Подобие | это... Что такое Подобие? (original) (raw)

Подобие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек $\ A$ , $\ B$ и их образов $\ A'$ , $\ B'$ имеет место соотношение $\ |A'B'|=k|AB|$ , где $\ k$ — положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Примеры

Каждая гомотетия является подобием.
Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом $\ k=1$ .

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

Свойства

Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка $\ B$ лежит между точками $\ A$ , $\ C$ и $\ B'$ , $\ A'$ , $\ C'$ — соответствующие их образы при некотором подобии, то $\ B'$ также лежит между точками $\ A'$ и $\ C'$ .
Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
При подобии угол сохраняет величину.
Подобие с коэффициентом $\ k\not=1$ , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом $\ k$ или $\ -k$ .
Два треугольника являются подобными, если
- их соответственные углы равны, или
- стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в $\ n$ -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет $\ r$ -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов $\ r$ -членная группа подобных преобразований Ли содержит $\ (r-1)$ -членную нормальную подгруппу движений.

См. также

Ссылки

Равенство и подобие геометрических фигур