Extended real number line (original) (raw)
Rozšířená reálná čísla (značení ) je název používaný v matematické analýze pro množinu , tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno. Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce je potřeba ošetřit celkem devět možností: i může být reálné číslo, nebo ; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Rozšířená reálná čísla (značení ) je název používaný v matematické analýze pro množinu , tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno. Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce je potřeba ošetřit celkem devět možností: i může být reálné číslo, nebo ; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí. (cs) Una recta real estesa, en matemàtica, s'obté a partir dels nombres reals amb l'afegit de dos elements: i (infinit positiu i infinit negatiu, respectivament). Es denota per o bé i és utilitzada per descriure diversos comportaments al límit a càlcul infinitesimal i anàlisi matemàtica, especialment en la teoria de la mesura i integració. Quan el significat es dedueix del context, el símbol s'escriu simplement . La recta real estesa projectiva afegeix un sol objecte: (infinit), i no fa distinció entre infinits «positiu» o «negatiu». Aquests nous elements no són nombres reals. (ca) Als erweiterte reelle Zahlen bezeichnet man in der Mathematik eine Menge, die aus dem Körper der reellen Zahlen durch Hinzufügen neuer Symbole für unendliche Elemente (auch: uneigentliche Punkte) entsteht. Man unterscheidet genauer zwischen den affin erweiterten reellen Zahlen, bei denen es zwei vorzeichenbehaftete uneigentliche Punkte gibt, und den projektiv erweiterten reellen Zahlen mit nur einem vorzeichenlosen uneigentlichen Punkt.Ohne den Zusatz affin bzw. projektiv wird der Begriff erweiterte reelle Zahlen in der Literatur üblicherweise gleichbedeutend mit affin erweiterte reelle Zahlen verwendet, in diesem Artikel wird dieser jedoch als gemeinsamer Oberbegriff für beide Erweiterungen genutzt. Beispielsweise machen die affin erweiterten reellen Zahlen es möglich, die unendlichen Elemente als den Grenzwert von bestimmt divergenten Folgen anzusehen und somit solche Folgen analog zu konvergenten Folgen zu behandeln.Die Definition der Erweiterungen ist dementsprechend zunächst topologisch motiviert.Die Arithmetik der reellen Zahlen lässt sich dagegen auf die erweiterten reellen Zahlen nicht vollständig fortsetzen. (de) In mathematics, the affinely extended real number system is obtained from the real number system by adding two infinity elements: and where the infinities are treated as actual numbers. It is useful in describing the algebra on infinities and the various limiting behaviors in calculus and mathematical analysis, especially in the theory of measure and integration. The affinely extended real number system is denoted or or It is the Dedekind–MacNeille completion of the real numbers. When the meaning is clear from context, the symbol is often written simply as (en) En matemática, la recta real extendida o recta real acabada es un espacio métrico que se obtiene a partir de los números reales por la añadidura de dos elementos: y (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). A cada número real le corresponde un punto de la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un número real; por ello, se dice que los números reales completan la recta. La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: (punto del infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales. La recta real extendida se denota por o bien ; es utilizada para describir varios comportamientos al límite en cálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración. Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo se escribe simplemente . (es) En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté +∞ et un plus petit élément, noté –∞. Elle est notée [–∞, +∞], ℝ ∪ {–∞, +∞} ou ℝ (la barre symbolise ici l'adhérence car dans la droite réelle achevée munie de la topologie de l'ordre, ℝ est dense). Cet ensemble est très utile en analyse et particulièrement dans certaines théories de l'intégration. (fr) 수학에서 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다. (ko) 数学における拡大実数（かくだいじっすう、英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う。 新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合、通常の実数は有限実数と呼んで区別する。 拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。（アフィン）拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、英: extended real line）と呼ばれ、R や [−∞, +∞] と書かれる。 文脈から明らかな場合には、正の無限大の記号 +∞ はしばしば単に ∞ と書かれる。 (ja) Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna och . Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori. (sv) Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть . Следует понимать, что не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы и считаются неравными друг другу. При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства . В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной. Знак плюс для элемента часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как . (ru) Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z tych rozszerzeń nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym. Rozszerzony na jeden ze wspomnianych sposobów zbiór liczb rzeczywistych staje się zwartą przestrzenią topologiczną (rozszerzenia dają różne topologie), co znajduje zastosowanie przede wszystkim w analizie matematycznej i teorii miary. Przede wszystkim pozwala na rozszerzenie niektórych funkcji na cały zbiór liczb rzeczywistych, przy czym niektóre z nich, dotąd nieciągłe, mogą być wtedy uważane za ciągłe (zob. niżej) oraz co ułatwia spójne traktowanie różnych przypadków, upraszczając w ten sposób sformułowania twierdzeń i dowodów. Niepełnemu rozszerzeniu podlegają również niektóre działania (operacje) na „elementy nieskończone” – niepełnemu, gdyż dołączane elementy nie mogą być uważane za liczby, a rozszerzone zbiory liczb rzeczywistych nie są ciałami liczbowymi. (pl) Невласними числами називають два числа: плюс нескінченність та мінус нескінченність, які додаються до множини дійсних чисел, утворюючи розширену множину дійсних чисел. Плюс нескінченність визначається як число, більше від будь-якого дійсного числа. Мінус нескінченність визначається як число, менше від будь-якого дійсного числа. (uk) 擴展實數線又稱廣義實數（英語：extended real number），由實數線加上和得到（注意和并不是实数），写作、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時，符號 +∞常簡寫成∞。扩展的實數線在研究数学分析，特别是积分时非常有用。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://books.google.com/books%3Fid=m40ivUwAonUC&pg=PA29 |
