Определитель матрицы | это... Что такое Определитель матрицы? (original) (raw)

Определитель матрицы

Определитель матрицы

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А|, ||A|| или Δ(A).

Содержание

Определение через разложение по первой строке

Схема расчета определителя матрицы 2 \times 2 .

Для матрицы порядка 1 детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

\Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}

Для матрицы 2 \times 2 детерминант определяется как

\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Для матрицы n \times n определитель задаётся рекурсивно:

\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1, где \bar M_j^1 — дополнительный минор к элементу a_1_j. Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы 3 \times 3 такова:

\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} =

= _a_11_a_22_a_33 − _a_11_a_23_a_32 − _a_12_a_21_a_33 + _a_12_a_23_a_31 + _a_13_a_21_a_32 − _a_13_a_22_a_31

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

\Delta=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i

Доказательство

Пусть \tilde{\Delta}= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i.

Докажем, что \tilde{\Delta}=\Delta по индукции. Видно, что для матрицы 2 \times 2 это верно:

\tilde{\Delta_2}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta_2

Предполжим, что для матрицы порядка n−1 \tilde\Delta_{n-1}=\Delta_{n-1} — верно.

\tilde{\Delta_n}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\sum_{j=2}^n(-1)^j a_{1j}\bar M_{1j}^{i1}=

=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^n (-1)^{i+j+1} a_{i1}a_{1j}\bar M_{1j}^{i1}

{\Delta_n}=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\sum_{i=2}^n(-1)^i a_{i1}\bar M_{j1}^{1i}=

=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n\sum_{i=2}^n (-1)^{i+j+1} a_{1j}a_{i1}\bar M_{j1}^{1i}=\tilde{\Delta_n} \Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i

Доказательство

Пусть \tilde{\Delta}= \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i. Докажем, что \tilde{\Delta}=\Delta по индукции. Видно, что для матрицы 2 \times 2 это верно: \tilde{\Delta_2}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta_2 Предположим, что для матрицы порядка n−1 \tilde\Delta_{n-1}=\Delta_{n-1} — верно. \tilde{\Delta_n}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\left(\sum_{k<j}(-1)^{1+k}a_{1k}\bar M_{jk}^{i1}+\sum_{k>j}(-1)^k a_{1k}\bar M_{jk}^{i1}\right) Соберём коэффициенты при \bar M_{j_0k_0}^{i\,\,1}: j_0>k_0\colon\; (-1)^{i+j_0}a_{ij_0}(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}+(-1)^{i+k_0}a_{ik_0}(-1)^{j_0}a_{1j_0}=(-1)^{i+j_0+k_0+1}(a_{ij_0}a_{1k_0}-a_{ik_0}a_{1j_0})= =(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i} j_0<k_0\colon\; (-1)^{i+j_0}a_{ij_0}(-1)^{k_0}a_{1k_0}+(-1)^{i+k_0}a_{ik_0}(-1)^{j_0+1}a_{1j_0}=(-1)^{i+j_0+k_0+1}(a_{ik_0}a_{1j_0}-a_{ij_0}a_{1k_0})= =(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i} \tilde{\Delta_n}=\sum_{j\ne k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}\bar M_{jk}^{1i} \Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\left(\sum_{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}\bar M_{jk}^{1i}+\sum_{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}\bar M_{jk}^{1i}\right) Соберём коэффициенты при \bar M_{j_0k_0}^{i\,\,1}: j_0>k_0\colon\; (-1)^{1+j_0}a_{1j_0}(-1)^{i+k_0-1}a_{ik_0}+(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}(-1)^{i+j_0-2}a_{ij_0} =(-1)^{j_0+i+k_0}(a_{1j_0}a_{ik_0}-a_{1k_0}a_{ij_0})= =(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i} j_0<k_0\colon\; (-1)^{1+j_0}a_{1j_0}(-1)^{i+k_0-2}a_{ik_0}+(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}(-1)^{i+j_0-1}a_{ij_0}= (-1)^{k_0+i+j_0}(a_{1k_0}a_{ij_0}-a_{1j_0}a_{ik_0})= =(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}

{\Delta_n}=\sum_{j\ne k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}\bar M_{jk}^{1i}=\tilde{\Delta_n} Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

\Delta=\sum_{1\leqslant j_1<\ldots<j_k\leqslant n} (-1)^{i_1+...+i_k+j_1+...+j_k} M_{j_1...j_k}^{i_1...i_k} \bar M_{j_1...j_k}^{i_1...i_k}

Определение через перестановки

Для матрицы n \times n справедлива форумула:

\Delta=\sum_{\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, ...\alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdot ... \cdot a_{\alpha_nn},

где α1,α2,...α_n_ — перестановка порядка n, N(α1,α2...α_n_) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют "членами определителя". Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

Свойства определителей

Специальные виды определителей

См. также

Литература

Ссылки

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Определитель матрицы" в других словарях: