Делимость | это... Что такое Делимость? (original) (raw)

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Обозначения
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Число делителей
5 Обобщения
6 См. также
7 Ссылки
8 Примечания
9 Литература

Определение

Если для некоторого целого числа и целого числа существует такое целое число , что bq=a, то говорят, что число делится нацело на или что делит

При этом число называется делителем числа , делимое будет кратным числа , а число q называется частным от деления a на b.

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

Обозначения

Связанные определения

У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
У каждого натурального числа, большего 1, есть хотя бы один простой делитель.
Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
Вне зависимости от делимости целого числа на целое число $b\ne 0$ , число a всегда можно разделить на b с остатком, то есть представить в виде:
$a=b\,q + r,$ где $0 \leqslant r < |b|$ .

В этом соотношении число называется неполным частным, а число r — остатком от деления на . Как частное, так и остаток определяются однозначно.

Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.

Свойства

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что $a,\,b,\,c$ — целые числа.

Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю :

$\quad0\,\vdots\,a.$

Любое целое число делится на единицу:

$\quad a\,\vdots\,1.$

На ноль делится только ноль:

$a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0$ ,

причём частное в этом случае не определено.

Единица делится только на единицу:

$1\,\vdots\,a\quad\Rightarrow\quad a = \pm 1.$

Свойство делимости является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:

Число делителей

Число положительных делителей натурального числа обычно обозначается $\tau(n)$ , является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

$\sum_{n=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right),$

в которой $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а для $\theta$ Дирихле получил значение $\frac{1}{2}.$ Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат $\theta=\frac{131}{416}$ (получен в 2003 году Хаксли). Однако, наименьшее значение $\theta$ , при котором эта формула останется верной, неизвестен (доказано, что он не меньше, чем $\frac{1}{4}$ ).[1][2][3]

При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как $\frac{c_1 n}{\sqrt{\ln n}}$ , что было обнаружено А. Карацубой.[4]. По компьютерным оценкам М. Королёва $c_1=\frac{1}{\pi}\prod_p \left(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}} \ln\left(1+\frac{1}{p}\right)\right)\approx 0,7138067$ .

Обобщения

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов.

См. также

Ссылки

Видео о делимости

Примечания

↑ А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
↑ Аналитическая теория чисел
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ В. И Арнольд Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

Литература

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6