Projective geometry (original) (raw)
في الرياضيات، الهندسة الإسقاطية (بالإنجليزية: Projective geometry) هي دراسة الخصائص الهندسية الثابتة مع التحويلات المنظورية. بشكل شبيه للهندسة الأفينية والهندسة الإقليدية من الممكن تطوير الهندسة الإسقاطية من ، حيث تكون متحولة بالنسبة للتحويلات. تم تطوير الهندسة الإسقاطية على أيدي جيرار ديسارغو وآخرين الذين قاموا بوضع مبادئ المنظور.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في الرياضيات، الهندسة الإسقاطية (بالإنجليزية: Projective geometry) هي دراسة الخصائص الهندسية الثابتة مع التحويلات المنظورية. بشكل شبيه للهندسة الأفينية والهندسة الإقليدية من الممكن تطوير الهندسة الإسقاطية من ، حيث تكون متحولة بالنسبة للتحويلات. تم تطوير الهندسة الإسقاطية على أيدي جيرار ديسارغو وآخرين الذين قاموا بوضع مبادئ المنظور. (ar) La geometria projectiva és la branca de les matemàtiques que estudia les nocions intuïtives de "perspectiva" i d'"horitzó". Analitza les propietats de les figures invariants per projecció. (ca) Projektivní geometrie představuje takovou geometrii, která zkoumá vlastnosti, které se nemění u (kolineací). Model pro tuto geometrii je obvykle projektivní rovina anebo projektivní prostor. V této geometrii jsou definovány body a přímky, nikoli však úhly a vzdálenosti. Projektivní geometrie byla historicky inspirována potřebami renesančního umění – zvládnutím perspektivy v malířství. Matematickým zachycením těchto poznatků se zabývali Desargues, Poncelet, Möbius, Cayley a jiní. Důležitou vlastností projektivní geometrie je tzv. "". Například v geometrii projektivní roviny vyjadřuje fakt, že když se v jejích tvrzeních zamění slova bod a přímka a spojení "ležet na přímce" za "protínat se v bodě", tak se zachová pravdivost. Např. výrok "Každé dva různé body leží na jediné přímce" je duální k výroku "Každé dvě různé přímky se protínají v jediném bodě", oba jsou pravdivé. (cs) Projekcia geometrio estas la branĉo de matematiko kiu studas la proprecojn de efiko de la geometriaj figuroj, sed sendepende totale de la koncepto de mezuro. Ofte oni uzas tiun vorton ankaŭ por paroli pri la teorio de la projekcio nomita priskriba geometrio. Gérard Desargues estis la iniciatinto de la projekcia geometrio, ĉar li fundamentis matematike la metodojn de la perspektivo kiujn estis disvolvigintaj la artistoj de la Renesanco, kaj kvankam lia verko estis publikigita en 1639, ĝi restis neatentita dum du jarcentoj (escepte du teoremoj), kaŝita de la influa verkaro de Descartes. (eo) Die projektive Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie beruht auf der Projektion von Punkten, Geraden, Ebenen etc. Hervor ging die projektive Geometrie in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen Ebene. Im Gegensatz zur „gewöhnlichen“ euklidischen Geometrie gibt es in der projektiven Geometrie keine Parallelen. Wesentliche Beiträge leisteten Jean Victor Poncelet 1822 und Karl Georg Christian von Staudt 1847. Die projektive Geometrie befasst sich, wie die affine Geometrie, mit Punkten, Geraden, Ebenen, Kurven und Flächen; allerdings ohne die Parallelität von Geraden. Es gibt also keine Parallelprojektionen, sondern nur Zentralprojektionen. Die zu untersuchenden Objekte liegen jetzt in einer projektiven Ebene oder einem projektiven Raum. Meistens befasst man sich mit Objekten in einem projektiven Raum über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen , das heißt, die Koordinaten der Punkte sind reelle bzw. komplexe Zahlen. Nur in der axiomatischen projektiven Geometrie (s. u.) treten Koordinaten aus allgemeineren Strukturen (Körper, Schiefkörper, Ternärkörper, …) auf. Projektive Ebenen/Räume, in denen der Satz von Desargues gilt, lassen sich mit Hilfe von Vektorräumen über Schiefkörper noch gut beschreiben. Dies zeigt die große Bedeutung des Satzes von Desargues. Allerdings gilt er in mindestens 3-dimensionalen projektiven Räumen immer. Die Bedeutung der projektiven Geometrie liegt auch darin, dass sich die Maßgeometrien, insbesondere die euklidische Geometrie und die nichteuklidischen Geometrien durch Spezialisierung aus ihr heraus entwickeln lassen. Sie kann daher als eine Art Urgeometrie angesehen werden. Der Einfachheit halber werden hier bis zum Abschnitt über axiomatische projektive Geometrie immer reelle Koordinaten vorausgesetzt. (de) Se llama geometría proyectiva a la rama de la matemática que estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida. A menudo se usa esta palabra también para hablar de la teoría de la proyección llamada geometría descriptiva. (es) Staidéar ar fhigiúir gheoiméadracha agus a bhfuil i gcomhar acu lena scáileanna (mar shampla, airíonna líne nó cuair, sainmhínithe ag iltéarmach de chéim ar leith). Cheap Gerard Desargues (1591-1661) an t-ábhar, agus bhain feidhm as chun staidéar na gcónach a shimpliú, mar is coibhéiseach na héilipsí, na parabóilí is na hipearbóilí uile sa gheoiméadracht theilgeach. Ar an mbealach céanna, d'éirigh le Newton na cuair chiúbacha uile a shimpliú chuig 5 chineál. D'athbheoigh an matamaiticeoir Francach Jean Victor Poncelet (1788-1867) is an matamaiticeoir Gearmánach August Ferdinand Möbius an t-ábhar sna 1820idí, agus ó shin is í an brainse geoiméadrachta is bunúsaí dá bhfuil ann. Ní chaomhnaítear airíonna a bhaineann le fad i dtrasfhoirmithe teilgeacha. Is tearc iad airíonna teilgeacha figiúr, bíodh gur bunúsach iad. Is áisiúil an gheoiméadracht theilgeach chun ceisteanna faoi líon cuar de chineálacha ar leith a fhreagairt agus staidéar geoméadrach a dhéanamh ar réiteach cothromóidí. (ga) In mathematics, projective geometry is the study of geometric properties that are invariant with respect to projective transformations. This means that, compared to elementary Euclidean geometry, projective geometry has a different setting, projective space, and a selective set of basic geometric concepts. The basic