Гомоморфизм | это... Что такое Гомоморфизм? (original) (raw)

Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы ~(G_1,*) , $~(G_2,\times)$ . Отображение $~f \colon G_1 \to G_2$ называется гомоморфизмом групп ~G_1 и ~G_2 , если оно одну групповую операцию переводит в другую: $~f(a*b)=f(a)\times f(b)$ .

Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма предложена известной группой французских математиков N. Bourbaki в их книге «Теория множеств» (Глава 5).

Связанные определения

Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
Ядро гомоморфизма
- для гомоморфизма абелевых групп (в частности для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля,
- для общих групп — прообраз единицы.

Свойства

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

Типы гомоморфизмов

Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм
Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
Автоморфизм — взаимно однозначный гомоморфизм в само множество

См. также

Факторгруппа

Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, стр. 332 (1974, стр. 373).