Seven Bridges of Königsberg (original) (raw)
Els set ponts de Königsberg és un famós problema matemàtic que va donar origen a la teoria de grafs. Königsberg, l'actual Kaliningrad, és una ciutat russa (que fou alemanya fins a la fi de la II Guerra Mundial) per la qual passa el riu Pregel. Enmig del riu, dues grans illes estaven connectades entre elles i a les ribes mitjançant una estructura de set ponts en total. Per tal d'organitzar una desfilada, els habitants de la ciutat es van plantejar si era possible recórrer els set ponts de manera que només es passés per cadascun d'ells un sol cop.
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| dbo:abstract | Els set ponts de Königsberg és un famós problema matemàtic que va donar origen a la teoria de grafs. Königsberg, l'actual Kaliningrad, és una ciutat russa (que fou alemanya fins a la fi de la II Guerra Mundial) per la qual passa el riu Pregel. Enmig del riu, dues grans illes estaven connectades entre elles i a les ribes mitjançant una estructura de set ponts en total. Per tal d'organitzar una desfilada, els habitants de la ciutat es van plantejar si era possible recórrer els set ponts de manera que només es passés per cadascun d'ells un sol cop. (ca) جسور كونيغسبرغ السبعة (بالإنجليزية: Seven Bridges of Königsberg) هي مسألة تاريخية مشهورة في الرياضيات. في عام 1736 أدى برهان نفي وجود حل للمسألة من قبل ليونهارد أويلر إلى إنشاء علم نظرية المخططات وتطور أفكار الطوبولوجيا لاحقاً. (ar) Sedm mostů města Královce je slavný, již vyřešený matematický problém, založený na skutečném místě a skutečné situaci. Pruské město Královec (též Königsberg, nyní Kaliningrad na území Ruska) leží na řece Pregole, která vytváří dva ostrovy. Ostrovy byly s okolním městem spojeny sedmi mosty. Otázka zní, zda je možné všechny mosty přejít tak, aby ten, kdo se o to pokouší, přešel přes každý most přesně jednou. Leonhard Euler jako první dokázal, že to možné není, odpovídající graf totiž nelze projít pomocí tzv. eulerovského tahu. (cs) La sep pontoj en Königsberg estas logika enigmo inspirita de fakta loko kaj situacio. La urbo Königsberg (Kenigsbergo), Prusio (nun Kaliningrado) situas ĉe la rivero Pregel, kaj inkluzivas du grandajn insulojn kiuj estas reciproke interligitaj, kaj kun la ĉeftero, per sep pontoj. La demando estas ĉu eblas promeni laŭ itinero transirante ĉiun ponton nur unufoje, kaj reveni al la komenca punkto. En 1736, Leonhard Euler pruvis ke tio ne eblas. Ĉu eblas aŭ ne eblas decidas malpara kvanto de finoj de pontoj sur la insuloj kaj sur la tero. Li konsideris pli ĝeneralan problemon, peninte trovi kondiĉojn, kiuj devas esti plenumitaj, por ke grafeo povu esti prezentita tiel ke ĉiu eĝo estus nur unu foje skribita. Euler pruvis, ke eblas fari tion, tiam kaj nur tiam, kiam kvanto de la grafeaj verticoj kun malparaj kvantoj de eĝoj estas 0 aŭ 2. (eo) Das Königsberger Brückenproblem ist eine mathematische Fragestellung des frühen 18. Jahrhunderts, die anhand der sieben Königsberger Pregelbrücken illustriert wurde. In der Graphentheorie entspricht es dem Eulerkreisproblem. (de) El problema de los puentes de Königsberg, también llamado más específicamente problema de los siete puentes de Königsberg, es un célebre problema matemático resuelto por Leonhard Euler en 1736 y cuya resolución dio origen a la teoría de grafos. Su nombre se debe a Königsberg, la ciudad de Prusia Oriental y luego de Alemania que desde 1945 se convirtió en la ciudad rusa de Kaliningrado. Esta ciudad está atravesada por el río Pregolia. Este se bifurca y rodea con sus brazos a la isla Kneiphof, de forma que el terreno queda dividido en cuatro regiones distintas, que entonces estaban unidas mediante siete puentes llamados puente del herrero, Puente Conector, Puente Verde, Puente del Mercado, Puente de Madera, Puente Alto y Puente de la Miel. El problema se formuló en el siglo XVIII y consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad pasando solo una vez por cada uno de los puentes y regresando al mismo punto de inicio. (es) Königsbergeko zazpi zubietako ebazkizuna matematikaren historian ospetsua den ebazkizuna da. 1736. urtean Leonhard Euler matematikariak ebatzi zuen soluziorik ez zuela