Действие группы | это... Что такое Действие группы? (original) (raw)

Вращения на углы кратные 120° вокруг центра равностороннего треугольника действует на множестве вершин этого треугольника, циклически переставляя их.

Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Содержание

Определения

Действие слева

Говорят, что группа G действует слева на множестве M, если задан гомоморфизм \Phi\colon G\to S(M) из группы G в симметрическую группу S(M) множества M. Для краткости (\Phi(g))(m) часто записывают как gm, g\cdot m или g.m. Элементы группы G называются в этом случае преобразованиями, а сама группа G — группой преобразований множества M.

Другими словами, группа G действует на множестве M, если задано отображение G\times M\to M. обозначаемое (g,m)= gm, такое что

  1. (gh)m=g(hm) для всех g,\;h\in G, m\in M и
  2. em=m, где e — нейтральный элемент группы G. Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу M его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа

Аналогично, правое действие группы G на M задается гомоморфизмом \rho: G^{op} \to S(M), где G^{op} — инверсная группа группы G. При этом часто используют сокращенное обозначение: \rho(g)(m) =: xg. При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

  1. m(gh) = (mg)h,
  2. me = m.

Комментарии

Типы действий

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделенных соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие \rho: G \to \mathrm{X}топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение двух топологических пространств. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

Орбиты

Подмножество

Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M

называется орбитой элемента m\in M.

Действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim_{_G} \,m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно k, то

M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k,

где m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k=1.

Стабилизаторы

Подмножество

G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

является подгруппой группы G и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента m\in M.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если n\,\sim_{_G}\,m, то найдется такой элемент g\in G, что

G_m=gG_ng^{-1}.

Количество элементов в орбите

|Gm|=[G:G_m], G_m — стабилизатор элемента m и [G:G_m] — индекс подгруппы G_m\subset G, в случае конечных групп равен \frac{|G|}{|G_m|}.

Если M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k, то

|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}] — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

  1. \forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;
  2. \sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;
  3. лемма Бёрнсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, M=G и гомоморфизм \Phi:G\to S(G) задан как (\Phi(g))(h)=gh.

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, (\Phi(g))(h)=hg^{-1}.

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения G\times G на M=G с гомоморфизмом \Phi:G\times G\to S(G) заданым как (\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1}.

Сопряжениями

Пусть M=G и гомоморфизм \Phi:G\to S(G) задан как (\Phi(g))(h)=ghg^{-1}. При этом для каждого элемента h\in G стабилизатор G_h совпадает с централизатором C(h):

G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

Например, для элемента h из центра группы G (то есть h\in Z(G)) имеем C(m)=G и G_h=G.

Вариации и обобщения

См. также

Литература