Конформное отображение | это... Что такое Конформное отображение? (original) (raw)
Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.
Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.
Содержание
- 1 Связанные определения
- 2 Свойства
- 3 Примеры
- 4 История
- 5 Применение
- 6 Литература
- 7 См. также
- 8 Ссылки
Связанные определения
Свойства
Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.
Примеры
Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.
- Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
- Инверсия — конформное отображение второго рода;
- Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
- Стереографическая проекция.
История
Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин.
Применение
Конформное отображение применяется в картографии, электростатике, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).
Литература
- Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
- Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
- Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. Перевод с английского М. Келдыша
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
См. также
Ссылки
- Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.