Exterior derivative (original) (raw)
Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung ist ein Begriff aus den Bereichen Differentialgeometrie und Analysis. Sie verallgemeinert die aus der Analysis bekannte Ableitung von Funktionen auf Differentialformen. Der Name Cartan-Ableitung erklärt sich daher, dass Élie Cartan (1869–1952) der Begründer der Theorie der Differentialformen ist.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | على مشعب مختلف، يمتد المشتق الخارجي مفهوم التباين لوظيفة إلى أشكال مختلفة من الدرجة العليا. تم وصف المشتقة الخارجية لأول مرة في شكلها الحالي بواسطة إيلي كارتان في عام 1899 ؛ فهو يسمح بتعميم طبيعي مستقل متري لنظرية ستوكس، ونظرية غاوس، ونظرية جرين من حساب التفاضل والتكامل. إذا كان يُنظر إلى شكل k على أنه قياس التدفق من خلال متوازي k متوازي الصغر، فيمكن عندئذ اعتبار مشتقه الخارجي كقياس التدفق الصافي عبر حد (k + 1) من حيث البديهياتيعرف المشتق الخارجى بأنه التخطيط الفريد ℝ الخطي من k-forms إلى (k + 1) -forms التي تحقق الخصائص التالية:df هو تفاضل f للوظائف الناعمة f. d (df) = 0 لأي دالة ناعمة f. d (α ∧ β) = dα ∧ β + (−1) p (α ∧ dβ) حيث α هي p-form. وهذا يعني، د هو antiderivation من الدرجة 1 على الجبر الخارجي من الأشكال التفاضلية. الخاصية التعريفية الثانية تحمل بشكل أكثر عمومية: في الواقع، d (dα) = 0 لأي k-form α؛ أكثر إيجازًا، d2 = 0. الخاصية التعريفية الثالثة تعني كحالة خاصة إذا كانت f دالة و α a-form ، ثم d (fα) = d (f ∧ α) = df ∧ α + f ∧ dα لأن الدوال هي 0-أشكال، والضرب العددي والمنتج الخارجي متساويين عندما تكون إحدى الحجج متساوية العدد من حيث الإحداثيات المحليةبدلا من ذلك، يمكن للمرء العمل بشكل كامل في نظام إحداثيات محلي (x1 ، ... ، xn). تشكل تباينات التنسيق dx1 ، ... ، dxn أساسًا لفضاء أشكال واحدة، يرتبط كل منها بإحداثي. بالنظر إلى مؤشر متعدد I = (i1، ...، ik) مع 1 ≤ ip ≤ n لـ 1 ≤ p ≤ k (وتشير إلى dxi1 ∧ ... ∧ dxik مع إساءة استخدام الترميز dxI) ، المشتقة الخارجية لـ نموذج بسيط (k) من حيث صيغة ثابتةبدلاً من ذلك، يمكن إعطاء صيغة صريحة للمشتق الخارجي لـ k-form ، عندما تقترن بـ k + 1 حقول ناقل متجانس سلسة V0 ، V1 ، ... ، Vk: المشتقة الخارجية في حساب التفاضل والتكاملمعظم مشغلي متجهات حساب التفاضل والتكامل هي حالات خاصة، أو لديهم علاقات وثيقة، لمفهوم التمايز الخارجي الانحداروظيفة ناعمة f: M → ℝ على مشعب حقيقي مختلف M هو شكل 0. إن المشتق الخارجي لهذا الشكل 0 هو df. عندما يتم تعريف المنتج الداخلي، · ،، ، يتم تعريف التدرج off للدالة f على أنه ناقل فريد في V بحيث يكون منتجه الداخلي مع أي عنصر من V هو مشتق الاتجاه f على طول الموجه، أي مثل ذلك (ar) A matemàtiques, l'operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topologia diferencial, amplia el concepte de l' d'una funció a formes diferencials d'un grau més alt. Va ser inventat, en la seva forma actual, per Élie Cartan. La derivada exterior d'una forma diferencial de grau k és una forma diferencial de grau k+1. La diferenciació exterior satisfà tres propietats importants: * Linealitat * La regla del producte falca * , una fórmula que codifica la igualtat de les , de manera que sempre: , per a qualsevol forma Pot ser demostrat que la derivada exterior està determinada unívocament per aquestes propietats i la seva coincidència amb el diferencial en 0-formes (funcions). Els casos especials de la diferenciació exterior corresponen als operadors diferencials familiars del càlcul vectorial al llarg d'aquestes línies que el diferencial correspon a gradient. Per exemple, a l'espai euclidià tridimensional, la derivada exterior d'una 1-forma correspon al rotacional i la derivada exterior de 2-formes correspon a la . Aquesta correspondència mostra més d'una dotzena de fórmules del càlcul vectorial com a casos especials de les tres regles esmentades de la diferenciació exterior. L'nucli