Экстремум | это... Что такое Экстремум? (original) (raw)

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Содержание

1 Определения
2 Замечание
3 Необходимые условия существования локальных экстремумов
4 Достаточные условия существования локальных экстремумов
5 См. также

Определения

Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R,$ и $x_0 \in M^0$ — внутренняя точка области определения Тогда

Если неравенства выше строгие, то x_0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

Значение функции f(x_0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция определённая на множестве может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, $f(x) = x,\; x\in (-1,1).$

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка x_0 является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки x_0 .

Тогда либо производная ~f'(x_0) не существует, либо ~f'(x_0) = 0 .

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов

$f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0$

x_0 является точкой строгого локального максимума. А если

$f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,$

то x_0 является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x_0

~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) < 0

x_0 является точкой локального максимума. А если

~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) > 0

то x_0 является точкой локального минимума.

Если чётно и $f^{(n)}(x_0)<0$ , то x_0 - точка локального максимума. Если чётно и $f^{(n)}(x_0)>0$ , то x_0 - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

См. также

Экстремум
Наука
Математика	Максимум • Минимум • Супремум, инфимум
Общество	Наибольшее значение: Потолок, Верхний предел, Верхушка • Наименьшее значение: Дно, Низ, Нижний предел
Изменение	Увеличение — к максимуму • Уменьшение — к минимуму
Прочее	Середина: Золотая середина, Среднее значение • Оптимум
Формализация

Методы оптимизации
Одномерные	Метод золотого сечения • Дихотомия • Метод парабол • Перебор по сетке • Метод Фибоначчи • Троичный поиск
Прямые методы	Метод Гаусса • Метод Нелдера — Мида • Метод Хука — Дживса • Метод конфигураций • Метод Розенброка
Первого порядка	Градиентный спуск • Метод Зойтендейка • Покоординатный спуск • Метод сопряжённых градиентов • Квазиньютоновские методы • Алгоритм Левенберга — Марквардта
Второго порядка	Метод Ньютона • Метод Ньютона — Рафсона
Стохастические	Метод Монте-Карло • Имитация отжига • Эволюционные алгоритмы • Дифференциальная эволюция • Муравьиный алгоритм • Метод роя частиц
Методы линейного программирования	Симплекс-метод • Алгоритм Гомори • Метод эллипсоидов • Метод потенциалов
Методы нелинейногопрограммирования	Последовательное квадратичное программирование