intuitions are that projective space has more points than Euclidean space, for a given dimension, and that geometric transformations are permitted that transform the extra points (called "points at infinity") to Euclidean points, and vice-versa. Properties meaningful for projective geometry are respected by this new idea of transformation, which is more radical in its effects than can be expressed by a transformation matrix and translations (the affine transformations). The first issue for geometers is what kind of geometry is adequate for a novel situation. It is not possible to refer to angles in projective geometry as it is in Euclidean geometry, because angle is an example of a concept not invariant with respect to projective transformations, as is seen in perspective drawing. One source for projective geometry was indeed the theory of perspective. Another difference from elementary geometry is the way in which parallel lines can be said to meet in a point at infinity, once the concept is translated into projective geometry's terms. Again this notion has an intuitive basis, such as railway tracks meeting at the horizon in a perspective drawing. See projective plane for the basics of projective geometry in two dimensions. While the ideas were available earlier, projective geometry was mainly a development of the 19th century. This included the theory of complex projective space, the coordinates used (homogeneous coordinates) being complex numbers. Several major types of more abstract mathematics (including invariant theory, the Italian school of algebraic geometry, and Felix Klein's Erlangen programme resulting in the study of the classical groups) were motivated by projective geometry. It was also a subject with many practitioners for its own sake, as synthetic geometry. Another topic that developed from axiomatic studies of projective geometry is finite geometry. The topic of projective geometry is itself now divided into many research subtopics, two examples of which are projective algebraic geometry (the study of projective varieties) and projective differential geometry (the study of differential invariants of the projective transformations). (en) Di dalam matematika, geometri projektif adalah kajian sifat-sifat geometris yang invarian di bawah . Ini berarti bahwa geometri projektif memiliki tatanan, , dan himpunan selektif yang berbeda dibandingkan konsep-konsep geometri elementer. Intuisi-intuisi dasarnya adalah bahwa ruang projektif memiliki lebih banyak titik daripada ruang euklides, di dalam dimensi yang diberikan, dan bahwa transformasi geometris adalah diizinkan untuk memindahkan titik-titik ekstra (yang disebut "") ke titik-titik tradisional, dan begitu juga sebaliknya. Sifat-sifat yang penuh makna di dalam geometri projektif disokong oleh gagasan baru transformasi ini, yang lebih radikal dalam efek-efeknya dibanding keterekspresiannya oleh suatu dan translasi. Isu pertama bagi para ahli geometri adalah bahasa geometri manakah yang memadai bagi situasi baru ini? Tidaklah mungkin untuk memperbincangkan sudut dalam geometri projektif karena ia ada dalam geometri euklides, karena sudut adalah sebuah contoh dari konsep yang tidak invarian di bawah transformasi projektif, seperti yang tampak jelas dalam gambar perspektif. Satu sumber untuk geometri projektif adalah tentu saja teori perspektif. Perbedaan lainnya dari geometri elementer adalah cara di mana dapat dikatakan saling bertemu di sebuah , ketika konsep ini ditranslasikan ke dalam suku-suku geometri projektif. Dan lagi, gagasan ini memiliki landasan intuitif, misalnya rel kereta api yang bertemu di cakrawala menurut gambar perspektif. Lihatlah untuk dasar-dasar geometri projektif dalam dua dimensi. Sementara beberapa gagasan telah hadir terlebih dahulu, geometri projektif sebagian besarnya merupakan hasil pengembangan dari abad ke-19. Satu rancang bangun raksasa dari berbagai penelitian telah menjadikannya sebagai cabang geometri yang paling representatif pada masa itu. Geometri projektif adalah teori tentang , karena koordinat-koordinat yang digunakan adalah bilangan kompleks. Beberapa lembaran utama matematika yang lebih abstrak (termasuk , , dan -nya Felix Klein yang mengarah pada kajian ) dibangun di atas geometri aljabar. Geometri projektif juga merupakan subjek dengan banyak praktisi yang bekerja deminya, di bawah panji-panji . Cabang lain yang muncul dari kajian-kajian aksiomatis geometri projektif adalah . Cabang geometri projektif sendiri saat ini dibagi ke dalam banyak sub-cabang penelitian, dua contoh darinya adalah geometri aljabar projektif (kajian varietas projektif) dan (kajian invarian diferensial transformasi projektif). (in) En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale. (fr) 사영기하학(射影幾何學, 영어: projective geometry)은 기하학적 물체가 사영변환 할 때 변하지 않는 특성들을 연구하는 학문이다. 사영대수학은 기초적인 유클리드 기하학과는 달리 사영 공간과 몇 가지 기본적인 기하학적인 개념들로 구성되어있다. 기본적으로 사영 공간에서는 유클리드 공간보다 더 많은 위치를 가지고 있다. (ko) La geometria proiettiva è la parte della geometria che modellizza i concetti intuitivi di prospettiva e orizzonte. Definisce e studia gli enti geometrici usuali (punti, rette, ...) senza utilizzare misure o confronto di lunghezze. Lo geometria proiettiva è la geometria "vista da un occhio". Può essere pensata informalmente come la geometria che nasce dal collocare il proprio occhio in un punto dello spazio, così che ogni linea che intersechi l'"occhio" appaia solo come un punto. Le grandezze degli oggetti non sono direttamente quantificabili (perché guardando il mondo con un occhio soltanto non abbiamo informazioni sulla profondità) e l'orizzonte è considerato parte integrante dello spazio. Come conseguenza, nella geometria piana proiettiva due rette si intersecano sempre, non esistono quindi due rette parallele e distinte che non hanno punti di