de l'operador consisteix en les formes tancades , i la imatge en les formes exactes (cf. diferencials exactes). (ca) Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung ist ein Begriff aus den Bereichen Differentialgeometrie und Analysis. Sie verallgemeinert die aus der Analysis bekannte Ableitung von Funktionen auf Differentialformen. Der Name Cartan-Ableitung erklärt sich daher, dass Élie Cartan (1869–1952) der Begründer der Theorie der Differentialformen ist. (de) On a differentiable manifold, the exterior derivative extends the concept of the differential of a function to differential forms of higher degree. The exterior derivative was first described in its current form by Élie Cartan in 1899. The resulting calculus, known as exterior calculus, allows for a natural, metric-independent generalization of Stokes' theorem, Gauss's theorem, and Green's theorem from vector calculus. If a differential k-form is thought of as measuring the flux through an infinitesimal k-parallelotope at each point of the manifold, then its exterior derivative can be thought of as measuring the net flux through the boundary of a (k + 1)-parallelotope at each point. (en) En matemáticas, el operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Élie Cartan. (es) En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque. Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan. (fr) 可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。 k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。 (ja) In differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, breidt de uitwendige afgeleide het concept van de differentiaal van een functie, dat een 1-vorm is, uit naar differentiaalvormen van een hogere graad. De huidige vorm van de uitwendige afgeleide werd geformuleerd door Élie Cartan. (nl) In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan. (it) 数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆上同调和中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。 (zh) Зовнішня похідна у диференціальній геометрії розширює поняття диференціала функції, що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном. Зовнішня похідна d має властивість, що d2 = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на сингулярні когомології гладких многовидів. Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Exteriorderivnatural.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.numdam.org/item%3Fid=ASENS_1899_3_16__239_0 https://archive.org/details/LoomisL.H.SternbergS.AdvancedCalculusRevisedEditionJonesAndBartlett%7Ctitle=Advanced https://archive.org/details/LoomisL.H.SternbergS.AdvancedCalculusRevisedEditionJonesAndBartlett/page/n313 https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/2ptFnIj71SM https://web.archive.org/web/20201104033452/https:/www.youtube.com/watch%3Fv=2ptFnIj71SM&feature=youtu.be https://www.youtube.com/watch%3Fv=2ptFnIj71SM |
| dbo:wikiPageID | 220782 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 21167 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117684665 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Calculus_on_Manifolds_(book) dbr:Pushforward_(differential) dbr:Scalar_field dbr:De_Rham_cohomology dbr:Vector_field dbr:Lie_derivative dbr:Natural_transformation dbr:Pullback_(differential_geometry) dbr:Einstein_notation dbr:Generalized_Stokes'_theorem dbr:Gradient dbr:Green's_theorem dbr:Musical_isomorphism dbr:Hodge_dual dbc:Generalizations_of_the_derivative dbc:Differential_forms dbr:Smooth_function dbr:Stokes'_theorem dbr:Élie_Cartan dbr:Functor dbr:Kernel_(algebra) dbr:Smoothness dbr:Exterior_algebra dbr:Exterior_covariant_derivative