Completeness of the real numbers (original) (raw)
حدسيا، الاكتمال يعني عدم وجود أية فجوة (كما عبر عن ذلك ديدكايند) أو وجود نقط مفقودة في مستقيم الأعداد الحقيقية. بصفة عامة، يكون الفضاء المتري كاملا إذا تقاربت فيه كل متتالية لكوشي، فإذا أخذنا مجموعة الأعداد الحقيقية مرفقة بالمسافة من أجل كل عددين حقيقيين و جدنا أن كل متتاليات كوشي (و هي المتتاليات التي تتقارب حدودها من بعضها البعض أكثر فأكثر كلما كبر متغيرها في اتجاه ما لا نهاية) متقاربة (أي لها نهاية حقيقية).
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | حدسيا، الاكتمال يعني عدم وجود أية فجوة (كما عبر عن ذلك ديدكايند) أو وجود نقط مفقودة في مستقيم الأعداد الحقيقية. بصفة عامة، يكون الفضاء المتري كاملا إذا تقاربت فيه كل متتالية لكوشي، فإذا أخذنا مجموعة الأعداد الحقيقية مرفقة بالمسافة من أجل كل عددين حقيقيين و جدنا أن كل متتاليات كوشي (و هي المتتاليات التي تتقارب حدودها من بعضها البعض أكثر فأكثر كلما كبر متغيرها في اتجاه ما لا نهاية) متقاربة (أي لها نهاية حقيقية). (ar) Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number. Depending on the construction of the real numbers used, completeness may take the form of an axiom (the completeness axiom), or may be a theorem proven from the construction. There are many equivalent forms of completeness, the most prominent being Dedekind completeness and Cauchy completeness (completeness as a metric space). (en) En análisis real, se denomina axioma del supremo o axioma de completitud a uno de los axiomas que componen el cuerpo de los números reales, el cual establece: Esta propiedad es esencial para que el cuerpo de los números reales se vuelva un espacio completo, ya que otros cuerpos que no satisfacen el axioma, como el cuerpo de los números racionales, no son completos. (es) In matematica, l'assioma di Dedekind, detto anche assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l'insieme dei numeri reali R; esso afferma che ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore in R, vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà. Se ad esempio l'insieme S considerato è quello dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 (in simboli, l'insieme ), l'estremo superiore è . L'assioma si può enunciare anche per ogni sottoinsieme di R che sia non vuoto e inferiormente limitato: in questo caso si garantisce che l'insieme abbia un estremo inferiore. Questo assioma è molto utile perché è essenziale per dimostrare che la retta reale è uno spazio metrico completo. L'insieme dei numeri razionali non soddisfa questo assioma, e perciò non è completo: per l'insieme S definito precedentemente non esiste un estremo superiore appartenente a Q. (it) 실수의 이론에서, 실수의 완비성(實數-完備性, 영어: completeness of the real numbers)은 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미의, 실수의 핵심적 성질이다. 실수의 연속성(實數-連續性, 영어: continuity of real numbers)이라고도 불리는데, 함수의 연속성과는 다른 개념이다. 공리적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 증명할 필요가 없는 공리이며, 이를 완비성 공리(完備性公理, 영어: completeness axiom)라고 한다. 완비성 공리는 순서체 공리와 함께 실수 공리를 이룬다. 구성적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 정리이며, 이는 서로 다른 실수 모형으로부터 서로 다른 방법으로 증명된다. 실수의 완비성의 서술 방법은 다양하며, 각기 다른 각도와 강조점이 있다. 상한 공리 또는 최소 상계 공리(最小上界公理, 영어: least upper bound axiom)는 가장 자주 사용되는 형태이며, 이에 따르면 실수 부분 집합이 상계를 가지면 반드시 상한을 가진다. 이와 달리, 유리수는 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 제곱이 2보다 작은 유리수들의 집합은 유리수 상계를 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다. 상한 공리를 비롯한 일부 완비성 공리는 순서체 공리 아래 서로 동치이며, 순서체 공리와 이들 완비성 공리 가운데 하나로부터 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다. 그러나, 일부 완비성 공리는 보다 더 약한 공리이며, 순서체 공리와 이들 가운데 하나로부터 실수의 일부 성질들을 유도할 수 없다. 특히, 아르키메데스 성질을 유도할 수 없는데, 약한 완비성 공리에 아르키메데스 성질을 추가하여 얻는 공리는 상한 공리와 동치이며, 순서체 공리와 함께 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다. (ko) 実数の連続性 (continuity of real numbers) とは、実数の集合がもつ性質である。実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。 また、実数の連続性における連続性とは関数の連続性とは別の概念である。 (ja) Aksjomat ciągłości (pewnik Dedekinda) – aksjomat zbioru liczb rzeczywistych sformułowany przez Richarda Dedekinda w 1872. Aksjomat ten postuluje, że każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny. Alternatywnie: każdy niepusty i ograniczony z dołu podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres dolny. Aksjomat ma odpowiadać naszej intuicji, że oś liczbowa jest ciągła, nie istnieją w niej luki między kolejnymi liczbami – każdemu miejscu na osi odpowiada konkretna liczba rzeczywista. Następujące twierdzenie jest równoważne z aksjomatem ciągłości i samo mogłoby być przyjęte jako aksjomat: każdy rosnący i ograniczony z góry ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny. W zbiorze liczb wymiernych tak nie jest: na przykład zbiór tych liczb wymiernych, których kwadraty są mniejsze od 2, jest niepusty (należy do niego np. 1), ograniczony z góry (każda liczba tego zbioru jest na przykład mniejsza od 2), ale nie ma kresu górnego — nie ma liczby wymiernej, która byłaby najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru. Aksjomat ciągłości gwarantuje, że w zbiorze liczb rzeczywistych sytuacja taka nie występuje, tzn. zawsze istnieje liczba rzeczywista, która jest najmniejszym ograniczeniem górnym. Jeszcze inne sformułowanie aksjomatu ciągłości korzysta z pojęcia przekroju Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych: jeżeli zbiory A i B tworzą przekrój Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych, to albo w A istnieje liczba największa, albo w B - najmniejsza. (pl) O axioma do supremo é um . Ele é usado na construção analítica dos números reais. (pt) Непреры́вность действи́тельных чи́сел — свойство системы действительных чисел , которым не обладает множество рациональных чисел . Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел. Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду, принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, теорема о точной верхней грани. В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться как аксиома — в той или иной формулировке, либо доказываться в качестве теоремы. (ru) 直观上，实数完备性意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。 实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。 (zh) Аксіома Дедекінда (аксіома неперервності дійсних чисел): Для кожного перерізу A|B множини дійсних чисел існує число c що робить цей переріз, c = A |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/introductiontore00bart_1 https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |
| dbo:wikiPageID | 29322627 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 10270 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1108508457 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Convergent_sequences dbr:Nonempty dbr:Decimal dbr:Decimal_representation dbr:Archimedean_property dbr:Upper_bound dbr:Dedekind_cut dbr:List_of_real_analysis_topics dbc:Real_numbers dbr:Construction_of_the_real_numbers dbr:Mathematical_analysis dbr:Non-Archimedean_ordered_field dbr:Theorem dbr:Ordered_field dbr:Subsequence dbr:Complete_metric_space dbr:Completeness_(order_theory) dbr:Dedekind_completeness dbr:Irrational_number dbr:Partially_ordered_set dbr:Cauchy_sequence dbr:Logical_equivalence dbr:Intersection_(set_theory) dbr:Interval_(mathematics) dbr:Axiom dbr:Bolzano–Weierstrass_theorem dbr:Pi dbr:Intermediate_value_theorem dbr:Metric_space dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Real_numbers dbr:Mathematical_Association_of_America dbr:Monotone_convergence_theorem dbr:Undergraduate_Texts_in_Mathematics dbr:Real_line dbr:Least_upper_bound |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Distinguish dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:R dbt:Real_numbers dbt:Reflist dbt:Sup dbt:Use_shortened_footnotes |
| dcterms:subject | dbc:Real_numbers |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatMathematicalAxioms yago:WikicatNumbers yago:Abstraction100002137 yago:Amount105107765 yago:Attribute100024264 yago:AuditoryCommunication107109019 yago:Communication100033020 yago:ComplexNumber113729428 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:Magnitude105090441 yago:Maxim107152948 yago:Measure100033615 yago:Number105121418 yago:Number113582013 yago:Property104916342 yago:RealNumber113729902 yago:Saying107151380 yago:Speech107109196 yago:WikicatRealNumbers |
| rdfs:comment | حدسيا، الاكتمال يعني عدم وجود أية فجوة (كما عبر عن ذلك ديدكايند) أو وجود نقط مفقودة في مستقيم الأعداد الحقيقية. بصفة عامة، يكون الفضاء المتري كاملا إذا تقاربت فيه كل متتالية لكوشي، فإذا أخذنا مجموعة الأعداد الحقيقية مرفقة بالمسافة من أجل كل عددين حقيقيين و جدنا أن كل متتاليات كوشي (و هي المتتاليات التي تتقارب حدودها من بعضها البعض أكثر فأكثر كلما كبر متغيرها في اتجاه ما لا نهاية) متقاربة (أي لها نهاية حقيقية). (ar) En análisis real, se denomina axioma del supremo o axioma de completitud a uno de los axiomas que componen el cuerpo de los números reales, el cual establece: Esta propiedad es esencial para que el cuerpo de los números reales se vuelva un espacio completo, ya que otros cuerpos que no satisfacen el axioma, como el cuerpo de los números racionales, no son completos. (es) 実数の連続性 (continuity of real numbers) とは、実数の集合がもつ性質である。