intersezione. (it) In de wiskunde is projectieve meetkunde een meetkunde zonder metriek. Ze vond haar oorsprong vroeg in de 19e eeuw in de principes van lijnperspectief in de beeldende kunst. Projectieve meetkunde is de studie van meetkundige eigenschappen die invariant zijn onder projectieve transformaties. Dit betekent dat, in vergelijking met elementaire meetkunde, het object van projectieve meetkunde niet de gewone ruimte is, maar een projectieve ruimte en er een geselecteerd aantal fundamentele meetkundige begrippen zijn. Projectieve ruimten van een bepaalde dimensie bestaan uit meer punten, dan de overeenkomstige euclidische ruimte, en er zijn meetkundige transformaties toegestaan die de extra punten, de zogenaamde “punten op oneindig”, naar traditionele punten verplaatsen, en vice versa. De belangrijkste eigenschappen in de projectieve meetkunde zijn de eigenschappen die betrekking hebben op dit nieuwe idee van transformaties die verder reiken dan kan worden uitgedrukt door affiene transformaties. In de projectieve meetkunde kan niet op dezelfde manier over hoeken gesproken worden als in de euclidische meetkunde. Hoeken zijn een voorbeeld van een begrip dat niet invariant is onder projectieve transformaties, zoals duidelijk te zien is bij perspectieftekenen. Een ander verschil met de elementaire meetkunde is dat parallelle lijnen, op geschikte manier gedefinieerd in de projectieve meetkunde, een punt op oneindig als snijpunt hebben. Ook dit begrip heeft een intuïtieve basis, denk aan spoorrails die in een perspectivische tekening aan de horizon bij elkaar komen. Zie het artikel projectieve vlak voor de basisbeginselen van de projectieve meetkunde in twee dimensies. Hoewel de ideeën eerder beschikbaar waren, vond de ontwikkeling van de projectieve meetkunde vooral plaats in de negentiende eeuw. Een enorme hoeveelheid onderzoek maakte de projectieve meetkunde in de 19e eeuw tot het meest representatieve gebied van de meetkunde. Dit was de theorie van de complexe projectieve ruimte, aangezien de gebruikte coördinaten (homogene coördinaten) complexe getallen waren. Een aantal belangrijke onderdelen van de meer abstracte wiskunde (met inbegrip van de invariantentheorie, de Italiaanse school van de algebraïsche meetkunde en Felix Kleins Erlanger programma, dat aan de basis stond van de klassieke groepen) bouwde voort op de projectieve meetkunde. Het was onder de vlag van de synthetische meetkunde ook een onderwerp met een groot aantal beoefenaars om eigen wille. Een ander veld dat is voortgekomen uit de axiomatische studie van de projectieve meetkunde is de eindige meetkunde. Het gebied van de projectieve meetkunde is heden ten dage onderverdeeld in vele onderzoeksdeelgebieden. Twee voorbeelden zijn de projectieve algebraïsche meetkunde (de studie van projectieve variëteiten) en de (de studie van differentiaalinvarianten van de projectieve transformaties). (nl) 数学における射影幾何学（しゃえいきかがく、英: projective geometry）は、射影変換の下で不変な幾何学的性質を研究する学問である（エルランゲン・プログラムも参照）。射影幾何は、初等的なユークリッド幾何とは設定を異にしており、射影空間といくつか基本的な幾何学的概念をもとに記述される。 初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。射影幾何学における種々の有用な性質は、このような変換（射影変換）に関連して与えられる。最初に問題となるのは、この射影幾何学的な状況を適切に記述することのできる幾何学的な言語はどのようなものであるかということである。例えば、射影幾何において（ユークリッド幾何で扱うようには）角の概念を考えることはできない。実際、角が射影変換の下で不変でないような幾何学的概念の一つであることは透視図などを見れば明らかであり、このような透視図法に関する理論が、事実射影幾何学の源流の一つともなっている。初等的な幾何学とのもう一つの違いとして「平行線は無限遠点において交わる」と考えることが挙げられる。これにより、初等幾何学の概念を射影幾何学へ持ち込むことができる。これもやはり、透視図において鉄道の線路が地平線において交わるといったような直観を基礎に持つ概念である。二次元における射影幾何の基本的な内容に関しては射影平面の項へ譲る。 こういった考え方は古くからあったものだが、射影幾何学として発展するのは主に19世紀のことである。多くの研究が取りまとめられ、射影幾何学は当時の幾何学の最も代表的な分野となった。ここでいう射影幾何学は、座標系（）の各成分が複素数となる複素射影空間についての理論である。そしていくつかのより抽象的な数学の系譜（例えば、、あるいはの研究へつながるフェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムなど）が射影幾何学を礎として打ち立てられていった。これらの主題に関わった多くの研究者は、肩書きとしては総合幾何学 (synthetic geometry) に属する研究者である。他にも、射影幾何学の公理的研究から生まれた研究分野として有限幾何学がある。 射影幾何学自体も現在では多くの研究分野へ細分化が進んでおり、主なものとしては、射影代数幾何学（射影代数多様体の研究）と（射影変換に関する微分不変量の研究）の二つを挙げることができるだろう。 (ja) Projektiv geometri är både ett matematiskt ämne och en del av perspektivläran. Projektiv geometri kan beskrivas som förhållandet mellan objekt och den bild som skapas då föremålet projiceras på en yta. En projektion kan t.ex. ofta åskådliggöras genom sin skugga. I projektiv geometri finns inga parallella linjer. Eller snarare: alla parallella linjer sammanstrålar/skär varandra i projektionens oändlighet. Ett plan i projektiv geometri utgör en sluten yta som dels består av punkterna i som finns i själva planet och dels av "linjen i oändligheten". Två projektiva raka linjer skär alltid varandra i precis en punkt, varken mer eller mindre. Det kommer antingen att ske i vad som motsvarar det vanliga planet eller i oändligheten. Inom projektiv geometri förblir normalt sett punkter, linjer och plan desamma när de projiceras. Däremot kan längder, längdförhållanden och vinklar förändras. Se även Desargues sats (1636) och Pappus sats (300-talet e.Kr.). Den franske matematikern Gérard Desargues (1591–1661) var den förste som formaliserade den projektiva geometrin, med syfte att utvidga den euklidiska geometrin. Han utnyttjade systematiskt element i oändligheten i sin avhandling om kägelsnitt 1639. (sv) Geometria rzutowa – dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822. Przekształceniem rzutowym jest każde wzajemnie jednoznaczne przekształcenie przestrzeni rzutowej wymiaru powyżej 1 zachowujące współliniowość punktów. Punktem w nieskończoności (punktem niewłaściwym, punktem nieskończenie dalekim) jest pewien kierunek, czyli pewien zbiór prostych wzajemnie równoległych. Płaszczyznę rzutową otrzymuje się przez dodanie do płaszczyzny euklidesowej punktów w nieskończoności. Prostą rzutową nazywa się prostą euklidesową uzupełnioną o punkt w nieskończoności (tzw. proste właściwe) lub zbiór wszystkich