Когомологии де Рама | это... Что такое Когомологии де Рама? (original) (raw)

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. k-мерная группа когомологий де Рама многообразия M обычно обозначается H^k_{\mathrm{dR}}(M).

Содержание

Гладкие многообразия

Определения

Через коцепной комплекс

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии M с внешней производной d\,^k в качестве дифференциала.

0 \to\Omega^0(M)\stackrel{d\,^0}{\to}\Omega^1(M)\stackrel{d^1}{\to}\Omega^2(M)\stackrel{d^2}{\to}\Omega^3(M)\to\ldots

Здесь \Omega^0(M) — пространство гладких функций на M, \Omega^1(M) — пространство 1-форм, то есть \Omega^k(M) — пространство k-форм. Заметим, что d\,^{k+1} d\,^k=0. k-мерная группа когомологий H_k этого коцепного комплекса является его мерой точности в k-ом члене и определяется как

H^k(\Omega^\bullet,\;d^\bullet)=\mathrm{Ker}\,d^k\,/\,\mathrm{Im}\,d^{k-1}.

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы \alpha и \beta в \Omega^k(M) называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность \alpha-\beta=d\gamma является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в \Omega^k(M).

Когомологическим классом [\alpha] формы \alpha называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от \alpha на точную форму — то есть множество форм вида \alpha+d\gamma.

k-мерная группа когомологий де Рама H^k_\mathrm{dR}(M) — это факторгруппа всех замкнутых форм в \Omega^k(M) по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия M, имеющего N связных компонент,

H^0_\mathrm{dR}(M)\cong\mathbf{R}^N.

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если \omega — замкнутая k-форма, а M и N — гомологичные k-цепи (то есть M-N является границей (k+1)-мерной цепи W), то

\int\limits_M\omega=\int\limits_N\omega,

поскольку их разность есть интеграл

\int\limits_{\partial W}\omega=\int\limits_W\,d\omega=\int\limits_W 0=0.

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама H^k_\mathrm{dR}(M) в группу сингулярных когомологий H^k(M;\;\mathbf R). Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

H^k_\mathrm{dR}(M)\cong H^k(M;\;\mathbf R).

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп H^k_\mathrm{dR}(M) структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях H^k(M;\;\mathbf R) задаёт \smile-умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразия

Определение

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием X над полем k связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия X называются группы когомологий H^p_\mathrm{dR}(X/k).

Частные случаи когомологий де Рама

где X_{an} — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию X.

Относительные когомологии де Рама

Для любого морфизма f\colon X\to S можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

\sum_{p\leqslant 0}\Gamma(\Omega^p_{X/S}),

приводящий к относительным когомологиям де Рама H^p_\mathrm{dR}(X/S).

В случае, если многообразие X является спектром кольца \mathrm{Spec}\,A, а S=\mathrm{Spec}\,B и оба обладают аффинностью, то относительный комплекс де Рама совпадает с \Lambda\Omega^1_{A/B}.

Когомологии \mathcal{H}^p_\mathrm{dR}(X/S) комплекса пучков \sum_{p\leqslant 0}f_*\Omega^p_{X/S} на S называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли f — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на S.

Литература

См. также