dbr:Fractal_derivative dbr:Parallelepiped dbr:Differential_of_a_function dbr:Directional_derivative dbr:Discrete_exterior_calculus dbr:Flux dbr:Pseudo-Riemannian_manifold dbc:Differential_operators dbr:Cotangent_bundle dbr:Abuse_of_notation dbr:Differentiable_manifold dbr:Differential_form dbr:Pointwise dbr:Mechanical_work dbr:Chain_complex dbr:YouTube dbr:Lie_bracket_of_vector_fields dbr:Vector_calculus dbr:Smooth_manifold dbr:Exterior_product dbr:Image_(mathematics) dbr:Linear dbr:Finite_element_exterior_calculus dbr:Scalar_triple_product dbr:Poincaré_lemma dbr:Gauss's_theorem dbr:Derivation_(algebra) dbr:Cochain_complex dbr:De_Rham_complex dbr:1-form dbr:Exterior_calculus dbr:Local_coordinate_system dbr:Multi-index dbr:File:Exteriorderivnatural.png |
| dbp:date | August 2020 (en) |
| dbp:reason | The Lie bracket should be defined within the context of this article; the link takes one to an unduly complicated exposition. (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Langle dbt:Rangle dbt:= dbt:Cbignore dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Cite_web dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Explain dbt:Fact dbt:I_sup dbt:Main dbt:Main_article dbt:Math dbt:Music dbt:Mvar dbt:No_footnotes dbt:Reflist dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Sub dbt:Sup dbt:Calculus_topics dbt:Tensors dbt:Calculus dbt:Citation_Needed dbt:Manifolds |
| dct:subject | dbc:Generalizations_of_the_derivative dbc:Differential_forms dbc:Differential_operators |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Association105763916 yago:BasicCognitiveProcess105701944 yago:Cognition100023271 yago:Colligation105764197 yago:Form106290637 yago:Function113783816 yago:Generalization105774415 yago:LanguageUnit106284225 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Memory105760202 yago:Operator113786413 yago:Part113809207 yago:Process105701363 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:Relation100031921 yago:WikicatGeneralizationsOfTheDerivative yago:Word106286395 yago:WikicatDifferentialForms yago:WikicatDifferentialOperators |
| rdfs:comment | Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung ist ein Begriff aus den Bereichen Differentialgeometrie und Analysis. Sie verallgemeinert die aus der Analysis bekannte Ableitung von Funktionen auf Differentialformen. Der Name Cartan-Ableitung erklärt sich daher, dass Élie Cartan (1869–1952) der Begründer der Theorie der Differentialformen ist. (de) En matemáticas, el operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Élie Cartan. (es) En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque. Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan. (fr) 可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。 k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。 (ja) In differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, breidt de uitwendige afgeleide het concept van de differentiaal van een functie, dat een 1-vorm is, uit naar differentiaalvormen van een hogere graad. De huidige vorm van de uitwendige afgeleide werd geformuleerd door Élie Cartan. (nl) In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan. (it) 数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆上同调和中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。 (zh) Зовнішня похідна у диференціальній геометрії розширює поняття диференціала функції, що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном. Зовнішня похідна d має властивість, що d2 = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на сингулярні когомології гладких многовидів. Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом. (uk) على مشعب مختلف، يمتد المشتق الخارجي مفهوم التباين لوظيفة إلى أشكال مختلفة من الدرجة العليا. تم وصف المشتقة الخارجية لأول مرة في شكلها الحالي بواسطة إيلي كارتان في عام 1899 ؛ فهو يسمح بتعميم طبيعي مستقل متري لنظرية ستوكس، ونظرية غاوس، ونظرية جرين من حساب التفاضل والتكامل. إذا كان يُنظر إلى شكل k على أنه قياس التدفق من خلال متوازي k متوازي الصغر، فيمكن عندئذ اعتبار مشتقه الخارجي كقياس التدفق الصافي عبر حد (k + 1) من حيث البديهياتيعرف المشتق الخارجى بأنه التخطيط الفريد ℝ الخطي من k-forms إلى (k + 1) -forms التي تحقق الخصائص التالية:df هو تفاضل f للوظائف الناعمة f. (ar) A matemàtiques, l'operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topologia diferencial, amplia el concepte de l' d'una funció a formes diferencials d'un grau més alt. Va ser inventat, en la seva forma actual, per Élie Cartan. La derivada exterior d'una forma diferencial de grau k és una forma diferencial de grau k+1. La diferenciació exterior satisfà tres propietats importants: * Linealitat * La regla del producte falca * , una fórmula que codifica la igualtat de les , de manera que sempre: , per a qualsevol forma (ca) On a differentiable manifold, the exterior derivative extends the concept of the differential of a function to differential forms of higher degree. The exterior derivative was first described in its current form by Élie Cartan in 1899. The resulting calculus, known as exterior calculus, allows for a natural, metric-independent generalization of Stokes' theorem, Gauss's theorem, and Green's theorem from vector calculus. (en) |
| rdfs:label | مشتق خارجي (ar) Derivada exterior (ca) Äußere Ableitung (de) Derivada exterior (es) Exterior derivative (en) Dérivée extérieure (fr) Derivata esterna (it) 外微分 (ja) Uitwendige afgeleide (nl) Внешняя производная (ru) 外微分 (zh) Зовнішня похідна (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Exterior derivative yago-res:Exterior derivative wikidata:Exterior derivative dbpedia-ar:Exterior derivative dbpedia-ca:Exterior derivative dbpedia-de:Exterior derivative dbpedia-es:Exterior derivative dbpedia-fr:Exterior derivative dbpedia-it:Exterior derivative dbpedia-ja:Exterior derivative dbpedia-nl:Exterior derivative dbpedia-ru:Exterior derivative dbpedia-uk:Exterior derivative dbpedia-zh:Exterior derivative https://global.dbpedia.org/id/i1sb |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Exterior_derivative?oldid=1117684665&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Exteriorderivnatural.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Exterior_derivative |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:D_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Invariant_formula_for_exterior_derivative dbr:Exterior_differentiation |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Calculus_on_Manifolds_(book) dbr:Canonical_transformation dbr:Product_rule dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:Mixmaster_universe dbr:One-form_(differential_geometry) dbr:Signature_operator dbr:Vector-valued_differential_form dbr:Ddbar_lemma dbr:De_Rham_cohomology dbr:Derivative dbr:Almost_complex_manifold dbr:Hodge_star_operator dbr:Holomorphic_function dbr:Betti_number dbr:Residue_theorem dbr:Ricci_calculus dbr:Ricci_flow dbr:Current_(mathematics) dbr:Curvature_form dbr:Vector_calculus_identities dbr:Vector_field dbr:Derivation_(differential_algebra) dbr:Integrability_conditions_for_differential_systems dbr:Interior_product dbr:Invariant_differential_operator dbr:Lie_coalgebra dbr:Lie_derivative dbr:List_of_multivariable_calculus_topics dbr:Complex_lamellar_vector_field dbr:Connection_form