Cholesky decomposition (original) (raw)

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En àlgebra lineal, la factorització o descomposició de Cholesky, desenvolupada per André-Louis Cholesky durant la Primera Guerra Mundial, és un mètode numèric de factorització de matrius molt emprat per poder resoldre, de forma eficient computacionalment, diversos sistemes d'equacions lineals amb la mateixa matriu associada.

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dbo:abstract En àlgebra lineal, la factorització o descomposició de Cholesky, desenvolupada per André-Louis Cholesky durant la Primera Guerra Mundial, és un mètode numèric de factorització de matrius molt emprat per poder resoldre, de forma eficient computacionalment, diversos sistemes d'equacions lineals amb la mateixa matriu associada. (ca) Choleského dekompozice (také Choleského rozklad) je metoda rozložení hermitovské (tj. v reálných číslech symetrické) pozitivně definitní čtvercové matice A na součin dolní a horní trojúhelníkové matice, přičemž jedna trojúhelníková matice je hermitovsky sdružená k matici druhé (v reálných číslech transponovaná). Dolní trojúhelníková matice L z tohoto rozkladu se nazývá Choleského faktor matice A. Dekompozice je pojmenována po francouzském matematikovi (1875–1918). (cs) Die Cholesky-Zerlegung (auch Cholesky-Faktorisierung) (nach André-Louis Cholesky, 1875–1918) bezeichnet in der linearen Algebra eine Zerlegung einer symmetrischen positiv definiten Matrix in ein Produkt aus einer unteren Dreiecksmatrix und deren Transponierten. Sie wurde von Cholesky vor 1914 im Zuge der Triangulation Kretas durch den französischen Service géographique de l’armée entwickelt. Das Konzept kann auch allgemeiner für hermitesche Matrizen definiert werden. (de) In linear algebra, the Cholesky decomposition or Cholesky factorization (pronounced /ʃəˈlɛski/ shə-LES-kee) is a decomposition of a Hermitian, positive-definite matrix into the product of a lower triangular matrix and its conjugate transpose, which is useful for efficient numerical solutions, e.g., Monte Carlo simulations. It was discovered by André-Louis Cholesky for real matrices, and posthumously published in 1924.When it is applicable, the Cholesky decomposition is roughly twice as efficient as the LU decomposition for solving systems of linear equations. (en) En matemáticas, la factorización o descomposición de Cholesky toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña variación. Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U; esto recibe el nombre de factorización LU. Sin embargo, si A es simétrica y definida positiva, se pueden escoger los factores tales que U es la transpuesta de L, y esto se llama la descomposición o factorización de Cholesky. Tanto la descomposición LU como la descomposición de Cholesky son usadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Cuando es aplicable, la descomposición de Cholesky es dos veces más eficiente que la descomposición LU. (es) La factorisation de Cholesky, nommée d'après André-Louis Cholesky, consiste, pour une matrice symétrique définie positive A, à déterminer une matrice triangulaire inférieure L telle que : A=LLT. La matrice L est en quelque sorte une « racine carrée » de A. Cette décomposition permet notamment de calculer la matrice inverse A−1, de calculer le déterminant de A (égal au carré du produit des éléments diagonauxde L) ou encore de simuler une loi multinormale. Elle est aussi utilisée en chimie quantique pour accélérer les calculs (voir Décomposition de Cholesky (chimie quantique)). (fr) 숄레스키 분해(Cholesky decomposition)는 에르미트 행렬(Hermitian matrix), 양의 정부호행렬(positive-definite matrix)의 분해에서 사용된다. 촐레스키 분해의 결과는 하삼각행렬과 하삼각행렬의 켤레전치 행렬의 곱으로 표현된다. (ko) コレスキー分解（コレスキーぶんかい、英: Cholesky decomposition, Cholesky factorization）とは、正定値エルミート行列 A を下三角行列 Lと L の共役転置 L* との積に分解することをいう。 A のエルミート性を利用したLU分解の特別な場合である。L の対角成分は実数にとることができて（符号・位相の自由度があるが）通常は、対角成分を正の実数に採り、その場合には、L は一意に定まる。