Selberg class (original) (raw)
In mathematics, the Selberg class is an axiomatic definition of a class of L-functions. The members of the class are Dirichlet series which obey four axioms that seem to capture the essential properties satisfied by most functions that are commonly called L-functions or zeta functions. Although the exact nature of the class is conjectural, the hope is that the definition of the class will lead to a classification of its contents and an elucidation of its properties, including insight into their relationship to automorphic forms and the Riemann hypothesis. The class was defined by Atle Selberg in, who preferred not to use the word "axiom" that later authors have employed.
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| dbo:abstract | Die Selberg-Klasse ist ein mathematischer Begriff aus der Zahlentheorie. Der norwegisch-US-amerikanische Mathematiker Atle Selberg führte diese Klasse von Funktionen im Jahr 1989 ein. Sie enthält die für die Zahlentheorie fundamentale Riemannsche Zeta-Funktion und zahlreiche, aber sorgfältig ausgewählte, verwandte Funktionen, sogenannte L-Funktionen. Diese Verwandtschaft kommt folgendermaßen zustande: die Selberg-Klasse besteht aus allen Dirichlet-Reihen, welche grundlegende Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam haben: 1. * Absolute Konvergenz 2. * Analytische Fortsetzbarkeit 3. * Funktionalgleichung 4. * Ramanujan-Bedingung 5. * Euler-Produkt Damit enthält die Selberg-Klasse, neben der Riemannschen Zeta-Funktion, auch zum Beispiel die Dirichletschen L-Funktionen zu primitiven Dirichlet-Charakteren, die Dedekindschen L-Funktionen zu algebraischen Zahlkörpern und die Heckeschen L-Funktionen zu primitiven Größencharakteren. Bei Artinschen L-Funktionen hängt die Frage der Mitgliedschaft in der Selberg-Klasse von der ab. Diese konnte bislang nur für einen Teil der Artinschen L-Funktionen bewiesen werden. Mit der Selberg-Klasse verbindet sich die Hoffnung, die Eigenschaften und Struktur von Funktionen aufklären zu können, die Mathematiker weithin als geeignete Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion betrachten. Dadurch soll nicht zuletzt ein Weg zum Beweis der Riemannschen Vermutung geebnet werden. Man nimmt sogar an, dass alle Funktionen in der Selberg-Klasse die sogenannte erfüllen: keine Nullstelle, deren Realteil den Wert 1/2 übersteigt. Könnte man die für die Funktionen in der Selberg-Klasse beweisen, so würde daraus die Richtigkeit der Artin-Vermutung folgen.Bislang weder bewiesen noch widerlegt, sind Fortschritte bei der Erforschung dieser Vermutungen für die Zahlentheorie und die gesamte Mathematik von höchster Bedeutung. (de) En mathématiques , la classe de Selberg est une définition axiomatique d'une classe de fonctions L. Les éléments de la classe sont des séries de Dirichlet qui obéissent à quatre axiomes ayant pour objectif d'énoncer les propriétés fondamentales satisfaites par la plupart des fonctions communément appelées fonctions L ou fonctions zêta. Bien que la nature exacte de la classe soit encore à l'état de conjecture, on espère que sa définition conduira à une classification de son contenu et à une élucidation de ses propriétés, y compris une idée plus claire de leurs liens avec les formes automorphes et avec l'hypothèse de Riemann. La classe a été introduite par Atle Selberg dans, qui a préféré ne pas utiliser le terme axiome utilisé ultérieurement par d'autres auteurs. (fr) In mathematics, the Selberg class is an axiomatic definition of a class of L-functions. The members of the class are Dirichlet series which obey four axioms that seem to capture the essential properties satisfied by most functions that are commonly called L-functions or zeta functions. Although the exact nature of the class is conjectural, the hope is that the definition of the class will lead to a classification of its contents and an elucidation of its properties, including insight into their relationship to automorphic forms and the Riemann hypothesis. The class was defined by Atle Selberg in, who preferred not to use the word "axiom" that later authors have employed. (en) 数学では、セルバーグクラス(Selberg class)は、L-函数のクラスの公理的定義である。セルバーグクラスの元は、ディリクレ級数であり、L-函数、あるいはゼータ函数と共通に呼ばれる函数によって満たされる 4つの公理に従う。この 4つの公理は、これらの函数の本質的な性質を捉えていると思われる。このクラスの完全な性質は未だ予想にすぎないが、定義は保型形式やリーマン予想との関係に対して見方を与え、これらの分類と性質の説明を与えるのではないかと期待されている。このクラスは、アトル・セルバーグ(Atle Selberg)により で定義された。 (ja) In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Selberg-klasse een axiomatische definitie van een klasse van L-functies. De leden van deze Selberg-klasse zijn Dirichletreeksen die gehoorzamen aan vier axioma's die de essentiële eigenschappen lijken te vangen, waaraan door de meeste functies wordt voldaan die men meestal L-functies of zèta-functies noemt. Hoewel de exacte aard van de klasse deels speculatief is, heeft men de hoop dat de definitie van de klasse zal leiden tot een classificatie van de inhoud ervan en tot een opheldering van haar eigenschappen, waaronder inzicht in hun relatie tot automorfe vormen en de Riemannhypothese. De Selberg-klasse werd eind jaren tachtig van de twintigste eeuw geconstrueerd door de Noorse wiskundige Atle Selberg. (nl) 수학에서 셀베르그 클래스(Selberg Class)인 클래스 S는 L-함수의 클래스에 대한 자명한 공리적 정의이다. 이 클래스의 멤버는 일반적으로 L-함수 또는 제타 함수라고 하는 이러한 계열의 대부분의 함수가 만족하는 필수 속성을 포착하는 것처럼 보이는 네 가지 공리를 따르는 디리클레 시리즈(디리클레 수열)이다. 클래스의 정확한 성질은 아직 추측단계이지만, 클래스의 정의는 보형 형식과 리만 가설(Riemann thery) 과의 관계에 대한 통찰력을 포함하여, 클래스의 분류와 속성의 이해로 이어질 것이라는 기능성을 가지고 있다. 이 클래스는 아틀레 셀베르그 ( Selberg 1992 )에 의해 정의되었는데, 그는 나중에 "자명한(axiomatic)"이라는 단어를 사용하지 않기를 바랬다. 클래스 S 의 정의는 일반적으로 디리클레 시리즈 표현이다. 따라서,클래스 S는 모든 디리클레 시리즈의 집합이다. (ko) Inom matematiken är Selbergklassen en klass av Dirichletserier som satisfierar axiom som verkar vara de essentiella egenskaperna satisfierade av de flesta L- och . Klassen definierades av Atle Selberg i. (sv) |
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