erakutsiz. Horrela, esan daiteke grafo-teoria eta topologia izeneko adarrak sortu zirela matematikaren baitan. (eu) Le problème des sept ponts de Königsberg est connu pour être à l'origine de la topologie et de la théorie des graphes. Résolu par Leonhard Euler en 1735, ce problème mathématique se présente de la façon suivante : La ville de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) est construite autour de deux îles situées sur le Pregel et reliées entre elles par un pont. Six autres ponts relient les rives de la rivière à l'une ou l'autre des deux îles, comme représentés sur le plan ci-dessus. Le problème consiste à déterminer s'il existe ou non une promenade dans les rues de Königsberg permettant, à partir d'un point de départ au choix, de passer une et une seule fois par chaque pont, et de revenir à son point de départ, étant entendu qu'on ne peut traverser le Pregel qu'en passant sur les ponts. (fr) Tujuh Jembatan Königsberg adalah suatu perkara yang amat diperhatikan sejak dahulu kala dalam ilmu pasti (atau matematika). Leonhard Euler yang berpendirian teguh bahwasannya jembatan-jembatan tersebut tidak bagus pada tahun 1736 menempatkan dasar teori graf serta memaparkan bentuk awal topologi. Kota Königsberg yang termasuk dalam kekuasaan Prussia (sekarang bernama Kaliningrad, Rusia) telah dibangun di antara kedua sisi sungai Pregel dan meliputi dua pulau yang luas yang dapat tersambung antara satu dengan yang lain serta tujuh jembatan tersebut mampu mencakup satu tanah daratan. Persoalannya yakni bagaimana cara menciptakan rangka dari tempat untuk berjalan melalui kota dengan bermaksud menyeberangi tiap-tiap jembatan sekaligus dalam satu kali saja dengan syarat apabila suatu pulau itu dapat dijangkau dengan jembatan-jembatan tersebut serta saat menuju jalan masuk dari setiap jembatan tersebut harus diseberangi dalam satu kali sampai ke titik ujung jembatan yang lain. Tempat jalan masuk dan jalan keluar dari tujuh jembatan tersebut tidak usah tampak seperti itu juga. Euler telah membuktikan bahwa tak ada pemecahan perkara atas persoalan tersebut. Hal yang merumitkannya ialah bagaimana untuk mengembangkan suatu cara untuk melakukan penelaahan serta melakukan pengujian selanjutnya atas hal tersebut sehingga dapat diperlihatkannya pernyataan yang tegas ini serta dibarengi oleh kecermatan yang didasari dengan ilmu pasti. (in) The Seven Bridges of Königsberg is a historically notable problem in mathematics. Its negative resolution by Leonhard Euler in 1736 laid the foundations of graph theory and prefigured the idea of topology. The city of Königsberg in Prussia (now Kaliningrad, Russia) was set on both sides of the Pregel River, and included two large islands—Kneiphof and Lomse—which were connected to each other, and to the two mainland portions of the city, by seven bridges. The problem was to devise a walk through the city that would cross each of those bridges once and only once. By way of specifying the logical task unambiguously, solutions involving either 1. * reaching an island or mainland bank other than via one of the bridges, or 2. * accessing any bridge without crossing to its other end are explicitly unacceptable. Euler proved that the problem has no solution. The difficulty he faced was the development of a suitable technique of analysis, and of subsequent tests that established this assertion with mathematical rigor. (en) 쾨니히스베르크의 다리 문제는 프로이센의 쾨니히스베르크(지금의 러시아 칼리닌그라드)에 있는 7개의 다리에 관련된 문제이다. 쾨니히스베르크에는 프레겔 강이 흐르고 있고, 이 강에는 두 개의 큰 섬이 있다. 그리고 이 섬들과 도시의 나머지 부분을 연결하는 7개의 다리가 있다. 이때 7개의 다리들을 한 번만 건너면서 처음 시작한 위치로 돌아오는 길이 있는가 하는 것이 문제이다. 1735년에 레온하르트 오일러가 이것이 불가능하다는 것을 증명했다. (ko) 一筆書き（ひとふでがき）とは、広い意味では「筆記具を平面から一度も離さず線図形を描く」ことである。狭い意味では、これに加えて「同じ線を二度なぞらない（点で交差するのはかまわない）」という条件が加わる。 以下は後者の狭い意味での一筆書きについて記す。 三角形「△」や四角形「□」は一筆書き可能だが、十字「+」は一筆書きできない。また、五芒星や白星「☆」、六芒星「✡」は一筆書き可能だが、アスタリスク「＊」は一筆書きができない。このように、一筆書きできる図形とできない図形がある。 「与えられた図形が一筆書き可能かどうか」という問題の例として、「ケーニヒスベルクの橋の問題」（独: Königsberger Brückenproblem）が知られている。なお、ケーニヒスベルクとは実際にあった場所の名前である。 (ja) Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da una città reale e da una situazione concreta.Königsberg, un tempo in Prussia Orientale e oggi exclave russa sul Baltico nota con il nome di Kaliningrad, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti, e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. Nel corso dei secoli è stata più volte proposta la questione se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversi ogni ponte una e una volta soltanto. Nel 1736 Eulero affrontò tale problema, dimostrando che la passeggiata ipotizzata non era possibile. Non sembra avere un fondamento storico, ma piuttosto essere una leggenda urbana, l'affermazione secondo la quale intorno al 1750 i cittadini benestanti di Königsberg la domenica passeggiassero per la loro città cercando invano di risolvere il problema. (it) Zagadnienie mostów królewieckich, problem mostów królewieckich − kwestia, nad jaką rzekomo głowili się mieszkańcy Królewca, a którą rozwiązał w XVIII wieku Leonhard Euler. Przez Królewiec przepływała rzeka Pregoła, w której rozwidleniach znajdowały się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki. Problem, którym zainteresował się Euler, był następujący: czy można przejść kolejno przez wszystkie mosty tak, żeby każdy przekroczyć raz i tylko raz. Opis zagadnienia opublikowany przez Eulera w 1741 roku w pracy Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis w Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (wolumen 8, strony 128-140) jest uznawany za pierwszą pracę na temat teorii grafów. Euler wykazał, że jest to niemożliwe, a decyduje o tym nieparzysta liczba wylotów mostów zarówno na każdą z wysp, jak i na oba brzegi rzeki. Rozważył przy tym także ogólniejszy problem, starając się ustalić warunki, które muszą być spełnione, żeby dany graf spójny można było opisać linią ciągłą w taki sposób, by każda krawędź tego grafu była obwiedziona tylko raz (patrz graf eulerowski). Euler pokazał, że jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wierzchołków tego grafu, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi, wynosi 0 lub 2. Doszedł także do wniosku, że aby przejść wszystkie krawędzie grafu i wrócić do punktu wyjścia, nie może on zawierać węzłów, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi. (pl) De zeven bruggen van Koningsbergen is een wiskundig vraagstuk. Het geldt als een van de eerste problemen uit de grafentheorie. Het probleem werd voor het eerst in 1736 opgelost door Leonhard Euler. (nl) Königsbergs sju broar är ett klassiskt matematiskt problem inom grafteori och topologi. Den schweiziske matematikern Leonhard Euler visade i artikeln Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis år 1736 att problemet var olösligt, vilket bidrog till grafteorins uppkomst. (sv) Sete pontes de Königsberg, ou, na sua forma portuguesa, de Conisberga, é um famoso problema histórico da matemática resolvido por Leonhard Euler em 1736, cuja solução negativa originou a teoria dos grafos. O problema é baseado na cidade de Königsberg (território da Prússia até 1945, atual Kaliningrado), que é cortada pelo Rio Prególia, onde há duas grandes ilhas que, juntas, formam um complexo que na época continha sete pontes, conforme mostra a figura ao lado. Das sete pontes originais, uma foi demolida e reconstruída em 1935, duas foram destruídas durante a Segunda Guerra Mundial - especificamente durante o bombardeamento de Königsberg, em agosto de 1944. e outras duas foram demolidas para dar lugar a uma única via expressa. Atualmente apenas duas pontes são da época de Leonhard Euler. Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma. Havia-se tornado uma lenda popular a possibilidade da façanha quando Euler, em 1736, provou que não existia caminho que possibilitasse tais restrições. Euler usou um raciocínio muito simples. Transformou os caminhos em linhas e suas intersecções em pontos, criando possivelmente o primeiro grafo da história. Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de onde saísse um número ímpar de caminhos. A razão de tal coisa é que de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para "entrar" e outro para "sair". Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente. Se não houver pontos com número ímpar de caminhos, pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto, podendo esse ser qualquer ponto do grafo. Isso não é possível quando temos dois pontos com números ímpares de caminhos, sendo obrigatoriamente um o início e outro o fim. (pt) 柯尼斯堡七桥问题（德語：Königsberger Brückenproblem；英語：Seven Bridges of Königsberg）是图论中的著名问题。这个问题是基於一個現實生活中的事例：當時東普魯士柯尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的橋都走遍？ (zh) Зада́ча о кёнигсбе́ргских моста́х (лат. problema Regiomontanum de septem pontibus, англ. the Königsberg bridges problem, нем. das Problem der Königsberger Brücken, das Königsberger Brückenproblem) — старинная математическая задача, в которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам центра старого Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в статье, датированной 1736 годом, математиком Леонардом Эйлером, который доказал, что это невозможно, и по ходу доказательства изобрёл эйлеровы циклы. Решение Эйлером задачи о кёнигсбергских мостах явилось первым в истории применением теории графов, но без использования термина «граф» и без рисования диаграмм графов. (ru) Сім мостів Кеніґсберґа — видатна історична задача з математики. Доведення неможливості її розв'язання Леонардом Ейлером в 1735 призвело до створення теорії графів і передувало ідеї топології. Місто Кеніґсберґ в Пруссії (нині Калінінград у Росії) було на берегах річки Преголя, рукави якої ділили місто на чотири частини, в тому числі й два острови — Кнайпгоф і Ломзе, що поєднувалися сімома мостами: Бакалійним, Зеленим, Гноєвим, Кузенним, Дерев'яним, Високим і Медовим. Необхідно було знайти такий маршрут через місто, щоб пройти всі сім мостів і кожним мостом пройти рівно один раз. На острів не можна було потрапити інакше як через міст, і кожен з мостів мав бути пройденим за один раз (тобто не можна було пройти на середину мосту і повернутися назад, а потім з іншого берега пройти другу половину). Ейлер довів, що розв'язку не існує. (uk) |
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Pruské město Královec (též Königsberg, nyní Kaliningrad na území Ruska) leží na řece Pregole, která vytváří dva ostrovy. Ostrovy byly s okolním městem spojeny sedmi mosty. Otázka zní, zda je možné všechny mosty přejít tak, aby ten, kdo se o to pokouší, přešel přes každý most přesně jednou. Leonhard Euler jako první dokázal, že to možné není, odpovídající graf totiž nelze projít pomocí tzv. eulerovského tahu. (cs) Das Königsberger Brückenproblem ist eine mathematische Fragestellung des frühen 18. Jahrhunderts, die anhand der sieben Königsberger Pregelbrücken illustriert wurde. In der Graphentheorie entspricht es dem Eulerkreisproblem. (de) Königsbergeko zazpi zubietako ebazkizuna matematikaren historian ospetsua den ebazkizuna da. 1736. urtean Leonhard Euler matematikariak ebatzi zuen soluziorik ez zuela erakutsiz. Horrela, esan daiteke grafo-teoria eta topologia izeneko adarrak sortu zirela matematikaren baitan. (eu) 쾨니히스베르크의 다리 문제는 프로이센의 쾨니히스베르크(지금의 러시아 칼리닌그라드)에 있는 7개의 다리에 관련된 문제이다. 쾨니히스베르크에는 프레겔 강이 흐르고 있고, 이 강에는 두 개의 큰 섬이 있다. 그리고 이 섬들과 도시의 나머지 부분을 연결하는 7개의 다리가 있다. 이때 7개의 다리들을 한 번만 건너면서 처음 시작한 위치로 돌아오는 길이 있는가 하는 것이 문제이다. 1735년에 레온하르트 오일러가 이것이 불가능하다는 것을 증명했다. (ko) 一筆書き（ひとふでがき）とは、広い意味では「筆記具を平面から一度も離さず線図形を描く」ことである。狭い意味では、これに加えて「同じ線を二度なぞらない（点で交差するのはかまわない）」という条件が加わる。 以下は後者の狭い意味での一筆書きについて記す。 三角形「△」や四角形「□」は一筆書き可能だが、十字「+」は一筆書きできない。また、五芒星や白星「☆」、六芒星「✡」は一筆書き可能だが、アスタリスク「＊」は一筆書きができない。このように、一筆書きできる図形とできない図形がある。 「与えられた図形が一筆書き可能かどうか」という問題の例として、「ケーニヒスベルクの橋の問題」（独: Königsberger Brückenproblem）が知られている。なお、ケーニヒスベルクとは実際にあった場所の名前である。 (ja) De zeven bruggen van Koningsbergen is een wiskundig vraagstuk. Het geldt als een van de eerste problemen uit de grafentheorie. Het probleem werd voor het eerst in 1736 opgelost door Leonhard Euler. (nl) Königsbergs sju broar är ett klassiskt matematiskt problem inom grafteori och topologi. Den schweiziske matematikern Leonhard Euler visade i artikeln Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis år 1736 att problemet var olösligt, vilket bidrog till grafteorins uppkomst. (sv) 柯尼斯堡七桥问题（德語：Königsberger Brückenproblem；英語：Seven Bridges of Königsberg）是图论中的著名问题。这个问题是基於一個現實生活中的事例：當時東普魯士柯尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的橋都走遍？ (zh) Зада́ча о кёнигсбе́ргских моста́х (лат. problema Regiomontanum de septem pontibus, англ. the Königsberg bridges problem, нем. das Problem der Königsberger Brücken, das Königsberger Brückenproblem) — старинная математическая задача, в которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам центра старого Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в статье, датированной 1736 годом, математиком Леонардом Эйлером, который доказал, что это невозможно, и по ходу доказательства изобрёл эйлеровы циклы. Решение Эйлером задачи о кёнигсбергских мостах явилось первым в истории применением теории графов, но без использования термина «граф» и без рисования диаграмм графов. (ru) La sep pontoj en Königsberg estas logika enigmo inspirita de fakta loko kaj situacio. La urbo Königsberg (Kenigsbergo), Prusio (nun Kaliningrado) situas ĉe la rivero Pregel, kaj inkluzivas du grandajn insulojn kiuj estas reciproke interligitaj, kaj kun la ĉeftero, per sep pontoj. (eo) El problema de los puentes de Königsberg, también llamado más específicamente problema de los siete puentes de Königsberg, es un célebre problema matemático resuelto por Leonhard Euler en 1736 y cuya resolución dio origen a la teoría de grafos. Su nombre se debe a Königsberg, la ciudad de Prusia Oriental y luego de Alemania que desde 1945 se convirtió en la ciudad rusa de Kaliningrado. (es) The Seven Bridges of Königsberg is a historically notable problem in mathematics. Its negative resolution by Leonhard Euler in 1736 laid the foundations of graph theory and prefigured the idea of topology. The city of Königsberg in Prussia (now Kaliningrad, Russia) was set on both sides of the Pregel River, and included two large islands—Kneiphof and Lomse—which were connected to each other, and to the two mainland portions of the city, by seven bridges. The problem was to devise a walk through the city that would cross each of those bridges once and only once. are explicitly unacceptable. (en) Tujuh Jembatan Königsberg adalah suatu perkara yang amat diperhatikan sejak dahulu kala dalam ilmu pasti (atau matematika). Leonhard Euler yang berpendirian teguh bahwasannya jembatan-jembatan tersebut tidak bagus pada tahun 1736 menempatkan dasar teori graf serta memaparkan bentuk awal topologi. (in) Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da una città reale e da una situazione concreta.Königsberg, un tempo in Prussia Orientale e oggi exclave russa sul Baltico nota con il nome di Kaliningrad, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti, e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. (it) Le problème des sept ponts de Königsberg est connu pour être à l'origine de la topologie et de la théorie des graphes. Résolu par Leonhard Euler en 1735, ce problème mathématique se présente de la façon suivante : (fr) Zagadnienie mostów królewieckich, problem mostów królewieckich − kwestia, nad jaką rzekomo głowili się mieszkańcy Królewca, a którą rozwiązał w XVIII wieku Leonhard Euler. Przez Królewiec przepływała rzeka Pregoła, w której rozwidleniach znajdowały się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki. Problem, którym zainteresował się Euler, był następujący: czy można przejść kolejno przez wszystkie mosty tak, żeby każdy przekroczyć raz i tylko raz. (pl) Sete pontes de Königsberg, ou, na sua forma portuguesa, de Conisberga, é um famoso problema histórico da matemática resolvido por Leonhard Euler em 1736, cuja solução negativa originou a teoria dos grafos. Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma. Havia-se tornado uma lenda popular a possibilidade da façanha quando Euler, em 1736, provou que não existia caminho que possibilitasse tais restrições. (pt) Сім мостів Кеніґсберґа — видатна історична задача з математики. Доведення неможливості її розв'язання Леонардом Ейлером в 1735 призвело до створення теорії графів і передувало ідеї топології. Місто Кеніґсберґ в Пруссії (нині Калінінград у Росії) було на берегах річки Преголя, рукави якої ділили місто на чотири частини, в тому числі й два острови — Кнайпгоф і Ломзе, що поєднувалися сімома мостами: Бакалійним, Зеленим, Гноєвим, Кузенним, Дерев'яним, Високим і Медовим. (uk) |
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