実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。 また、実数の連続性における連続性とは関数の連続性とは別の概念である。 (ja) O axioma do supremo é um . Ele é usado na construção analítica dos números reais. (pt) Непреры́вность действи́тельных чи́сел — свойство системы действительных чисел , которым не обладает множество рациональных чисел . Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел. Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду, принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, теорема о точной верхней грани. В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться как аксиома — в той или иной формулировке, либо доказываться в качестве теоремы. (ru) 直观上，实数完备性意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。 实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。 (zh) Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number. (en) 실수의 이론에서, 실수의 완비성(實數-完備性, 영어: completeness of the real numbers)은 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미의, 실수의 핵심적 성질이다. 실수의 연속성(實數-連續性, 영어: continuity of real numbers)이라고도 불리는데, 함수의 연속성과는 다른 개념이다. 공리적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 증명할 필요가 없는 공리이며, 이를 완비성 공리(完備性公理, 영어: completeness axiom)라고 한다. 완비성 공리는 순서체 공리와 함께 실수 공리를 이룬다. 구성적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 정리이며, 이는 서로 다른 실수 모형으로부터 서로 다른 방법으로 증명된다. (ko) In matematica, l'assioma di Dedekind, detto anche assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l'insieme dei numeri reali R; esso afferma che ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore in R, vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà. (it) Aksjomat ciągłości (pewnik Dedekinda) – aksjomat zbioru liczb rzeczywistych sformułowany przez Richarda Dedekinda w 1872. Aksjomat ten postuluje, że każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny. Alternatywnie: każdy niepusty i ograniczony z dołu podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres dolny. Aksjomat ma odpowiadać naszej intuicji, że oś liczbowa jest ciągła, nie istnieją w niej luki między kolejnymi liczbami – każdemu miejscu na osi odpowiada konkretna liczba rzeczywista. (pl) Аксіома Дедекінда (аксіома неперервності дійсних чисел): Для кожного перерізу A|B множини дійсних чисел існує число c що робить цей переріз, c = A |
| rdfs:label | اكتمال الأعداد الحقيقية (ar) Completeness of the real numbers (en) Axioma del supremo (es) Assioma di Dedekind (it) 実数の連続性 (ja) 실수의 완비성 (ko) Aksjomat ciągłości (pl) Axioma do supremo (pt) Непрерывность множества действительных чисел (ru) 实数完备性 (zh) Аксіома Дедекінда (uk) |
| owl:differentFrom | dbr:Completeness_(logic) |
| owl:sameAs | freebase:Completeness of the real numbers yago-res:Completeness of the real numbers wikidata:Completeness of the real numbers dbpedia-ar:Completeness of the real numbers dbpedia-es:Completeness of the real numbers dbpedia-fa:Completeness of the real numbers dbpedia-fi:Completeness of the real numbers dbpedia-it:Completeness of the real numbers dbpedia-ja:Completeness of the real numbers dbpedia-ko:Completeness of the real numbers dbpedia-lmo:Completeness of the real numbers dbpedia-pl:Completeness of the real numbers dbpedia-pt:Completeness of the real numbers dbpedia-ru:Completeness of the real numbers dbpedia-uk:Completeness of the real numbers dbpedia-zh:Completeness of the real numbers https://global.dbpedia.org/id/Lkc7 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Completeness_of_the_real_numbers?oldid=1108508457&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Completeness_of_the_real_numbers |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Completeness |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Proof_that_the_real_number_line_is_complete dbr:Fundamental_axiom dbr:Fundamental_axiom_of_analysis dbr:Completeness_axiom dbr:Completeness_of_the_reals |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Infimum_and_supremum dbr:Number dbr:List_of_real_analysis_topics dbr:Fundamental_theorem_of_algebra dbr:Constructive_set_theory dbr:Completeness_(order_theory) dbr:History_of_algebra dbr:Hermann_Weyl dbr:Least-upper-bound_property dbr:Weierstrass_M-test dbr:Bolzano–Weierstrass_theorem dbr:Intermediate_value_theorem dbr:Cantor–Dedekind_axiom dbr:Real_number dbr:List_of_things_named_after_Augustin-Louis_Cauchy dbr:Completeness dbr:Proof_that_the_real_number_line_is_complete dbr:Fundamental_axiom dbr:Fundamental_axiom_of_analysis dbr:Completeness_axiom dbr:Completeness_of_the_reals |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Completeness_of_the_real_numbers |