punktów w nieskończoności (tzw. prosta niewłaściwa). Na płaszczyźnie rzutowej nie ma prostych równoległych i każde dwie proste przecinają się w jednym punkcie; podobną konstrukcję przeprowadza się w przestrzeniach o więcej niż dwóch wymiarach. Ważnym pojęciem geometrii rzutowej jest zasada dualności, mówiąca, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej pozostaje prawdziwe, jeśli zamienimy w nim pojęcia "prosta" i "punkt" (i odpowiednio "przechodzi przez" z "leży na"). Przykładami twierdzeń dualnych są twierdzenie Brianchona i twierdzenie Pascala. (pl) Geometria projetiva ou projectiva, é o estudo das propriedades descritivas das figuras geométricas.A Geometria Projetiva, consolida-se a partir de uma publicação de Jean Victor Poncelet, intitulada Tratado das Propriedades Projetivas das Figuras no ano de 1822. Ampliando a linguagem da "Simples Geometria" aproximando-a da Geometria analítica e, sobretudo oferecendo meios próprios para demonstrar e fazer descobrir as propriedades de que gozam as figuras, quando se as considera de uma maneira abstrata e independente de qualquer grandeza absoluta e determinada. (pt) Проєкти́вна геоме́трія — розділ геометрії, який вивчає проєктивні площини та проєктивний простір. При аксіоматичній побудові проєктивної площини постулюється обов'язковий перетин двох різних прямих, замість аксіоми існування єдиної паралельної у геометрії Евкліда. Таким чином на проєктивній площині дві різні точки визначають пряму, дві різні прямі визначають точку. Це породжує головну особливість проєктивної геометрії — принцип дуальності, який додає витончену симетрію для багатьох конструкцій. Проєктивна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точки зору, так з аналітичної (за допомогою однорідних координат) і з алгебраїчної, розглядаючи проєктивну площину як структуру над полем. Часто, і історично, дійсна проєктивна площина розглядається як евклідова площина з додаванням «прямої у нескінченності». Проєктивна геометрія доповнює евклідову, надаючи красиві і прості рішення для багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих. Особливо проста й витончена проєктивна теорія конічних перетинів. (uk) Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства.Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Проективная геометрия может изучаться как с чисто геометрической точки зрения, так с аналитической (с помощью однородных координат) и с алгебраической, рассматривая проективную плоскость как структуру над полем. Часто, и исторически, вещественная проективная плоскость рассматривается как евклидова плоскость с добавлением «прямой в бесконечности». Тогда как свойства фигур, с которыми имеет дело Евклидова геометрия, являются метрическими (конкретные величины углов, отрезков, площадей), а эквивалентность фигур равнозначна их конгруэнтности (то есть когда фигуры могут быть переведены одна в другую посредством движения с сохранением метрических свойств), существуют более «глубоко лежащие» свойства геометрических фигур, которые сохраняются преобразованиями более общего типа, чем движение. Проективная геометрия занимается изучением свойств фигур, инвариантных при классе проективных преобразований, а также самих этих преобразований. Проективная геометрия дополняет евклидову, предоставляя красивые и простые решения для многих задач, осложнённых присутствием параллельных прямых. Особенно проста и изящна проективная теория конических сечений. (ru) 在數學裡，投影幾何（英語：projective geometry）研究在投影變換下不變的幾何性質。與初等幾何不同，投影幾何有不同的設定、射影空间及一套基本幾何概念。直覺上，在一特定維度上，投影空間比歐氏空間擁有「更多」的點，且允許透過幾何變換將這些額外的點（稱之為無窮遠點）轉換成傳統的點，反之亦然。 投影幾何中有意義的性質均與新的變換概念有關，此一變換比透過變換矩陣或平移（仿射變換）表示的變換更為基礎。對幾何學家來說，第一個問題是要找到一個足以描述這個新的想法的幾何語言。不可能在投影幾何內談論角，如同在歐氏幾何內談論一般，因為角並不是個在投影變換下不變的概念，如在透視圖中所清楚看到的一般。投影幾何的許多想法來源來自於對透視圖的理論研究。另一個與初等幾何不同之處在於，平行線可被認為會在無窮遠點上交會，一旦此一概念被轉換成投影幾何的詞彙之後。這個概念在直觀上，正如同在透視圖上會看到鐵軌在水平線上交會一般。有關投影幾何在二維上的基本說明，請見投影平面。 雖然這些想法很早以前便已存在，但投影幾何的發展主要還是到19世紀才開始。大量的研究使得投影幾何變成那時幾何的代表學科。當使用複數的坐標（齊次坐標）時，即為研究之理論。一些更抽象的數學（包括不變量理論、，以及菲利克斯·克萊因那導致古典群誕生的愛爾蘭根綱領）都建立在投影幾何之上。此一學科亦吸引了許多學者，在（synthetic geometry）的旗幟之下。另一個從投影幾何之公理化研究誕生的領域為有限幾何。 投影幾何的領域又可細分成許多的研究領域，其中的兩個例子為投影代數幾何（研究投影簇）及（研究投影變換的微分不變量）。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Theoreme_fondamental_geometrie_projective.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_diff._geom._following_grassmann.pdf http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/kummer_-_rectilinear_ray_systems.pdf http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/pasch_-_focal_and_singularity_surfaces.pdf https://archive.org/details/finitegeometries0000demb http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdf https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe https://archive.org/details/geometricalpictu0000pols http://xahlee.info/projective_geometry/projective_geometry.html http://lear.inrialpes.fr/people/triggs/pubs/isprs96/isprs96.html https://archive.org/details/117714799_001 https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu%7Curl-access=registration%7Cyear=1988%7Cpublisher=Springer-Verlag https://archive.org/details/syntheticproject00halsuoft/page/n3/mode/2up https://books.google.com/books%3Fid=4uw0dwi7bmQC https://books.google.com/books%3Fid=7WY5AAAAQBAJ https://books.google.com/books%3Fid=C5fSBwAAQBAJ https://books.google.com/books%3Fid=J9QcmFHj8EwC&pg=PP1 https://books.google.com/books%3Fid=bKh6QgAACAAJ https://books.google.com/books%3Fid=skGoBgAAQBAJ&pg=PR2 https://books.google.com/books%3Fid=uz3aBwAAQBAJ http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary%3Fdoi=10.1.1.17.1329 http://www.geometer.org/mathcircles/projective.pdf |