dbr:Maurer–Cartan_form dbr:Maxwell's_equations dbr:Maxwell_relations dbr:Chern–Simons_theory dbr:Gauge_theory dbr:Gauge_theory_(mathematics) dbr:Generalizations_of_the_derivative dbr:Generalized_complex_structure dbr:Geometrodynamics dbr:Paul_Dedecker dbr:Reissner–Nordström_metric dbr:Pullback_(differential_geometry) dbr:Timeline_of_geometry dbr:Timeline_of_mathematics dbr:1899_in_science dbr:Einstein_field_equations dbr:Electromagnetic_tensor dbr:Frobenius_theorem_(differential_topology) dbr:Fundamental_theorem_of_calculus dbr:Generalized_Stokes_theorem dbr:Glossary_of_string_theory dbr:Gradient dbr:Gradient_theorem dbr:Green's_theorem dbr:Minkowski_space dbr:Multilinear_algebra dbr:Connection_(principal_bundle) dbr:Connection_(vector_bundle) dbr:Conservative_vector_field dbr:Contact_geometry dbr:Total_derivative dbr:Mimetic_interpolation dbr:Nilpotent dbr:1901_in_science dbr:Leibniz_integral_rule dbr:Calculus_on_Euclidean_space dbr:Calibrated_geometry dbr:Stokes'_theorem dbr:Closed_and_exact_differential_forms dbr:Complex_differential_form dbr:Élie_Cartan dbr:Frölicher–Nijenhuis_bracket dbr:Partial_derivative dbr:Symplectic_group dbr:Symplectic_manifold dbr:Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field dbr:Maxwell's_equations_in_curved_spacetime dbr:Aharonov–Bohm_effect dbr:Ginzburg–Landau_theory dbr:D_(disambiguation) dbr:Laplace_operators_in_differential_geometry dbr:Logarithmic_form dbr:Affine_connection dbr:Curl_(mathematics) dbr:Exterior_algebra dbr:Exterior_covariant_derivative dbr:Notation_for_differentiation dbr:Darboux's_theorem dbr:Darboux_frame dbr:Cartan_formula dbr:Differentiable_stack dbr:Differential_(mathematics) dbr:Differential_of_a_function dbr:Differential_operator dbr:Dirac–Kähler_equation dbr:Directional_derivative dbr:Discrete_calculus dbr:Discrete_exterior_calculus dbr:Graded_ring dbr:Legendre_transformation dbr:Riemannian_connection_on_a_surface dbr:Hamiltonian_vector_field dbr:Atiyah–Singer_index_theorem dbr:BRST_quantization dbr:Teleparallelism dbr:Cotangent_bundle dbr:Courant_bracket dbr:Covariant_derivative dbr:Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism dbr:Paneitz_operator dbr:Chern_class dbr:Jet_bundle dbr:Lagrange_multiplier dbr:Laplace_operator dbr:Laplace–Beltrami_operator dbr:Birkhoff's_theorem_(electromagnetism) dbr:Cohomology_with_compact_support dbr:Hodge_theory dbr:Hodge–de_Rham_spectral_sequence dbr:Homological_integration dbr:Tautological_one-form dbr:Differentiable_manifold dbr:Differential_form dbr:Differential_geometry dbr:Differential_geometry_of_surfaces dbr:Differential_graded_algebra dbr:Divergence dbr:Bundle_gerbe dbr:CR_manifold dbr:Poisson_bracket dbr:Polar_coordinate_system dbr:Fermat's_theorem_(stationary_points) dbr:Integral dbr:Kähler_identities dbr:Method_of_characteristics dbr:Optical_metric dbr:Cartan's_equivalence_method dbr:Cartan–Karlhede_algorithm dbr:Chain_(algebraic_topology) dbr:Chain_complex dbr:Vector_calculus dbr:Uniformization_theorem dbr:Čech_cohomology dbr:Symplectic_vector_field dbr:Exterior_calculus_identities dbr:Differential dbr:List_of_things_named_after_Élie_Cartan dbr:Poincaré–Hopf_theorem dbr:Supersymmetry dbr:First_variation_of_area_formula dbr:Scalar–tensor–vector_gravity dbr:Sheaf_cohomology dbr:Vasiliev_equations dbr:Representation_theory_of_diffeomorphism_groups dbr:Topological_quantum_field_theory dbr:Polar_sine dbr:P-form_electrodynamics dbr:Supersymmetric_theory_of_stochastic_dynamics dbr:Tensor_bundle dbr:Invariant_formula_for_exterior_derivative dbr:Exterior_differentiation |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Exterior_derivative |