| dbo:wikiPageID | 51698 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 13594 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1113872631 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Calculus dbr:Power_series dbr:Projectively_extended_real_line dbr:Defined_and_undefined dbr:Dedekind–MacNeille_completion dbr:Dominated_convergence_theorem dbr:Limit_of_a_function dbc:Real_numbers dbr:Compact_space dbr:Construction_of_the_real_numbers dbr:Continuous_function dbr:Mathematical_analysis dbr:Mathematics dbr:Measure_(mathematics) dbr:Measure_theory dbr:Order_topology dbr:Function_(mathematics) dbr:Singularity_(mathematics) dbr:Topology dbr:Totally_ordered_set dbr:Log_semiring dbr:Semigroup dbr:Field_(mathematics) dbr:Continuity_(topology) dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_(mathematics) dbr:Asymptote dbc:Infinity dbr:Supremum dbr:Homeomorphism dbr:Division_by_zero dbr:IEEE_floating_point dbr:Identity_function dbr:Improper_integral dbr:Indeterminate_form dbr:Infinity dbr:Integral dbr:Metrizable dbr:Radius_of_convergence dbr:Real_number dbr:Infimum dbr:Unit_interval dbr:Monotone_convergence_theorem dbr:Series_(mathematics) dbr:Extended_natural_numbers dbr:Extended_complex_plane dbr:Neighborhood_(topology) |
| dbp:author | David W. Cantrell (en) |
| dbp:title | Affinely Extended Real Numbers (en) |
| dbp:urlname | AffinelyExtendedRealNumbers (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:About dbt:Citation dbt:Efn dbt:Large_numbers dbt:Math dbt:MathWorld dbt:Notelist dbt:Real_numbers dbt:Section_link dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Real_numbers dbc:Infinity |
| rdf:type | yago:WikicatNumbers yago:Abstraction100002137 yago:Amount105107765 yago:Attribute100024264 yago:ComplexNumber113729428 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:Magnitude105090441 yago:Measure100033615 yago:Number105121418 yago:Number113582013 yago:Property104916342 yago:RealNumber113729902 yago:WikicatRealNumbers |
| rdfs:comment | Rozšířená reálná čísla (značení ) je název používaný v matematické analýze pro množinu , tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno. Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce je potřeba ošetřit celkem devět možností: i může být reálné číslo, nebo ; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí. (cs) Una recta real estesa, en matemàtica, s'obté a partir dels nombres reals amb l'afegit de dos elements: i (infinit positiu i infinit negatiu, respectivament). Es denota per o bé i és utilitzada per descriure diversos comportaments al límit a càlcul infinitesimal i anàlisi matemàtica, especialment en la teoria de la mesura i integració. Quan el significat es dedueix del context, el símbol s'escriu simplement . La recta real estesa projectiva afegeix un sol objecte: (infinit), i no fa distinció entre infinits «positiu» o «negatiu». Aquests nous elements no són nombres reals. (ca) In mathematics, the affinely extended real number system is obtained from the real number system by adding two infinity elements: and where the infinities are treated as actual numbers. It is useful in describing the algebra on infinities and the various limiting behaviors in calculus and mathematical analysis, especially in the theory of measure and integration. The affinely extended real number system is denoted or or It is the Dedekind–MacNeille completion of the real numbers. When the meaning is clear from context, the symbol is often written simply as (en) En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté +∞ et un plus petit élément, noté –∞. Elle est notée [–∞, +∞], ℝ ∪ {–∞, +∞} ou ℝ (la barre symbolise ici l'adhérence car dans la droite réelle achevée munie de la topologie de l'ordre, ℝ est dense). Cet ensemble est très utile en analyse et particulièrement dans certaines théories de l'intégration. (fr) 수학에서 확장된 실수(擴張된實數, 영어: extended real number)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다. (ko) 数学における拡大実数（かくだいじっすう、英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う。 新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合、通常の実数は有限実数と呼んで区別する。 拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。（アフィン）拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、英: extended real line）と呼ばれ、R や [−∞, +∞] と書かれる。 文脈から明らかな場合には、正の無限大の記号 +∞ はしばしば単に ∞ と書かれる。 (ja) Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna och . Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori. (sv) Невласними числами називають два числа: плюс нескінченність та мінус нескінченність, які додаються до множини дійсних чисел, утворюючи розширену множину дійсних чисел. Плюс нескінченність визначається як число, більше від будь-якого дійсного числа. Мінус нескінченність визначається як число, менше від будь-якого дійсного числа. (uk) 擴展實數線又稱廣義實數（英語：extended real number），由實數線加上和得到（注意和并不是实数），写作、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時，符號 +∞常簡寫成∞。扩展的實數線在研究数学分析，特别是积分时非常有用。 (zh) Als erweiterte reelle Zahlen bezeichnet man in der Mathematik eine Menge, die aus dem Körper der reellen Zahlen durch Hinzufügen neuer Symbole für unendliche Elemente (auch: uneigentliche Punkte) entsteht. