Splitting of prime ideals in Galois extensions (original) (raw)
In mathematics, the interplay between the Galois group G of a Galois extension L of a number field K, and the way the prime ideals P of the ring of integers OK factorise as products of prime ideals of OL, provides one of the richest parts of algebraic number theory. The splitting of prime ideals in Galois extensions is sometimes attributed to David Hilbert by calling it Hilbert theory. There is a geometric analogue, for ramified coverings of Riemann surfaces, which is simpler in that only one kind of subgroup of G need be considered, rather than two. This was certainly familiar before Hilbert.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois G d'une extension galoisienne de corps de nombres L/K (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l'anneau OK des entiers se décomposent sous forme de produits d'idéaux premiers de OL, est à la base de nombreux développements fructueux en théorie algébrique des nombres. Le cas d'une extension non nécessairement galoisienne est traitée dans l'article « Décomposition des idéaux premiers ». Les notions d'extension ramifiée, d'extension décomposée y sont envisagées ; ces notions doivent certainement être familières pour aborder la lecture du présent article. Dans le cas d'une extension galoisienne, la structure supplémentaire se traduit au niveau de ces propriétés, via certains sous-groupes du groupe de Galois : le groupe de décomposition et le groupe d'inertie, mais aussi les (en) supérieurs. Ces notions sont quelquefois attribuées à David Hilbert par l'appellation « théorie de Hilbert ». Il existe une analogie géométrique, la ramification des surfaces de Riemann, qui est plus simple du fait qu'une seule sorte de sous-groupe de G doit être considérée, plutôt que deux. Ceci était certainement familier avant Hilbert[réf. nécessaire]. (fr) In mathematics, the interplay between the Galois group G of a Galois extension L of a number field K, and the way the prime ideals P of the ring of integers OK factorise as products of prime ideals of OL, provides one of the richest parts of algebraic number theory. The splitting of prime ideals in Galois extensions is sometimes attributed to David Hilbert by calling it Hilbert theory. There is a geometric analogue, for ramified coverings of Riemann surfaces, which is simpler in that only one kind of subgroup of G need be considered, rather than two. This was certainly familiar before Hilbert. (en) 数学において、代数体 K のガロア拡大 L のガロア群 G と整数環 OK の素イデアル P を OL の素イデアルの積として分解する方法との間の関係は、代数的整数論の最も豊かな部分のひとつとなっている。ガロア拡大における素イデアルの分解は、ダフィット・ヒルベルトが貢献しているので、ヒルベルトの理論 (Hilbert theory) と呼ばれる。リーマン面の分岐被覆に対し、幾何学的な類似も存在していて、素イデアルの分解を考えるよりも G の部分群の一種を考えることのほうがより容易である。この問題は、ヒルベルトよりも前から確かに知られてはいた。 (ja) Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов кольца целых поля алгебраических чисел в кольце целых расширении Галуа с группой Галуа . Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта. (ru) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.williamstein.org/papers/ant/ |
| dbo:wikiPageID | 1190816 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 15186 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124315186 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Prime_ideal dbr:David_Hilbert dbr:Algebraically_closed_field dbr:Riemann_surface dbr:Ring_of_integers dbr:Cubic_field dbr:Mathematics dbr:Fundamental_theorem_of_arithmetic dbr:Gaussian_integers dbr:Conductor_(ring_theory) dbr:Order_(ring_theory) dbr:Complex_manifold dbr:Ideal_norm dbr:Krull_dimension dbr:Maximal_ideal dbr:Automorphism dbr:Galois_extension dbr:Galois_group dbr:Minimal_polynomial_(field_theory) dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_number_theory dbr:Field_(mathematics) dbr:Number_field dbr:Discriminant_of_an_algebraic_number_field dbr:Primitive_element_theorem dbr:Heegner_number dbc:Algebraic_number_theory dbc:Galois_theory dbr:Chinese_remainder_theorem dbr:Splitting_field dbr:Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares dbr:Integral_closure dbr:Orbit_(group_theory) dbr:Preimage dbr:Frobenius_element dbr:Transitive_group_action dbr:Orbit-stabilizer_formula dbr:Ramified_covering dbr:Unique_factorisation |
| dbp:title | Splitting and ramification in number fields and Galois extensions (en) |
| dbp:urlname | SplittingAndRamificationInNumberFieldsAndGaloisExtensions (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Reflist dbt:Planetmath_reference dbt:Neukirch_ANT |
| dcterms:subject | dbc:Algebraic_number_theory dbc:Galois_theory |
| rdfs:comment | In mathematics, the interplay between the Galois group G of a Galois extension L of a number field K, and the way the prime ideals P of the ring of integers OK factorise as products of prime ideals of OL, provides one of the richest parts of algebraic number theory. The splitting of prime ideals in Galois extensions is sometimes attributed to David Hilbert by calling it Hilbert theory. There is a geometric analogue, for ramified coverings of Riemann surfaces, which is simpler in that only one kind of subgroup of G need be considered, rather than two. This was certainly familiar before Hilbert. (en) 数学において、代数体 K のガロア拡大 L のガロア群 G と整数環 OK の素イデアル P を OL の素イデアルの積として分解する方法との間の関係は、代数的整数論の最も豊かな部分のひとつとなっている。ガロア拡大における素イデアルの分解は、ダフィット・ヒルベルトが貢献しているので、ヒルベルトの理論 (Hilbert theory) と呼ばれる。リーマン面の分岐被覆に対し、幾何学的な類似も存在していて、素イデアルの分解を考えるよりも G の部分群の一種を考えることのほうがより容易である。この問題は、ヒルベルトよりも前から確かに知られてはいた。 (ja) Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов кольца целых поля алгебраических чисел в кольце целых расширении Галуа с группой Галуа . Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта. (ru) En mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois G d'une extension galoisienne de corps de nombres L/K (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l'anneau OK des entiers se décomposent sous forme de produits d'idéaux premiers de OL, est à la base de nombreux développements fructueux en théorie algébrique des nombres. (fr) |
| rdfs:label | Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes (fr) ガロア拡大での素イデアルの分解 (ja) Splitting of prime ideals in Galois extensions (en) Разложение простых идеалов в расширениях Галуа (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Splitting of prime ideals in Galois extensions wikidata:Splitting of prime ideals in Galois extensions dbpedia-fr:Splitting of prime ideals in Galois extensions dbpedia-ja:Splitting of prime ideals in Galois extensions dbpedia-ru:Splitting of prime ideals in Galois extensions https://global.dbpedia.org/id/2pZHo |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Splitting_of_prime_ideals_in_Galois_extensions?oldid=1124315186&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Splitting_of_prime_ideals_in_Galois_extensions |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Inert_prime dbr:Decomposed_prime dbr:Splitting_of_prime_ideals_in_galois_extensions dbr:Decomposition_group dbr:Splitting_of_prime_ideals_in_a_Galois_extension |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quadratic_field dbr:List_of_algebraic_number_theory_topics dbr:Prime_geodesic dbr:Algebraic_number_field dbr:Cubic_reciprocity dbr:Dedekind_zeta_function dbr:Integral_element dbr:Inert_prime dbr:Gaussian_integer dbr:Bauerian_extension dbr:Decomposed_prime dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Field_(mathematics) dbr:Ramification_group dbr:Prime_number dbr:Hermite–Minkowski_theorem dbr:Principalization_(algebra) dbr:Artin_L-function dbr:Witt_vector dbr:Splitting_of_prime_ideals_in_galois_extensions dbr:Decomposition_group dbr:Splitting_of_prime_ideals_in_a_Galois_extension |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Splitting_of_prime_ideals_in_Galois_extensions |