アンドレ＝ルイ・コレスキー（仏語の発音はショレスキー）にちなんで名づけられた。 A が実対称行列の場合、上式の共役転置は転置に単純化される。 エルミート対称行列 A が正定値であることと、A のコレスキー分解が存在することは同値になる。 (ja) In algebra lineare la decomposizione di Cholesky è la fattorizzazione di una matrice hermitiana e definita positiva in una matrice triangolare inferiore e nella sua trasposta coniugata. Essa si può considerare come un caso speciale della più generale decomposizione LU. Il nome di questa decomposizione ricorda il matematico francese André-Louis Cholesky (1875-1918). (it) De Cholesky-decompositie van een positief-definiete Hermitische matrix, of in het reële geval, een positief-definiete symmetrische matrix, is een LU-decompositie van de vorm: waarin een benedendriehoeksmatrix is. is de getransponeerde matrix van . noemt men de Choleskyfactor van . De Cholesky-decompositie is genoemd naar de Franse militaire officier en wiskundige André-Louis Cholesky (1875-1918), die kort voor het einde van de Eerste Wereldoorlog sneuvelde. Het is niet exact bekend wanneer Cholesky zijn methode bedacht. Hij publiceerde ze zelf niet; ze werd wel indirect bekend dankzij een artikel van commandant Benoît in het Bulletin géodesique van 1924, waarin hij het "procédé du commandant Cholesky" beschreef. Later is een manuscript van Cholesky uit 1910 gevonden waarin hij zijn methode gedetailleerd beschrijft, onder de titel "Sur la résolution numérique des Systèmes d'équations linéaires." (nl) Rozkład lub rozkład Banachiewicza jest procedurą rozkładu symetrycznej, dodatnio określonej macierzy na iloczyn postaci: gdzie jest dolną macierzą trójkątną, a jej transpozycją. Macierz dowolnego typu można rozłożyć na iloczyn dolnej i górnej macierzy trójkątnej postaci stosując metodę LU. Jedynie w przypadku macierzy symetrycznych i dodatnio określonych możliwy jest rozkład Choleskiego. Jeśli jest dodatnio określoną macierzą hermitowską to rozkład Choleskiego ma postać: (pl) Em álgebra linear, a decomposição de Cholesky ou fatoração de Cholesky é uma de uma matriz hermitiana e positiva definida no produto de uma matriz triangular inferior e sua matriz adjunta, o que é útil por exemplo para soluções numéricas eficientes e simulações de Monte Carlo. Foi descoberta por André-Louis Cholesky para matrizes reais. Quando é aplicável, a decomposição de Cholesky é aproximadamente duas vezes mais eficiente que a decomposição LU para resolver sistemas de equações lineares. (pt) Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді де — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі. Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний. Для матриць з комплексними елементами: якщо — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького (1875-1918). (uk) 線性代數中，科列斯基分解（英語：Cholesky decomposition 或 Cholesky factorization）是指將一個正定的埃爾米特矩陣分解成一個下三角矩陣與其共軛轉置之乘積。這種分解方式在提高代數運算效率、蒙特卡羅方法等場合中十分有用。實數矩陣的科列斯基分解由安德烈-路易·科列斯基最先發明。實際應用中，科列斯基分解在求解線性方程組中的效率約兩倍於LU分解。 (zh) Разложе́ние Холе́цкого (метод квадратного корня) — представление симметричной положительно определённой матрицы в виде , где — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Иногда разложение записывается в эквивалентной форме: , где — верхняя треугольная матрица. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно определённой матрицы. Существует также обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Если — положительно определённая эрмитова матрица, то существует разложение , где — нижняя треугольная матрица с положительными действительными элементами на диагонали, а — эрмитово-сопряжённая к ней матрица. Разложение названо в честь французского математика польского происхождения (1875—1918). (ru)
