Преобразование Мёбиуса | это... Что такое Преобразование Мёбиуса? (original) (raw)

Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная)

Преобразование Мёбиуса — дробно-линейная функция одного комплексного переменного, тождественно не равная константе:

f(z)=\frac{az+b}{cz+d},\quad a,\;b,\;c,\;d\in\mathbb C,\quad ad-bc\ne 0.

Легко проверяются следующие простые свойства:

  1. Тождественное отображение f(z)=z также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить a=d=1,\;b=c=0.
  2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
  3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Содержание

Алгебраические свойства

При умножении параметров a, b, c, d на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы GL_2(\mathbb C), то есть имеет место эпиморфизм: \left(\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}.

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца SO^\uparrow(1,\;3).

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию ad-bc=1. Тогда, в зависимости следа этой матрицы, равного a+d, можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение f(z)=\frac{az+b}{cz+d} разложимо в суперпозицию четырёх функций:

f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),

где

\begin{matrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matrix}

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для произвольных трёх точек z_1,\;z_2,\;z_3 существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в фиксированные три точки w_1,\;w_2,\;w_3. Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Искомое отображение строится заменой одной из точек и её образа на переменную, соответственно, z и w и имеет общий вид:

\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w)}{(w_1-w)(w_2-w_3)}.

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

является автоморфизмом единичного круга \Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\} тогда и только тогда, когда a{\bar b}=c{\bar d} и \frac{bc}{ad} принадлежит полуинтервалу ![0,;1).

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi}|=1.

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

W(z)=\frac{z-i}{z+i}.

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость {\mathbb C}^+ в единичный круг \Delta.

Литература

Ссылки