| dbo:wikiPageID | 243849 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 39021 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123010755 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Projective_plane dbr:Projective_space dbr:Projective_transformation dbr:Quantum_mechanics dbr:Enumerative_geometry dbr:Model_(logic) dbr:Model_theory dbr:Projective_harmonic_conjugate dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:SU(1,_1) dbr:Bernhard_Riemann dbr:Blaise_Pascal dbr:Desargues'_Theorem dbr:Algebraic_topology dbr:Joseph_Wedderburn dbr:Julius_Plücker dbr:Paul_Dirac dbr:Perspective_(graphical) dbr:Unit_circle dbr:Incidence_geometry dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Polyhedron dbr:Perspectivity dbr:Compass_(drafting) dbr:Complex_number dbr:Complex_plane dbr:Configuration_(geometry) dbr:Conic_section dbr:Conic_sections dbr:Corrado_Segre dbr:Analytic_geometry dbr:Mathematics dbr:Max_Noether dbr:Geometric_transformation dbr:Pappus_of_Alexandria dbr:Ellipse dbr:Elliptic_geometry dbr:Gaspard_Monge dbr:Generalised_circle dbr:Geodesic dbr:Gino_Fano dbr:Giuseppe_Peano dbr:Grassmannian dbr:Grassmann–Cayley_algebra dbr:Möbius_transformation dbr:Coordinate_systems_for_the_hyperbolic_plane dbr:Cross-ratio dbr:Ergebnisse_der_Mathematik_und_ihrer_Grenzgebiete dbr:Erlangen_program dbr:Ordered_geometry dbr:Angle dbr:Line_(geometry) dbr:Linear_algebra dbr:Luis_Santaló dbr:Complete_quadrangle dbr:Complex_projective_space dbr:Fundamental_theorem_of_projective_geometry dbr:Desargues'_theorem dbr:Pappus's_hexagon_theorem dbr:Parallel_(geometry) dbr:Point_(geometry) dbr:Pole_and_polar dbr:Straightedge dbc:Geometry dbr:Transformation_(geometry) dbr:Werner_Heisenberg dbr:Classical_groups dbr:Collinear dbr:Linear_fractional_transformation dbr:Affine_transformation dbr:Alessandro_Padoa dbr:Alfred_North_Whitehead dbr:Algebraic_curve dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_variety dbc:Projective_geometry dbr:Duality_(projective_geometry) dbr:Euclidean_space dbr:Federigo_Enriques dbr:Felix_Klein dbr:Filippo_Brunelleschi dbr:Francesco_Severi dbr:Brianchon's_theorem dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Parabola dbr:Pascal's_theorem dbr:Fano_plane dbr:Italian_school_of_algebraic_geometry dbr:Projective_line dbr:Projective_linear_group dbr:Projective_range dbr:Group_(mathematics) dbr:H._F._Baker dbr:Invariant_theory dbr:Isometries dbr:Jakob_Steiner dbr:Jean-Victor_Poncelet dbr:Hyperbola dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperbolic_space dbr:Hyperplane dbr:Projective_differential_geometry dbr:Steiner_conic dbr:Affine_geometry dbr:Chern_class dbr:Johannes_Kepler dbr:Lazare_Carnot dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Transformation_matrix dbr:Translation_(geometry) dbr:Differential_geometry dbr:Division_ring dbr:Axiom dbr:Mario_Pieri dbr:Incidence_structure dbr:Infinity dbr:Metric_space dbr:Michel_Chasles dbr:Axioms dbr:Secant_line dbr:Klein_quadric dbr:Real_projective_plane dbr:Euclidean_geometry dbr:Cayley-Klein_metric dbr:Klein_model dbr:Metric_(mathematics) dbr:Point_at_infinity dbr:Finite_geometry dbr:Non-Desarguesian_plane dbr:Synthetic_geometry dbr:Karl_von_Staudt dbr:Erlangen_programme dbr:Perspective_drawing dbr:Springer-Verlag dbr:Joseph_Gergonne dbr:Harmonic_quadruple dbr:Finite_projective_geometry dbr:Incidence_(mathematics) dbr:Poincaré_disc_model dbr:A._F._Möbius dbr:Conic dbr:Higher_dimension dbr:Gérard_Desargues dbr:Projective_configuration dbr:Projective_group dbr:Clebsch dbr:Complex_projective_line dbr:Unit_disc dbr:File:Fano_plane.svg dbr:File:Growth_measure_and_vortices.jpg dbr:File:Theoreme_fondamental_geometrie_projective.PNG dbr:Wikt:intermediacy |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Mathematical_art dbt:Authority_control dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Colbegin dbt:Colend dbt:Commons_category dbt:Div_col dbt:Further dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Use_American_English dbt:Use_mdy_dates dbt:Var dbt:General_geometry |
| dcterms:subject | dbc:Geometry dbc:Projective_geometry |
| gold:hypernym | dbr:Topic |
| rdf:type | owl:Thing dbo:Scientist |
| rdfs:comment | في الرياضيات، الهندسة الإسقاطية (بالإنجليزية: Projective geometry) هي دراسة الخصائص الهندسية الثابتة مع التحويلات المنظورية. بشكل شبيه للهندسة الأفينية والهندسة الإقليدية من الممكن تطوير الهندسة الإسقاطية من ، حيث تكون متحولة بالنسبة للتحويلات. تم تطوير الهندسة الإسقاطية على أيدي جيرار ديسارغو وآخرين الذين قاموا بوضع مبادئ المنظور. (ar) La geometria projectiva és la branca de les matemàtiques que estudia les nocions intuïtives de "perspectiva" i d'"horitzó". Analitza les propietats de les figures invariants per projecció. (ca) Projekcia geometrio estas la branĉo de matematiko kiu studas la proprecojn de efiko de la geometriaj figuroj, sed sendepende totale de la koncepto de mezuro. Ofte oni uzas tiun vorton ankaŭ por paroli pri la teorio de la projekcio nomita priskriba geometrio. Gérard Desargues estis la iniciatinto de la projekcia geometrio, ĉar li fundamentis matematike la metodojn de la perspektivo kiujn estis disvolvigintaj la artistoj de la Renesanco, kaj kvankam lia verko estis publikigita en 1639, ĝi restis neatentita dum du jarcentoj (escepte du teoremoj), kaŝita de la influa verkaro de Descartes. (eo) Se llama geometría proyectiva a la rama de la matemática que estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida. A menudo se usa esta palabra también para hablar de la teoría de la proyección llamada geometría descriptiva. (es) En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale. (fr) 사영기하학(射影幾何學, 영어: projective geometry)은 기하학적 물체가 사영변환 할 때 변하지 않는 특성들을 연구하는 학문이다. 사영대수학은 기초적인 유클리드 기하학과는 달리 사영 공간과 몇 가지 기본적인 기하학적인 개념들로 구성되어있다. 