Contact geometry (original) (raw)
접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Das mathematische Gebiet der Kontaktgeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit bestimmten geometrischen Strukturen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befasst, nämlich mit vollständig nicht-integrierbaren Feldern von Hyperebenen im Tangentialbündel, sogenannten Kontaktstrukturen. Die derart beschriebene geometrische Idee ist recht einfach: Für jeden Punkt der Mannigfaltigkeit wird eine Ebene ausgewählt, wobei eine Zusatzbedingung den Spezialfall ausschließt, dass die Ebenen in Schichten liegen, wie sie im zweiten Bild dargestellt sind. Ihren Ursprung hat die Kontaktgeometrie unter anderem in der geometrischen Optik und der Thermodynamik. Der norwegische Mathematiker Sophus Lie hat Ende des 19. Jahrhunderts ausführlich sogenannte Berührungstransformationen beschrieben, unter anderem, um Differentialgleichungen und Methoden wie die Legendre-Transformation und die kanonische Transformation der klassischen Mechanik zu studieren. Berührungstransformationen waren für das Gebiet namensgebend; in heutiger Sprache sind sie Abbildungen, welche Kontaktstrukturen erhalten, und heißen Kontaktomorphismen. Heute werden Kontaktstrukturen wegen ihrer vielfältigen topologischen Eigenschaften und ihrer zahlreichen Verbindungen mit anderen Gebieten der Mathematik und Physik studiert, wie der symplektischen und der komplexen Geometrie, der Theorie der Blätterungen von Kodimension , dynamischen Systemen und der Knotentheorie. Besonders eng ist die Beziehung zur symplektischen Geometrie, denn in vielerlei Hinsicht sind Kontaktstrukturen, die in ungeraden Dimensionen existieren, Gegenstücke zu den symplektischen Strukturen in gerader Dimension. (de) In mathematics, contact geometry is the study of a geometric structure on smooth manifolds given by a hyperplane distribution in the tangent bundle satisfying a condition called 'complete non-integrability'. Equivalently, such a distribution may be given (at least locally) as the kernel of a differential one-form, and the non-integrability condition translates into a maximal non-degeneracy condition on the form. These conditions are opposite to two equivalent conditions for 'complete integrability' of a hyperplane distribution, i.e. that it be tangent to a codimension one foliation on the manifold, whose equivalence is the content of the Frobenius theorem. Contact geometry is in many ways an odd-dimensional counterpart of symplectic geometry, a structure on certain even-dimensional manifolds. Both contact and symplectic geometry are motivated by the mathematical formalism of classical mechanics, where one can consider either the even-dimensional phase space of a mechanical system or constant-energy hypersurface, which, being codimension one, has odd dimension. (en) La géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent. L'illustration montre un exemple de structure de contact sur ℝ3 qui est le modèle local de toutes les structures de contact en dimension trois. Le langage de la géométrie de contact trouve une interprétation naturelle dans la notion de contour apparent. (fr) 접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다. (ko) In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de contactmeetkunde de studie van bepaalde meetkundige structuren op gladde variëteiten, contactstructuren genaamd, die worden gegeven door een hypervlak- in de raakbundel en die worden gespecificeerd door een eenvorm. Zowel de verdeling in de tangensvorm als de eenvorm voldoen beide aan een 'maximale niet-degeneratie' conditie, die 'volledige niet-integreerbaarheid' wordt genoemd. Van de herkent men deze voorwaarde als het tegengestelde van de voorwaarde dat de verdeling wordt bepaald door een nevendimensie een foliatie op de variëteit ('volledige integreerbaarheid'). Contactmeetkunde is in veel opzichten een onevendimensionale tegenhanger van de symplectische meetkunde, welke laatste tot de evendimensionale wereld behoort. Zowel de contact- als de symplectische meetkunde worden gemotiveerd door het wiskundig formalisme van de klassieke mechanica, waar men werkt met de evendimensionale faseruimte van een mechanisch systeem of met de onevendimensionale uitgebreide faseruimte, waarin ook de grootheid tijd is opgenomen. (nl) Контактна структура — структура на гладкому многовиді непарної розмірності , що складається з гладкого поля дотичних гіперплощин, які відповідають умові невиродженості (див. нижче). Така структура завжди існує на многовиді контактних елементів многовиду. Контактна структура тісно пов'язана з симплектичною і є її аналогом для непарномірних многовидів. (uk) Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности.Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия.Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий. (ru) 数学上，切触几何(英語：Contact geometry)是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Standard_contact_structure.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://books.google.com/books%3Fid=7ifyBwAAQBAJ https://books.google.com/books%3Fid=RERR4zMDYRgC http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Contact_manifold http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme3.py%3Flevel=1&index1=-265776 |
| dbo:wikiPageID | 476398 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 17563 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1068634880 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Canonical_transformation dbr:Projective_space dbr:Vector_field dbr:Integrable_system dbr:Mathematics dbr:Geometrical_optics dbr:Low-dimensional_topology dbr:Tangent_bundle dbr:Christiaan_Huygens dbr:Classical_mechanics dbr:Frobenius_theorem_(differential_topology) dbr:Geometric_quantization dbr:Georges_Reeb dbc:Contact_geometry dbr:Control_theory dbr:Property_P_conjecture dbr:Lenhard_Ng dbr:Smooth_function dbr:File:Standard_contact_structure.svg dbr:Phase_space dbr:Physics dbr:Tangent_space dbr:Tomasz_Mrowka dbr:Dispersionless_equation dbr:Distribution_(differential_geometry) dbr:Linear_subspace dbr:Stein_manifold dbr:Exterior_derivative dbr:Foliation dbr:Floer_homology dbr:Legendre_transformation dbr:Legendrian_knot dbr:Thermodynamics dbr:Reeb_vector_field dbr:Riemannian_metric dbr:Hamiltonian_mechanics dbr:Isaac_Barrow dbr:Isaac_Newton dbr:Cotangent_bundle dbr:Jet_bundle dbr:Symplectic_geometry dbr:Relative_contact_homology dbr:Sophus_Lie dbr:Darboux_theorem dbr:Kronheimer dbr:Yakov_Eliashberg dbr:Michael_Hutchings_(mathematician) dbr:Section_(fiber_bundle) dbr:Smooth_manifold dbr:Lagrangian_submanifold dbr:Sasakian_manifold dbr:Symplectization dbr:Liouville_form dbr:Projective_duality dbr:Geodesic_flow dbr:Differential_1-form dbr:Sub-Riemannian_geometry dbr:Symplectic_bundle dbr:Symplectification dbr:Quantized_contact_transformation |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_arXiv dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Redirect dbt:Reflist |
| dcterms:subject | dbc:Contact_geometry |
| gold:hypernym | dbr:Study |
| rdf:type | yago:WikicatManifolds yago:Artifact100021939 yago:Conduit103089014 yago:Manifold103717750 yago:Object100002684 yago:Passage103895293 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Pipe103944672 yago:YagoGeoEntity yago:YagoPermanentlyLocatedEntity dbo:Book yago:Tube104493505 yago:Way104564698 yago:Whole100003553 |
| rdfs:comment | 접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다. (ko) Контактна структура — структура на гладкому многовиді непарної розмірності , що складається з гладкого поля дотичних гіперплощин, які відповідають умові невиродженості (див. нижче). Така структура завжди існує на многовиді контактних елементів многовиду. Контактна структура тісно пов'язана з симплектичною і є її аналогом для непарномірних многовидів. (uk) Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности.Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия.Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий. (ru) 数学上，切触几何(英語：Contact geometry)是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。 (zh) Das mathematische Gebiet der Kontaktgeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit bestimmten geometrischen Strukturen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befasst, nämlich mit vollständig nicht-integrierbaren Feldern von Hyperebenen im Tangentialbündel, sogenannten Kontaktstrukturen. Die derart beschriebene geometrische Idee ist recht einfach: Für jeden Punkt der Mannigfaltigkeit wird eine Ebene ausgewählt, wobei eine Zusatzbedingung den Spezialfall ausschließt, dass die Ebenen in Schichten liegen, wie sie im zweiten Bild dargestellt sind. (de) In mathematics, contact geometry is the study of a geometric structure on smooth manifolds given by a hyperplane distribution in the tangent bundle satisfying a condition called 'complete non-integrability'. Equivalently, such a distribution may be given (at least locally) as the kernel of a differential one-form, and the non-integrability condition translates into a maximal non-degeneracy condition on the form. These conditions are opposite to two equivalent conditions for 'complete integrability' of a hyperplane distribution, i.e. that it be tangent to a codimension one foliation on the manifold, whose equivalence is the content of the Frobenius theorem. (en) La géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent. L'illustration montre un exemple de structure de contact sur ℝ3 qui est le modèle local de toutes les structures de contact en dimension trois. (fr) In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de contactmeetkunde de studie van bepaalde meetkundige structuren op gladde variëteiten, contactstructuren genaamd, die worden gegeven door een hypervlak- in de raakbundel en die worden gespecificeerd door een eenvorm. Zowel de verdeling in de tangensvorm als de eenvorm voldoen beide aan een 'maximale niet-degeneratie' conditie, die 'volledige niet-integreerbaarheid' wordt genoemd. Van de herkent men deze voorwaarde als het tegengestelde van de voorwaarde dat de verdeling wordt bepaald door een nevendimensie een foliatie op de variëteit ('volledige integreerbaarheid'). (nl) |
| rdfs:label | Contact geometry (en) Kontaktgeometrie (de) Géométrie de contact (fr) 접촉기하학 (ko) Contactmeetkunde (nl) Контактная структура (ru) Контактна структура (uk) 切触几何 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Contact geometry yago-res:Contact geometry wikidata:Contact geometry dbpedia-de:Contact geometry dbpedia-fr:Contact geometry dbpedia-ko:Contact geometry dbpedia-nl:Contact geometry dbpedia-ru:Contact geometry dbpedia-uk:Contact geometry dbpedia-zh:Contact geometry https://global.dbpedia.org/id/jBvB |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Contact_geometry?oldid=1068634880&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Standard_contact_structure.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Contact_geometry |
| is dbo:knownFor of | dbr:Emmy_Murphy |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Contact_Form dbr:Contact_Transformation dbr:Contact_form dbr:Contact_manifold dbr:Contact_structure dbr:Contact_system dbr:Contact_topology dbr:Contact_transformation dbr:Legendrian_submanifold dbr:Reeb_orbits |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:Paulette_Libermann dbr:Richard_S._Hamilton dbr:Lie_point_symmetry dbr:List_of_geometry_topics dbr:List_of_mathematical_topics_in_classical_mechanics dbr:Georg_Scheffers dbr:Open_book_decomposition dbr:Function_of_several_complex_variables dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Contact_(mathematics) dbr:Daniel_Bennequin dbr:Lagrangian_(field_theory) dbr:Emmanuel_Giroux dbr:Emmy_Murphy dbr:Augustin_Banyaga dbr:Tomasz_Mrowka dbr:G2-structure dbr:Joan_&_Joseph_Birman_Research_Prize_in_Topology_and_Geometry dbr:John_Etnyre dbr:Stein_manifold dbr:Alan_Weinstein dbr:Darboux's_theorem dbr:Gordana_Matic dbr:Knot_theory dbr:Victor_Goryunov dbr:Rachel_Roberts_(mathematician) dbr:Reeb_vector_field dbr:Joan_Birman dbr:Symplectic_geometry dbr:Relative_contact_homology dbr:Differential_geometry dbr:Manifold dbr:Mikhael_Gromov_(mathematician) dbr:Outline_of_geometry dbr:Contact_Form dbr:Contact_Transformation dbr:Contact_form dbr:Contact_manifold dbr:Contact_structure dbr:Contact_system dbr:Contact_topology dbr:Contact_transformation dbr:Legendrian_submanifold dbr:Reeb_orbits |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Contact_geometry |
