Многочлен над конечным полем | это... Что такое Многочлен над конечным полем? (original) (raw)

Многочленом над конечным полем $\Bbb{F}_q$ называется формальная сумма вида

$f(x)=f_0+f_1 x+\ldots+f_m x^m,\quad f_i\in \Bbb{F}_q,\quad f_m\neq 0.$

Здесь — целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена f(x) , а x^k — элементы алгебры над $\Bbb{F}_q,$ умножение которых задаётся правилами:

$x^k \cdot x^m = x^{k+m},$

$x^0 \equiv 1.$

Такое определение позволяет умножать многочлены формально, не заботясь о том, что разные степени одного и того же элемента конечного поля могут совпадать.

Содержание

1 Связанные определения
2 Корни многочлена
3 Циклотомический класс
- 3.1 Примеры циклотомических классов
- 3.2 Связь с корнями полиномов
4 См. также

Связанные определения

Корни многочлена

Корнем называется всякий элемент поля, значение многочлена на котором равно нулю. Полином степени m имеет ровно m корней (с учётом кратности), принадлежащих некоторому расширенному полю $\Bbb{F}_Q,\quad \Bbb{F}_q\subseteq \Bbb{F}_Q$ . Если q=p^s , где — простое, то $Q=p^S,\;S\geqslant s$ . Исходя из свойств конечных полей, любой элемент поля $\Bbb{F}_Q$ является корнем двучлена x^Q-x . Таким образом, корни многочлена f(x) также являются корнями двучлена x^Q-x .

Справедливы теорема Безу и следствия из неё:

Также справедлива следующая теорема:

Циклотомический класс

Следствием Теоремы 1 может быть тот факт, что, если $\alpha\in\Bbb{F}_Q$ — корень полинома f(x) над полем $\Bbb{F}_q$ , то и $\alpha^q,\;\alpha^{q^2},\;\alpha^{q^3},\;\ldots\in\Bbb{F}_Q$ являются его корнями.

Определение: циклотомическим классом над полем $\Bbb{F}_q,\;q=p^s$ , порождённым некоторым элементом $\alpha\in\Bbb{F}_Q,\;Q=p^S$ называется множество всех различных элементов $\Bbb{F}_Q$ , являющихся -ыми степенями $\alpha$ .

Если $\alpha$ — примитивный элемент (такой элемент, что $\alpha^{Q-1}=1$ и $\alpha^k\neq 1$ при 0<k<Q-1 ) поля $\Bbb{F}_Q,\;Q=q^m$ , то циклотомический класс $C=\{\alpha,\;\alpha^q,\;\alpha^{q^2},\;\ldots,\;\alpha^{q^{m-1}}\}$ над полем $\Bbb{F}_q$ будет иметь ровно элементов.

Следует отметить, что любой элемент из циклотомического класса может порождать этот и только этот класс, а, следовательно, и принадлежать только ему.

Примеры циклотомических классов

Пример 1. Пусть q=2 , Q=2^3=8 и $\alpha$ — примитивный элемент поля $\Bbb{F}_8$ , то есть $\alpha^7=1$ и $\alpha^i\neq 1$ при i<7 . Учитывая также, что $\alpha^8=\alpha$ , можно получить разложение всех ненулевых элементов поля $\Bbb{F}_8$ на три циклотомических класса над полем $\Bbb{F}_2$ :

$\begin{matrix} \{1\}, \\ \{\alpha,\;\alpha^2,\;\alpha^4\}, \\ \{\alpha^3,\;\alpha^6,\;\alpha^5\}. \end{matrix}$

Пример 2. Аналогично можно построить классы на поле $\Bbb{F}_{16}$ над полем $\Bbb{F}_4$ , то есть $q=4,\;Q=q^2=16$ . Пусть $\alpha$ — примитивный элемент поля $\Bbb{F}_{16}$ , значит $\alpha^{15}=1,\;\alpha^{16}=\alpha$ .

$\begin{matrix} \{1\}, \\ \{\alpha,\;\alpha^4\},\;\{\alpha^2,\;\alpha^8\}, \\ \{\alpha^3,\;\alpha^{12}\},\;\{\alpha^5\},\;\{\alpha^{10}\}, \\ \{\alpha^6,\;\alpha^9\},\;\{\alpha^7,\;\alpha^{13}\}, \\ \{\alpha^{11},\;\alpha^{14}\}. \end{matrix}$

Связь с корнями полиномов

Следующая Теорема устанавливает связь между циклотомическими классами и разложением полинома $x^{Q-1}-1$ на неприводимые полиномы над полем $\Bbb{F}_q$ .

Можно установить такое следствие из Теоремы 2. Из свойства конечных полей, говорящего о том, что все ненулевые элементы поля $\Bbb{F}_Q$ являются корнями многочлена $x^{Q-1}-1$ , можно заключить, что многочлен $x^{Q-1}-1$ можно разложить на неприводимые над полем $\Bbb{F}_q$ многочлены $f_0(x),\;f_1(x),\;\ldots,\;f_d$ , каждый из которых соответствует своему циклотомичесому классу.

См. также

Конечное поле