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Ein nicht ausgearteter (n.a.) projektiver Kegelschnitt ist eine Kurve in einer pappusschen projektiven Ebene, die bei geeigneter Wahl einer Ferngerade affin als Hyperbel (s. Bild: c2) oder Parabel (Bild: c1) beschrieben werden kann. Die Gleichung beschreibt nicht immer einen n.a. Kegelschnitt. * Ein n.a. Kegelschnitt lässt sich in homogenen Koordinaten (s. u.) durch eine Gleichung der Form beschreiben und ist deswegen auch eine projektive Quadrik. Geometrisch kann man sich einen n.a. projektiven Kegelschnitt kreisähnlich vorstellen mit den wesentlichen Eigenschaften: 1) eine Gerade trifft in 0, 1 oder 2 Punkten, 2) in jedem Punkt von gibt es genau eine Tangente , d. h. . Diese beiden Eigenschaften bestimmen allerdings noch nicht einen n.a. Kegelschnitt. Zusätzlich zu den geometrischen Eigenschaften 1), 2) besitzt ein n.a. Kegelschnitt viele Symmetrien (s. u.). Der Vorteil eines projektiven n.a. Kegelschnitts ist die Tatsache, dass alle n.a. projektiven Kegelschnitte zur Kurve mit der Gleichung projektiv äquivalent sind. Affin sind die affinen Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel nicht äquivalent: Eine Parabel lässt sich mit einer affinen Abbildung nicht in eine Ellipse oder Hyperbel überführen. (de) In projective geometry, a von Staudt conic is the point set defined by all the absolute points of a polarity that has absolute points. In the real projective plane a von Staudt conic is a conic section in the usual sense. In more general projective planes this is not always the case. Karl Georg Christian von Staudt introduced this definition in Geometrie der Lage (1847) as part of his attempt to remove all metrical concepts from projective geometry. (en) |
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In projective geometry, a von Staudt conic is the point set defined by all the absolute points of a polarity that has absolute points. In the real projective plane a von Staudt conic is a conic section in the usual sense. In more general projective planes this is not always the case. Karl Georg Christian von Staudt introduced this definition in Geometrie der Lage (1847) as part of his attempt to remove all metrical concepts from projective geometry. (en) Ein nicht ausgearteter (n.a.) projektiver Kegelschnitt ist eine Kurve in einer pappusschen projektiven Ebene, die bei geeigneter Wahl einer Ferngerade affin als Hyperbel (s. Bild: c2) oder Parabel (Bild: c1) beschrieben werden kann. Die Gleichung beschreibt nicht immer einen n.a. Kegelschnitt. * Ein n.a. Kegelschnitt lässt sich in homogenen Koordinaten (s. u.) durch eine Gleichung der Form beschreiben und ist deswegen auch eine projektive Quadrik. (de) |
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Projektiver Kegelschnitt (de) Von Staudt conic (en) |
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