Order (ring theory) (original) (raw)
In matematica, un ordine nel senso della teoria degli anelli è un sottoanello di un anello che gode delle seguenti proprietà 1. * è un'algebra di dimensione finita su ; 2. * genera su , cioè ; 3. * è un - in .
| Property | Value |
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| dbo:abstract | In der algebraischen Zahlentheorie ist eine Ordnung des Zahlkörpers ein Unterring von , der (via Multiplikation) als Endomorphismenring auf bestimmten Untergruppen von , den Gittern operiert, zugleich ist die Ordnung selbst ein spezielles Gitter. Die Begriffe Ordnung und Gitter spielen eine Rolle bei der Untersuchung von Teilbarkeitsfragen in Zahlkörpern und bei der Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Arithmetik auf Zahlkörper. Diese Ideen und Begriffsbildungen gehen auf Richard Dedekind zurück. Die spezielleren Definitionen im ersten Teil des Artikels richten sich nach Leutbecher (1996). Danach wird eine des Begriffes Ordnung nach Silverman (1986) beschrieben. Zur Unterscheidung von allgemeineren und abweichenden Begriffen werden die spezielleren Begriffe auch als Dedekind-Gitter und Dedekind-Ordnung bezeichnet. (de) En matemáticas, más precisamente en el campo de la teoría de los anillos, el orden es un subanillo de un anillo , de manera que 1. * es un anillo el cual es un álgebra de dimensión finita sobre el campo de los números racionales 2. * engendra sobre , para que , y 3. * es un en (es decir, un ℤ-submódulo de tipo finito sin torsión). Las últimas dos condiciones pueden explicarse en términos más informales: aditivamente, es un grupo abeliano libre generado por una base para sobre . Más generalmente, para , un dominio integral contenido en un campo , definimos para ser de -orden en una -álgebra si esta es un subanillo de , la cual es una -red completa. Cuando no es un anillo conmutativo, la idea del orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son cuaterniones con coordenadas enteros. Los órdenes máximos existen, en general, pero se necesita que no sean únicos: en general no hay un orden más grande, sino un número de órdenes máximos. Una clase importante de ejemplos son los grupos de anillos integrales. Algunos ejemplos son: * Si es la matriz del anillo sobre , entonces la matriz del anillo sobre es de -orden en . * Si es un dominio integral y una extensión separable finita de , entonces el cierra integral de en es de -orden en . * Si en es un elemento integral sobre , entonces el anillo de polinomios es de -orden en el álgebra . * Si es el grupo del anillo de un grupo finito , entonces es de -orden en . Una propiedad fundamental de los -órdenes es que cada elemento de un -orden es integral sobre . Si el cierre integral de en es un -orden, entonces este resultado muestra que es el -orden máximo en . Sin embargo, este no es siempre el caso: en realidad, ni siquiera necesita ser un anillo, e incluso si lo es (por ejemplo, cuando es conmutativo), entonces no necesita ser una -red. (es) In mathematics, an order in the sense of ring theory is a subring of a ring , such that 1. * is a finite-dimensional algebra over the field of rational numbers 2. * spans over , and 3. * is a -lattice in . The last two conditions can be stated in less formal terms: Additively, is a free abelian group generated by a basis for over . More generally for an integral domain contained in a field , we define to be an -order in a -algebra if it is a subring of which is a full -lattice. When is not a commutative ring, the idea of order is still important, but the phenomena are different. For example, the Hurwitz quaternions form a maximal order in the quaternions with rational co-ordinates; they are not the quaternions with integer coordinates in the most obvious sense. Maximal orders exist in general, but need not be unique: there is in general no largest order, but a number of maximal orders. An important class of examples is that of integral group rings. (en) En mathématiques, un ordre au sens de la théorie des anneaux est un sous-anneau O d'un anneau A tel que 1. * l'anneau A est une algèbre de dimension finie sur le corps ℚ des nombres rationnels, 2. * O engendre A sur ℚ, si bien que ℚO = A et 3. * O est un ℤ- (en) dans A (c'est-à-dire un ℤ-sous-module de type fini sans torsion). Les deux dernières conditions signifient qu'additivement, O est un groupe abélien libre engendré par une base du ℚ-espace vectoriel A. Plus généralement, si A est une algèbre sur un corps K et R un anneau inclus dans K, un R-ordre de A est un sous-anneau de A qui est un R-réseau plein (c'est-à-dire qui vérifie les conditions 2 et 3 avec ℤ et ℚ remplacés respectivement par R et K). (fr) In matematica, un ordine nel senso della teoria degli anelli è un sottoanello di un anello che gode delle seguenti proprietà 1. * è un'algebra di dimensione finita su ; 2. * genera su , cioè ; 3. * è un - in . (it) |
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