W-функция Ламберта | это... Что такое W-функция Ламберта? (original) (raw)

-функция Ламберта определяется как обратная функция к f(w)=w e^w , для комплексных . Обозначается W(x) или $\operatorname{LambertW}(x)$ . Для любого комплексного она определяется функциональным уравнением:

$z=W(z) e^{W(z)}$

-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

Содержание

1 История
2 Многозначность
3 Асимптотики
4 Свойства
- 4.1 Значение в некоторых точках
5 Решение уравнений с помощью W-функции
6 Обобщенные применения W-Функции Ламберта
7 Вычисление
8 Ссылки

История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера в 1779, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»[1].

Многозначность

	Эта статья или раздел описывает ситуацию применительно лишь к частным случаям (). Необходимо переработать изложение или добавить информацию, чтобы статья описывала более общий случай.

График _W_0(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Поскольку функция f(w) не является инъективной на интервале $(-\infty,0)$ , W(z) является многозначной функцией на ![-\frac{1}{e},0). Если ограничиться вещественными $z = x\geqslant-1/e$ и потребовать $w\geqslant -1$ , будет определена однозначная функция W_0(x) .

Асимптотики

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчетов.

$\left.W(z)\right|_{z \to \infty} = \log(z)-\log( \log(z) )$

$\left.W(z)\right|_{z \to -\frac{1}{e}} = \sqrt{ 2 ( ez + 1 ) }-1$

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при $z\ne -1/e$ функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

${dW\over dz} = \frac{1}{z} \frac{W(z)}{W(z)+1}$

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при |z|<1/e :

$W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots$

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

$\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C$

Значение в некоторых точках

$W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}$

$W\left(-{1\over e}\right) = -1$

$W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2$

$W(0) = 0\,$

$W(e) = 1\,$

$W(1) = \Omega \approx 0{,}56714329\,$ (постоянная Омега)

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример: x^x=z

$\ln z=x\ln x=e^{\ln x}\,\ln x$ , следовательно, $x=e^{W(\ln z)}$ .

Пример: 2^x=5 x

$1 = 5 x\cdot 2^{-x} = 5 x\, e^{-x\ln 2}$

Обозначим $y=-x\ln 2$ , тогда $y\,e^y={-\ln 2\over 5}$ , отсюда $y=W\left({-\ln 2\over 5}\right)$ и окончательно $x=-{1\over\ln2}W\left({-\ln 2\over 5}\right)$ .

Обобщенные применения W-Функции Ламберта

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:

$e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$

где _a_0, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является $x = r + \frac{1}{c} W( \frac{c\,e^{-c r}}{a_o })$ . Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции[2] Ламберта:

Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале “Classical and Quantum Gravity”[3] была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:

$e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)$

и где константы _r_1 и _r_2, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а _r_i и _a_o являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщенное применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию “Meijer G", оно принадлежит к другому типу функций. Когда _r_1 = _r_2, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.

Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулы водорода[4]. В этом случае, правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:

$e^{-c x} = a_o \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)$

где _r_i и _s_i константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-Функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики [5].

Вычисление

-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения[1]:

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)} {2w_j+2}}$

Пример программы на языке Python:

import math

def lambertW(x, prec=1e-12): w = 0 for i in xrange(100): wTimesExpW = wmath.exp(w) wPlusOneTimesExpW = (w+1)math.exp(w) w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)(wTimesExpW-x)/(2w+2)) if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): break if (prec <= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x return w

Для приближённого вычисления можно использовать формулу[6]: !!!Приведенная функция похожа, но более чем на 10% отличается от функции Ламберта

$W(x) \approx \left\{ \begin{matrix} 0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0{,}04 & \ :\ & 0<x\le500 \\ \ln(x-4) - (1-{1\over\ln x}) \ln\ln x & \ :\ & x>500 \\ \end{matrix} \right.$

Ссылки

↑ 1 2 Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996) (PostScript)
↑ T.C. Scott and R.B. Mann (April 2006). General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), 17: no. 1, 41–47, [1]; Arxiv article [2]
↑ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott (2007). N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. 24: 4647–4659, [3]; Arxiv article [4]
↑ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst (2006). New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. 324: 323–338, [5]; Arxiv article [6]
↑ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III (2007). The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75: 060101, [7]
↑ Double precision function LAMBERTW(X) в пакете QCDINS