Maximal ideal (original) (raw)
Maximální ideál je v algebře takový ideál, který je v daném okruhu mezi vlastními ideály maximální vzhledem k inkluzi. Jinými slovy, I je maximální ideál okruhu R, pokud I je vlastní ideál a pro každý ideál J⊇I platí, že buď J = I, nebo J=R.
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| dbo:abstract | Un ideal maximal és un concepte matemàtic provinent de la teoria d'anells que és usat en diversos camps de l'àlgebra. Com el mateix nom indica, es tracta d'un ideal que és (respecte de la inclusió) d'entre tots els ideals propis d'un anell. En altres paraules, si I és un ideal maximal de l'anell A, aleshores tindrem que tot ideal J que contingui I dins seu haurà de ser igual a I o bé haurà de ser J = A. Per tant, estem dient que no hi haurà cap ideal J propi que faci I ⊊ J ⊊ A i sigui «més gran» que I. En el cas d'anells commutatius (i amb unitat, és a dir, element neutre pel producte), podem formular una altra definició equivalent que és similar a la dels ideals primers: Un ideal I de l'anell A és maximal si i només si l'anell quocient A / I és un cos. (ca) Maximální ideál je v algebře takový ideál, který je v daném okruhu mezi vlastními ideály maximální vzhledem k inkluzi. Jinými slovy, I je maximální ideál okruhu R, pokud I je vlastní ideál a pro každý ideál J⊇I platí, že buď J = I, nebo J=R. (cs) En ringo-teorio, maksimuma idealo estas idealo de ringo, kiu estas maksimuma inter la propraj (t.e. kiuj ne koincidas kun la tuta ringo) idealoj. (eo) Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra. (de) Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre. Un idéal d'un anneau commutatif est dit maximal lorsqu’il est contenu dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull. Cette définition permet de généraliser la notion d’élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. (fr) In mathematics, more specifically in ring theory, a maximal ideal is an ideal that is maximal (with respect to set inclusion) amongst all proper ideals. In other words, I is a maximal ideal of a ring R if there are no other ideals contained between I and R. Maximal ideals are important because the quotients of rings by maximal ideals are simple rings, and in the special case of unital commutative rings they are also fields. In noncommutative ring theory, a maximal right ideal is defined analogously as being a maximal element in the poset of proper right ideals, and similarly, a maximal left ideal is defined to be a maximal element of the poset of proper left ideals. Since a one sided maximal ideal A is not necessarily two-sided, the quotient R/A is not necessarily a ring, but it is a simple module over R. If R has a unique maximal right ideal, then R is known as a local ring, and the maximal right ideal is also the unique maximal left and unique maximal two-sided ideal of the ring, and is in fact the Jacobson radical J(R). It is possible for a ring to have a unique maximal two-sided ideal and yet lack unique maximal one sided ideals: for example, in the ring of 2 by 2 square matrices over a field, the zero ideal is a maximal two-sided ideal, but there are many maximal right ideals. (en) 環 R の極大左イデアル（きょくだいひだりいである、英: maximal left ideal）とは、R 以外の左イデアルの中で（集合の包含関係に関して）極大なもののことである。すなわち、左イデアル I を真に含む左イデアルが R しかないときに I を R の極大左イデアルという。極大右イデアルおよび極大両側イデアルも同様に定義される。これらのイデアルは（環が 0 でなく単位元をもつとき）ツォルンの補題によって存在が保証される。可換環においては、左・右・両側の区別はない。唯一の極大左イデアルをもつ環は局所環と呼ばれる。 (ja) In matematica, in particolare nella teoria degli anelli, un ideale massimale è un ideale che risulta essere un elemento massimale (rispetto all'inclusione insiemistica) dell'insieme degli ideali propri di un anello, ovvero tale che non sia contenuto propriamente in nessun altro ideale proprio dell'anello. Gli ideali massimali sono pertanto caratterizzati dalla proprietà di essere contenuti solamente in due ideali: l'intero anello e l'ideale massimale stesso. In un diagramma di Hasse questa proprietà è espressa dal fatto che gli ideali massimali sono sempre collegati direttamente al punto che rappresenta l'intero anello. (it) 환론에서 극대 아이디얼(極大ideal, 영어: maximal ideal)은 환 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다. (ko) Максимальным идеалом коммутативного кольца называется всякий собственный идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале. (ru) Ideał maksymalny – ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia. Istotność ideałów maksymalnych wynika zasadniczo z faktu, że pierścienie ilorazowe ideałów maksymalnych są , co w przypadku pierścieni przemiennych z jedynką oznacza, że są one także ciałami. Dla pierścieni nieprzemiennych definiuje się ideały maksymalne lewostronny i prawostronny jako maksymalne wśród częściowo uporządkowanego zbioru ideałów odpowiednio lewostronnych bądź prawostronnych. W tym przypadku iloraz jest tylko nad danym pierścieniem. Jeżeli pierścień ma dokładnie jeden prawostronny ideał maksymalny, to nazywa się go pierścieniem lokalnym; wówczas ideał ten jest równocześnie dokładnie jednym lewostronnym ideałem maksymalnym tego pierścienia, co oznacza, że jest on jego (obustronnym) ideałem maksymalnym – w istocie jest to radykał Jacobsona danego pierścienia. (pl) Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі. (uk) |
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| rdfs:label | Ideal maximal (ca) Maximální ideál (teorie okruhů) (cs) Maximales Ideal (de) Maksimuma idealo (eo) Ideale massimale (it) Idéal maximal (fr) 극대 아이디얼 (ko) Maximal ideal (en) 極大イデアル (ja) Ideał maksymalny (pl) Максимальный идеал (ru) Максимальний ідеал (uk) |
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