Алгебраическая функция | это... Что такое Алгебраическая функция? (original) (raw)

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция $\,\!F(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется алгебраической в точке $\,\!A=(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ , если существует окрестность точки $\,\!A$ , в которой верно тождество

$\,\!P( F(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0.$

где $\,\!P$ есть многочлен от n+1 переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного $F(x) = \sqrt{1-x^2}$ является алгебраической на интервале (-1,1) в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

$\,\!F^2 + x^2 = 1.$

Существует аналитическое продолжение функции $F(x) = \sqrt{1-x^2}$ на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [-1, 1] или с двумя вырезанными лучами ![(-\infty, -1]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/2bbda46f09c030f245f9afe1fa0eb85f.png) и ![1,\infty). В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи

Частными случаями алгебраических функций являются:

Алгебраические и трансцендентные числа

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, $\sqrt{2}$ — алгебраическое иррациональное число, а $\,\!\pi$ — трансцендентное иррациональное число.

См. также

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 4 октября 2011.