기본적으로 사영 공간에서는 유클리드 공간보다 더 많은 위치를 가지고 있다. (ko) Geometria projetiva ou projectiva, é o estudo das propriedades descritivas das figuras geométricas.A Geometria Projetiva, consolida-se a partir de uma publicação de Jean Victor Poncelet, intitulada Tratado das Propriedades Projetivas das Figuras no ano de 1822. Ampliando a linguagem da "Simples Geometria" aproximando-a da Geometria analítica e, sobretudo oferecendo meios próprios para demonstrar e fazer descobrir as propriedades de que gozam as figuras, quando se as considera de uma maneira abstrata e independente de qualquer grandeza absoluta e determinada. (pt) Projektivní geometrie představuje takovou geometrii, která zkoumá vlastnosti, které se nemění u (kolineací). Model pro tuto geometrii je obvykle projektivní rovina anebo projektivní prostor. V této geometrii jsou definovány body a přímky, nikoli však úhly a vzdálenosti. Projektivní geometrie byla historicky inspirována potřebami renesančního umění – zvládnutím perspektivy v malířství. Matematickým zachycením těchto poznatků se zabývali Desargues, Poncelet, Möbius, Cayley a jiní. (cs) Die projektive Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie beruht auf der Projektion von Punkten, Geraden, Ebenen etc. Hervor ging die projektive Geometrie in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen Ebene. Im Gegensatz zur „gewöhnlichen“ euklidischen Geometrie gibt es in der projektiven Geometrie keine Parallelen. Wesentliche Beiträge leisteten Jean Victor Poncelet 1822 und Karl Georg Christian von Staudt 1847. (de) Staidéar ar fhigiúir gheoiméadracha agus a bhfuil i gcomhar acu lena scáileanna (mar shampla, airíonna líne nó cuair, sainmhínithe ag iltéarmach de chéim ar leith). Cheap Gerard Desargues (1591-1661) an t-ábhar, agus bhain feidhm as chun staidéar na gcónach a shimpliú, mar is coibhéiseach na héilipsí, na parabóilí is na hipearbóilí uile sa gheoiméadracht theilgeach. Ar an mbealach céanna, d'éirigh le Newton na cuair chiúbacha uile a shimpliú chuig 5 chineál. D'athbheoigh an matamaiticeoir Francach Jean Victor Poncelet (1788-1867) is an matamaiticeoir Gearmánach August Ferdinand Möbius an t-ábhar sna 1820idí, agus ó shin is í an brainse geoiméadrachta is bunúsaí dá bhfuil ann. Ní chaomhnaítear airíonna a bhaineann le fad i dtrasfhoirmithe teilgeacha. Is tearc iad airíonna teilgeacha figiúr, (ga) In mathematics, projective geometry is the study of geometric properties that are invariant with respect to projective transformations. This means that, compared to elementary Euclidean geometry, projective geometry has a different setting, projective space, and a selective set of basic geometric concepts. The basic intuitions are that projective space has more points than Euclidean space, for a given dimension, and that geometric transformations are permitted that transform the extra points (called "points at infinity") to Euclidean points, and vice-versa. (en) Di dalam matematika, geometri projektif adalah kajian sifat-sifat geometris yang invarian di bawah . Ini berarti bahwa geometri projektif memiliki tatanan, , dan himpunan selektif yang berbeda dibandingkan konsep-konsep geometri elementer. Intuisi-intuisi dasarnya adalah bahwa ruang projektif memiliki lebih banyak titik daripada ruang euklides, di dalam dimensi yang diberikan, dan bahwa transformasi geometris adalah diizinkan untuk memindahkan titik-titik ekstra (yang disebut "") ke titik-titik tradisional, dan begitu juga sebaliknya. (in) La geometria proiettiva è la parte della geometria che modellizza i concetti intuitivi di prospettiva e orizzonte. Definisce e studia gli enti geometrici usuali (punti, rette, ...) senza utilizzare misure o confronto di lunghezze. Lo geometria proiettiva è la geometria "vista da un occhio". (it) 数学における射影幾何学（しゃえいきかがく、英: projective geometry）は、射影変換の下で不変な幾何学的性質を研究する学問である（エルランゲン・プログラムも参照）。射影幾何は、初等的なユークリッド幾何とは設定を異にしており、射影空間といくつか基本的な幾何学的概念をもとに記述される。 初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。射影幾何学における種々の有用な性質は、このような変換（射影変換）に関連して与えられる。最初に問題となるのは、この射影幾何学的な状況を適切に記述することのできる幾何学的な言語はどのようなものであるかということである。例えば、射影幾何において（ユークリッド幾何で扱うようには）角の概念を考えることはできない。実際、角が射影変換の下で不変でないような幾何学的概念の一つであることは透視図などを見れば明らかであり、このような透視図法に関する理論が、事実射影幾何学の源流の一つともなっている。初等的な幾何学とのもう一つの違いとして「平行線は無限遠点において交わる」と考えることが挙げられる。これにより、初等幾何学の概念を射影幾何学へ持ち込むことができる。これもやはり、透視図において鉄道の線路が地平線において交わるといったような直観を基礎に持つ概念である。二次元における射影幾何の基本的な内容に関しては射影平面の項へ譲る。 (ja) In de wiskunde is projectieve meetkunde een meetkunde zonder metriek. Ze vond haar oorsprong vroeg in de 19e eeuw in de principes van lijnperspectief in de beeldende kunst. Projectieve meetkunde is de studie van meetkundige eigenschappen die invariant zijn onder projectieve transformaties. Dit betekent dat, in vergelijking met elementaire meetkunde, het object van projectieve meetkunde niet de gewone ruimte is, maar een projectieve ruimte en er een geselecteerd aantal fundamentele meetkundige begrippen zijn. Projectieve ruimten van een bepaalde dimensie bestaan uit meer punten, dan de overeenkomstige euclidische ruimte, en er zijn meetkundige transformaties toegestaan die de extra punten, de zogenaamde “punten op oneindig”, naar traditionele punten verplaatsen, en vice versa. De belangrijk (nl) Geometria rzutowa – dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822. Przekształceniem rzutowym jest każde wzajemnie jednoznaczne przekształcenie przestrzeni rzutowej wymiaru powyżej 1 zachowujące współliniowość punktów. (pl) Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства.Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Проективная геометрия может изучаться как с чисто геометрической точки зрения, так с аналитической (с помощью однородных координат) и с алгебраической, рассматривая проективную плоскость как структуру над полем. Часто, и исторически, вещественная проективная плоскость рассматривается как евклидова плоскость с добавлением «прямой в бесконечности». (ru) Projektiv geometri är både ett matematiskt ämne och en del av perspektivläran. Projektiv geometri kan beskrivas som förhållandet mellan objekt och den bild som skapas då föremålet projiceras på en yta. En projektion kan t.ex. ofta åskådliggöras genom sin skugga. I projektiv geometri finns inga parallella linjer. Eller snarare: alla parallella linjer sammanstrålar/skär varandra i projektionens oändlighet. (sv) 在數學裡，投影幾何（英語：projective geometry）研究在投影變換下不變的幾何性質。