Факторкольцо | это... Что такое Факторкольцо? (original) (raw)

Факторкольцо́ — в абстрактной алгебре это кольцо классов вычетов некоторого кольца $\mathrm{K}$ по модулю его идеала $\mathrm{J}$ .

Обозначается $\mathrm{K}/\mathrm{J}$ .

Классы вычетов по модулю идеала $\mathrm{J}$ определяются как смежные классы кольца $\mathrm{K}$ по аддитивной подгруппе $\mathrm{J}$ . Класс вычетов, содержащий элемент $\mathrm{a}$ обычно обозначается $\mathrm{[a] = (a+J) = \{a+c|c\in J\}}$ . Два различных элемента кольца, принадлежащие одному классу вычетов, называются равными по модулю идеала.

Операции в факторкольце (сложение и умножение) определяются равенствами:

$\mathrm{(a+J)+(b+J)=(a+b)+J}$

$\mathrm{(a+J)(b+J)=ab+J}$

Связанные теоремы

Теорема о гомоморфизме колец:

Если — гомоморфизм кольца $\mathrm{K}$ на кольцо $\mathrm{R}$ , то ядро $\ker\,f$ является идеалом кольца $\mathrm{K}$ , причём кольцо $\mathrm{R}$ изоморфно факторкольцу $\mathrm{K}/\ker\,f$ .

Обратно: если $\mathrm{J}$ — идеал кольца $\mathrm{K}$ , то отображение $f: \mathrm{K}\to\mathrm{K/J}$ , определяемое условием $f(a) = a+\mathrm{J}, \forall a \in \mathrm{K}$ является гомоморфизмом кольца $\mathrm{J}$ на $\mathrm{K/J}$ с ядром $\mathrm{J}$ .

Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.

См. также

Литература

Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
М. Атья, И. Макдональд Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля (в двух томах). — М.: Мир, 1988. — 430 с.