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(cs) Die Cholesky-Zerlegung (auch Cholesky-Faktorisierung) (nach André-Louis Cholesky, 1875–1918) bezeichnet in der linearen Algebra eine Zerlegung einer symmetrischen positiv definiten Matrix in ein Produkt aus einer unteren Dreiecksmatrix und deren Transponierten. Sie wurde von Cholesky vor 1914 im Zuge der Triangulation Kretas durch den französischen Service géographique de l’armée entwickelt. Das Konzept kann auch allgemeiner für hermitesche Matrizen definiert werden. (de) In linear algebra, the Cholesky decomposition or Cholesky factorization (pronounced /ʃəˈlɛski/ shə-LES-kee) is a decomposition of a Hermitian, positive-definite matrix into the product of a lower triangular matrix and its conjugate transpose, which is useful for efficient numerical solutions, e.g., Monte Carlo simulations. It was discovered by André-Louis Cholesky for real matrices, and posthumously published in 1924.When it is applicable, the Cholesky decomposition is roughly twice as efficient as the LU decomposition for solving systems of linear equations. (en) La factorisation de Cholesky, nommée d'après André-Louis Cholesky, consiste, pour une matrice symétrique définie positive A, à déterminer une matrice triangulaire inférieure L telle que : A=LLT. La matrice L est en quelque sorte une « racine carrée » de A. Cette décomposition permet notamment de calculer la matrice inverse A−1, de calculer le déterminant de A (égal au carré du produit des éléments diagonauxde L) ou encore de simuler une loi multinormale. Elle est aussi utilisée en chimie quantique pour accélérer les calculs (voir Décomposition de Cholesky (chimie quantique)). (fr) 숄레스키 분해(Cholesky decomposition)는 에르미트 행렬(Hermitian matrix), 양의 정부호행렬(positive-definite matrix)의 분해에서 사용된다. 촐레스키 분해의 결과는 하삼각행렬과 하삼각행렬의 켤레전치 행렬의 곱으로 표현된다. (ko) コレスキー分解（コレスキーぶんかい、英: Cholesky decomposition, Cholesky factorization）とは、正定値エルミート行列 A を下三角行列 Lと L の共役転置 L* との積に分解することをいう。 A のエルミート性を利用したLU分解の特別な場合である。L の対角成分は実数にとることができて（符号・位相の自由度があるが）通常は、対角成分を正の実数に採り、その場合には、L は一意に定まる。アンドレ＝ルイ・コレスキー（仏語の発音はショレスキー）にちなんで名づけられた。 A が実対称行列の場合、上式の共役転置は転置に単純化される。 エルミート対称行列 A が正定値であることと、A のコレスキー分解が存在することは同値になる。 (ja) In algebra lineare la decomposizione di Cholesky è la fattorizzazione di una matrice hermitiana e definita positiva in una matrice triangolare inferiore e nella sua trasposta coniugata. Essa si può considerare come un caso speciale della più generale decomposizione LU. Il nome di questa decomposizione ricorda il matematico francese André-Louis Cholesky (1875-1918). (it) Rozkład lub rozkład Banachiewicza jest procedurą rozkładu symetrycznej, dodatnio określonej macierzy na iloczyn postaci: gdzie jest dolną macierzą trójkątną, a jej transpozycją. Macierz dowolnego typu można rozłożyć na iloczyn dolnej i górnej macierzy trójkątnej postaci stosując metodę LU. Jedynie w przypadku macierzy symetrycznych i dodatnio określonych możliwy jest rozkład Choleskiego. Jeśli jest dodatnio określoną macierzą hermitowską to rozkład Choleskiego ma postać: (pl) Em álgebra linear, a decomposição de Cholesky ou fatoração de Cholesky é uma de uma matriz hermitiana e positiva definida no produto de uma matriz triangular inferior e sua matriz adjunta, o que é útil por exemplo para soluções numéricas eficientes e simulações de Monte Carlo. Foi descoberta por André-Louis Cholesky para matrizes reais. Quando é aplicável, a decomposição de Cholesky é aproximadamente duas vezes mais eficiente que a decomposição LU para resolver sistemas de equações lineares. (pt) Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді де — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі. Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний. Для матриць з комплексними елементами: якщо — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького (1875-1918). (uk) 線性代數中，科列斯基分解（英語：Cholesky decomposition 或 Cholesky factorization）是指將一個正定的埃爾米特矩陣分解成一個下三角矩陣與其共軛轉置之乘積。這種分解方式在提高代數運算效率、蒙特卡羅方法等場合中十分有用。實數矩陣的科列斯基分解由安德烈-路易·科列斯基最先發明。實際應用中，科列斯基分解在求解線性方程組中的效率約兩倍於LU分解。 (zh) En matemáticas, la factorización o descomposición de Cholesky toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva definida. 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