Steiner conic (original) (raw)
The Steiner conic or more precisely Steiner's generation of a conic, named after the Swiss mathematician Jakob Steiner, is an alternative method to define a non-degenerate projective conic section in a projective plane over a field. The usual definition of a conic uses a quadratic form (see Quadric (projective geometry)). Another alternative definition of a conic uses a hyperbolic polarity. It is due to K. G. C. von Staudt and sometimes called a von Staudt conic. The disadvantage of von Staudt's definition is that it only works when the underlying field has odd characteristic (i.e., ).
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| dbo:abstract | Der Satz von Steiner, auch Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts genannt, nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, ist eine alternative Möglichkeit, einen nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene über einem Körper (pappussche Ebene) zu definieren: * Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten (alle Geraden durch den Punkt bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten Kegelschnitt. (s. 1. Bild) Unter einer perspektiven Abbildung eines Geradenbüschels eines Punktes auf das Geradenbüschel in einem Punkt versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Geraden in auf die Geraden in so, dass sich zugeordnete Geraden auf einer festen Gerade schneiden. heißt die Achse der perspektiven Abbildung (s. 2. Bild). Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen eines Geradenbüschels. Als Körper kann man sich z. B. die reellen Zahlen , die rationalen Zahlen oder die komplexen Zahlen vorstellen. Aber auch endliche Körper sind als Koordinatenbereiche erlaubt. Bemerkung:Der Fundamentalsatz für projektive Ebenen sagt aus, dass eine projektive Abbildung in einer pappusschen projektiven Ebene durch die Vorgabe der Bilder von 3 Geraden schon eindeutig bestimmt ist. Dies bedeutet, dass man bei der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts außer den Grundpunkten nur die Bilder dreier Geraden vorgeben muss. Durch diese 5 Bestimmungsstücke ist der Kegelschnitt dann schon eindeutig bestimmt. Bemerkung:Die Bezeichnung „perspektiv“ stammt von der dualen Aussage her: Projiziert man die Punkte einer Gerade von einem Punkt (Zentrum) aus auf eine Gerade , so nennt man diese Abbildung perspektiv (siehe dualen Fall). Einfaches Beispiel:Verschiebt man im 1. Bild den Punkt und sein Geradenbüschel in den Punkt und dreht anschließend das Büschel in um einen festen Winkel , so erzeugt die Verschiebung zusammen mit der Drehung eine projektive Abbildung des Geradenbüschels in auf das Geradenbüschel in . Der entstehende Kegelschnitt ist wegen des Peripheriewinkelsatzes ein Kreis. (de) The Steiner conic or more precisely Steiner's generation of a conic, named after the Swiss mathematician Jakob Steiner, is an alternative method to define a non-degenerate projective conic section in a projective plane over a field. The usual definition of a conic uses a quadratic form (see Quadric (projective geometry)). Another alternative definition of a conic uses a hyperbolic polarity. It is due to K. G. C. von Staudt and sometimes called a von Staudt conic. The disadvantage of von Staudt's definition is that it only works when the underlying field has odd characteristic (i.e., ). (en) Конструкция Штейнера — способ определения невырожденного конического сечения в проективной плоскости над полем.Была предложена швейцарским математиком Якобом Штейнером. (ru) |
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