與初等幾何不同，投影幾何有不同的設定、射影空间及一套基本幾何概念。直覺上，在一特定維度上，投影空間比歐氏空間擁有「更多」的點，且允許透過幾何變換將這些額外的點（稱之為無窮遠點）轉換成傳統的點，反之亦然。 投影幾何中有意義的性質均與新的變換概念有關，此一變換比透過變換矩陣或平移（仿射變換）表示的變換更為基礎。對幾何學家來說，第一個問題是要找到一個足以描述這個新的想法的幾何語言。不可能在投影幾何內談論角，如同在歐氏幾何內談論一般，因為角並不是個在投影變換下不變的概念，如在透視圖中所清楚看到的一般。投影幾何的許多想法來源來自於對透視圖的理論研究。另一個與初等幾何不同之處在於，平行線可被認為會在無窮遠點上交會，一旦此一概念被轉換成投影幾何的詞彙之後。這個概念在直觀上，正如同在透視圖上會看到鐵軌在水平線上交會一般。有關投影幾何在二維上的基本說明，請見投影平面。 投影幾何的領域又可細分成許多的研究領域，其中的兩個例子為投影代數幾何（研究投影簇）及（研究投影變換的微分不變量）。 (zh) Проєкти́вна геоме́трія — розділ геометрії, який вивчає проєктивні площини та проєктивний простір. При аксіоматичній побудові проєктивної площини постулюється обов'язковий перетин двох різних прямих, замість аксіоми існування єдиної паралельної у геометрії Евкліда. Таким чином на проєктивній площині дві різні точки визначають пряму, дві різні прямі визначають точку. Це породжує головну особливість проєктивної геометрії — принцип дуальності, який додає витончену симетрію для багатьох конструкцій. Проєктивна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точки зору, так з аналітичної (за допомогою однорідних координат) і з алгебраїчної, розглядаючи проєктивну площину як структуру над полем. Часто, і історично, дійсна проєктивна площина розглядається як евклідова площина з додаванням «прямої (uk) |
| rdfs:label | Projective geometry (en) هندسة إسقاطية (ar) Geometria projectiva (ca) Projektivní geometrie (cs) Projektive Geometrie (de) Projekcia geometrio (eo) Geometría proyectiva (es) Geoiméadracht theilgeach (ga) Geometri proyektif (in) Géométrie projective (fr) Geometria proiettiva (it) 射影幾何学 (ja) 사영기하학 (ko) Projectieve meetkunde (nl) Geometria rzutowa (pl) Geometria projetiva (pt) Projektiv geometri (sv) Проективная геометрия (ru) 射影几何 (zh) Проєктивна геометрія (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Projective geometry http://d-nb.info/gnd/4047436-7 wikidata:Projective geometry dbpedia-ar:Projective geometry dbpedia-az:Projective geometry dbpedia-bg:Projective geometry http://bn.dbpedia.org/resource/অভিক্ষেপ_জ্যামিতি dbpedia-ca:Projective geometry dbpedia-cs:Projective geometry dbpedia-cy:Projective geometry dbpedia-de:Projective geometry dbpedia-eo:Projective geometry dbpedia-es:Projective geometry dbpedia-fa:Projective geometry dbpedia-fi:Projective geometry dbpedia-fr:Projective geometry dbpedia-ga:Projective geometry dbpedia-gl:Projective geometry dbpedia-he:Projective geometry http://hi.dbpedia.org/resource/प्रक्षेपीय_ज्यामिति dbpedia-hu:Projective geometry http://hy.dbpedia.org/resource/Պրոյեկտիվ_երկրաչափություն dbpedia-id:Projective geometry dbpedia-it:Projective geometry dbpedia-ja:Projective geometry dbpedia-ko:Projective geometry http://ky.dbpedia.org/resource/Проекциялык_геометрия dbpedia-nl:Projective geometry dbpedia-nn:Projective geometry dbpedia-no:Projective geometry dbpedia-pl:Projective geometry dbpedia-pms:Projective geometry dbpedia-pt:Projective geometry dbpedia-ro:Projective geometry dbpedia-ru:Projective geometry dbpedia-sk:Projective geometry dbpedia-sl:Projective geometry dbpedia-sv:Projective geometry http://tg.dbpedia.org/resource/Ҳандасаи_тасвирӣ dbpedia-uk:Projective geometry dbpedia-zh:Projective geometry https://global.dbpedia.org/id/j8c7 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Projective_geometry?oldid=1123010755&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Growth_measure_and_vortices.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Theoreme_fondamental_geometrie_projective.png wiki-commons:Special:FilePath/Fano_plane.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Projective_geometry |
| is dbo:knownFor of | dbr:Ziauddin_Ahmad dbr:Jakob_Steiner |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Projective |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:History_of_projective_geometry dbr:Projective_Geometry dbr:Axioms_of_projective_geometry dbr:Algebraic_projective_geometry |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:California_Science_Center dbr:Beltrami–Klein_model dbr:Projective_frame dbr:Projective_plane dbr:Projective_space dbr:Scale_invariance dbr:Elena_Freda dbr:List_of_academic_fields dbr:List_of_algebraic_geometry_topics dbr:List_of_computer_graphics_and_descriptive_geometry_topics dbr:List_of_first-order_theories dbr:Midpoint dbr:Molecule_Man dbr:Léon_Lalanne dbr:Mabel_Minerva_Young dbr:Representation_theory dbr:Projective_harmonic_conjugate dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Trifocal_tensor dbr:Beniamino_Segre dbr:Beryl_May_Dent dbr:Blaise_Pascal dbr:Desargues's_theorem dbr:Descriptive_geometry dbr:Algebraic_geometry_of_projective_spaces dbr:Antiquarian_science_books dbr:Arc_(projective_geometry) dbr:Archytas dbr:History_of_projective_geometry dbr:Homogeneous_function dbr:Homography dbr:Horizon dbr:Hubert_A._Newton dbr:Hyperbolic_angle dbr:John_von_Neumann dbr:Jordan_algebra dbr:Joseph_Diez_Gergonne dbr:Joseph_Wedderburn dbr:Julius_Plücker dbr:List_of_Cornell_University_alumni_(natural_sciences) dbr:List_of_Tenchi_Muyo!