Дифференцируемость | это... Что такое Дифференцируемость? (original) (raw)

Дифференцируемость

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

Определения

где o(x − _x_0) обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с x − _x_0 при $x \to x_0.$ Если f дифференцируема в _x_0, пишут $f \in \mathcal{D}(x_0).$

Линейное отображение $l(h) = Ah,\; h \in \R,$ где A — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции f в точке _x_0 и обозначается d f(_x_0).
Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке M(x;y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Δ_z_ = A_Δ_x + B_Δ_y + αΔ_x_ + βΔ_y_,

где $\alpha = \alpha (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0$ и $\beta = \beta (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0$ при $\Delta x \rightarrow 0$ , $\Delta y \rightarrow 0$

Свойства

Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
$f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0)\Leftrightarrow f'(x_0) = A.$
Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть
$f \in \mathcal{D}(x_0)\Rightarrow f \in C(x_0).$

Обратное, вообще говоря, неверно.

Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция $f_l\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , задаваемая уравнением f l(x) = f(_x_0) + (f)'(_x_0)(x − _x_0), называется касательной к функции f в точке _x_0.

Примеры

Функция f(x) = _x_2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление
f(x) = f(_x_0) + 2_x_0(x − _x_0) + (x − _x_0)2.

Таким образом имеем: f'(_x_0) = 2_x_0. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0) . Дифференциал этой функции задаётся формулой: d f(x_0)(h) = 2_x_0_h.

Функция f(x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке _x_0 = 0, её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определён и её дифференциал.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Дифференцируемость" в других словарях:

Дифференцируемость функции в точке — Дифференцируемая функция в математическом анализе это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так… … Википедия
Непрерывная дифференцируемость — Дифференцируемая функция в математическом анализе это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так… … Википедия
АППРОКСИМАТИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ — обобщение понятия дифференцируемости с заменой обычного предела аппроксимативным пределом. Действительная функция действительного переменного наз. аппроксимативно дифференцируемой в точке х 0, если существует такое число А, что При этом величина… … Математическая энциклопедия
Аналитические функции — функции, которые могут быть представлены степенными рядами (См. Степенной ряд). Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно широк; он охватывает большинство функций, встречающихся в… … Большая советская энциклопедия
Дифференцируемая функция — Дифференцируемая (в точке) функция это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является… … Википедия
Лобачевский, Николай Иванович — родился 22 октября 1793 г. в Нижегородской губернии (по одному источнику в Нижнем Новгороде, по другому в Макарьевском уезде). Отец его Иван Максимович, выходец из Западного края, по вероисповеданию католик, потом перешедший в православную веру,… … Большая биографическая энциклопедия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия
НЕЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — отображение А векторного (как правило) пространства Xв векторное пространство Yнад общим полем скаляров, не обладающее свойством линейности, т. е. такое, что, вообще говоря, Если есть множество действительных чисел или комплексных чисел , то Н. о … Математическая энциклопедия
Производная функции — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производная&# … Википедия
Голоморфная функция — осуществляет конформное отображение, преобразуя ортогональную сетку в ортогональную (там где комплексная производная не обращается в нуль). Голоморфная функция, также называемая регулярно … Википедия