ser permutados de modo que la nueva serie converja a un número real arbitrario, o diverja. (es) In mathematics, the Riemann series theorem (also called the Riemann rearrangement theorem), named after 19th-century German mathematician Bernhard Riemann, says that if an infinite series of real numbers is conditionally convergent, then its terms can be arranged in a permutation so that the new series converges to an arbitrary real number, or diverges. This implies that a series of real numbers is absolutely convergent if and only if it is unconditionally convergent. (en) |
| rdfs:label | Riemannova věta (cs) Riemannscher Umordnungssatz (de) Teorema de Riemann (series) (es) Théorème de réarrangement de Riemann (fr) Teorema di Riemann-Dini (it) 리만 재배열 정리 (ko) Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych (pl) Riemann series theorem (en) Теорема Римана об условно сходящихся рядах (ru) Riemanns serieteorem (sv) 黎曼级数定理 (zh) Теорема Рімана про умовно збіжний ряд (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Riemann series theorem yago-res:Riemann series theorem wikidata:Riemann series theorem dbpedia-cs:Riemann series theorem dbpedia-de:Riemann series theorem dbpedia-es:Riemann series theorem dbpedia-fr:Riemann series theorem dbpedia-he:Riemann series theorem dbpedia-it:Riemann series theorem dbpedia-ko:Riemann series theorem dbpedia-pl:Riemann series theorem dbpedia-ru:Riemann series theorem dbpedia-sv:Riemann series theorem dbpedia-uk:Riemann series theorem dbpedia-zh:Riemann series theorem https://global.dbpedia.org/id/iM1K |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Riemann_series_theorem?oldid=1097018366&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Riemann_series_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Riemann's_theorem_on_the_rearrangement_of_terms_of_a_series dbr:Riemann_rearrangement_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Lévy–Steinitz_theorem dbr:Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet dbr:List_of_important_publications_in_mathematics dbr:List_of_permutation_topics dbr:1837_in_science dbr:Conditional_convergence dbr:Convergent_series dbr:Limit_(mathematics) dbr:Zeta_function_universality dbr:Alternating_series dbr:Euler's_formula dbr:Expected_value dbr:Unconditional_convergence dbr:Rearrangement dbr:Riemann's_theorem_on_the_rearrangement_of_terms_of_a_series dbr:Set_function dbr:Series_(mathematics) dbr:List_of_theorems dbr:List_of_things_named_after_Bernhard_Riemann dbr:Riemann_rearrangement_theorem |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Harmonic_series_(mathematics) |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Riemann_series_theorem |