_characters dbr:List_of_geometers dbr:List_of_giant_squid_specimens_and_sightings_(2015–present) dbr:List_of_people_considered_father_or_mother_of_a_scientific_field dbr:Paul_Émile_Appell dbr:Reinhold_Baer dbr:Curriculum_of_the_Waldorf_schools dbr:Curvature_of_Space_and_Time,_with_an_Introduction_to_Geometric_Analysis dbr:Unital_(geometry) dbr:Vanishing_point dbr:Von_Staudt_conic dbr:Definitions_of_mathematics dbr:Desmic_system dbr:Double_wedge dbr:Dowling_geometry dbr:Duncan_Sommerville dbr:Incidence_geometry dbr:Infix_notation dbr:International_Mathematical_Olympiad dbr:Invariant_differential_operator dbr:Inversive_geometry dbr:Jacques-François_Le_Poivre dbr:James_William_Peter_Hirschfeld dbr:Johannes_Finsterbusch dbr:Number dbr:Lie_group dbr:List_of_geometry_topics dbr:List_of_important_publications_in_mathematics dbr:Perspectivity dbr:Cone dbr:Configuration_(geometry) dbr:Conformal_geometric_algebra dbr:Conic_section dbr:Convex_curve dbr:Correlation_(projective_geometry) dbr:Mathematical_beauty dbr:Mathematics dbr:Matrix_representation_of_conic_sections dbr:Ruth_Moufang dbr:Chessboard_detection dbr:General_linear_group dbr:Geometric_Exercises_in_Paper_Folding dbr:Geometry_of_Complex_Numbers dbr:George_Adams_Kaufmann dbr:George_Ballard_Mathews dbr:Narendra_Karmarkar dbr:Pappus_of_Alexandria dbr:Ray_casting dbr:Quasifield dbr:Timeline_of_manifolds dbr:Elliptic_geometry dbr:Emmy_Noether dbr:Enrico_Fermi dbr:Equatorial_coordinate_system dbr:G._B._Halsted dbr:Geometric_algebra dbr:Geometry dbr:George_Dantzig dbr:Gerhard_Hessenberg dbr:Gino_Fano dbr:Giuseppina_Masotti_Biggiogero dbr:Glossary_of_algebraic_geometry dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Glossary_of_calculus dbr:Gottlob_Frege dbr:Grassmannian dbr:Grassmann–Cayley_algebra dbr:Möbius_transformation dbr:Concurrent_lines dbr:Conical_surface dbr:Conjugate_diameters dbr:Continuous_geometry dbr:Cross-ratio dbr:Thomas_Gerald_Room dbr:Erlangen_program dbr:Laguerre–Forsyth_invariant dbr:Near-field_(mathematics) dbr:Ordered_geometry dbr:Projective_Geometry dbr:Arithmetic_of_abelian_varieties dbr:Arrangement_(space_partition) dbr:Arrangement_of_hyperplanes dbr:Bernardo_Antonio_Vittone dbr:Line_(geometry) dbr:Luigi_Berzolari dbr:Luis_Santaló dbr:Singularity_theory dbr:Stereographic_projection dbr:Collinearity dbr:Collineation dbr:Combinatorial_design dbr:Commercial_augmented_reality dbr:Complete_quadrangle dbr:Complex_affine_space dbr:Complex_projective_plane dbr:Complex_projective_space dbr:Computer_vision dbr:Ziauddin_Ahmad dbr:Ágoston_Scholtz dbr:Federico_Amodeo dbr:Frédérique_Lenger dbr:Harmonic_conjugate dbr:Parallel_(geometry) dbr:Pentagram_map dbr:Perspective_(geometry) dbr:Pole dbr:Pole_and_polar dbr:Projective_orthogonal_group dbr:Space_(mathematics) dbr:Symmetry_(geometry) dbr:Mathematics_and_art dbr:Matroid dbr:Centre_(geometry) dbr:Three-dimensional_space dbr:William_Kingdon_Clifford dbr:Dual_polyhedron dbr:Galois_geometry dbr:Games_graph dbr:Gino_Loria dbr:Giovanni_Bordiga dbr:Girard_Desargues dbr:Heinz_Prüfer dbr:Karmarkar's_algorithm dbr:Lajos_Szilassi dbr:Stereoautograph dbr:2D_computer_graphics dbr:5 dbr:Affine_group dbr:Affine_scaling dbr:Alfred_Tarski dbr:Algebraic_geometry dbr:Cylinder dbr:Dual_curve dbr:Duality_(mathematics) dbr:Duality_(projective_geometry) dbr:Euclid dbr:Fabio_Conforto dbr:Field_with_one_element dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Oswald_Veblen dbr:Oval dbr:Oval_(projective_plane) dbr:Paraboloid dbr:Pascal's_theorem dbr:Pasch's_axiom dbr:Pascual_Jordan dbr:Celestial_sphere dbr:Chuan-Chih_Hsiung dbr:Daniel_Pedoe dbr:Diophantine_geometry dbr:Direct_linear_transformation dbr:Eduard_Weyr dbr:Fano_plane dbr:Focal_plane_tomography dbr:Focus_(geometry) dbr:Foundations_of_geometry dbr:Foundations_of_mathematics dbr:Gerbaldi's_theorem dbr:Gerrit_Mannoury dbr:Hans_Fronius dbr:Hilbert's_fifteenth_problem dbr:History_of_computed_tomography dbr:History_of_geometry dbr:History_of_mathematical_notation dbr:History_of_special_relativity dbr:History_of_topos_theory dbr:Italian_school_of_algebraic_geometry dbr:John_Wesley_Young dbr:Joseph_A._Thas dbr:Journey_into_Geometries dbr:Projective_cone dbr:List_of_German_inventors_and_discoverers dbr:Pasquale_del_Pezzo dbr:Quadratic_form dbr:Projection dbr:Projection_(mathematics) dbr:Projective dbr:Projective_linear_group dbr:Projective_range dbr:Theodor_Reye dbr:Marino_Pannelli dbr:Group_(mathematics) dbr:Guarino_Guarini dbr:Guido_Fubini dbr:Intersection_theorem dbr:Introduction_to_systolic_geometry dbr:Invariant_theory dbr:Irene_Fischer dbr:Jakob_Steiner dbr:Jean-Victor_Poncelet dbr:Tenchi_Muyo!_Ryo-Ohki dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperbolic_orthogonality dbr:Hyperbolic_sector dbr:Hyperplane dbr:Riemann_sphere dbr:Simple_Lie_group dbr:Arthur_Moritz_Schoenflies dbr:Asymptote dbr:Augmented_reality dbr:August_Ferdinand_Möbius dbr:A_Treatise_on_the_Circle_and_the_Sphere dbr:Abstraction_(mathematics) dbr:Achille_Sannia dbr:Affine_geometry dbr:Johannes_Kepler dbr:Karl_Georg_Christian_von_Staudt dbr:Lazare_Carnot dbr:Bipartite_graph dbr:Bivector dbr:Blocking_set dbr:Herman_Müntz dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Homothety dbr:Ternary_operation dbr:William_Edge_(mathematician) dbr:Models_of_non-Euclidean_geometry dbr:Differential_geometry dbr:Disdyakis_triacontahedron dbr:Divsha_Amirà dbr:Domenico_Montesano dbr:Map_projection dbr:Mario_Pieri dbr:Photogrammetry dbr:Pierre_Samuel dbr:Poncelet–Steiner_theorem dbr:Solid_geometry dbr:Circular_points_at_infinity dbr:Circular_section dbr:Group_theory dbr:Incidence_(geometry) dbr:Infinity dbr:Konstantin_Andreev dbr:Michael_S._Longuet-Higgins dbr:Michel_Chasles dbr:Mileva_Marić dbr:Oriented_projective_geometry dbr:Camera_angle dbr:Qvist's_theorem dbr:R._H._Bruck dbr:Raphael_M._Robinson dbr:Ceva's_theorem dbr:Sebastian_Finsterwalder dbr:Segre's_theorem dbr:Semilinear_map dbr:Christian_Juel dbr:Klein_geometry dbr:Séminaire_Nicolas_Bourbaki_(1950–1959) dbr:Ludwig_Burmester dbr:Schubert_calculus dbr:Rotation_(mathematics) dbr:Scaling_(geometry) dbr:Scheimpflug_principle dbr:Screw_theory dbr:Segre_embedding dbr:Singleton_bound dbr:Skew_lines dbr:Victor_Schlegel dbr:Unifying_theories_in_mathematics |
| is dbp:knownFor of | dbr:Jakob_Steiner |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Projective_geometry |
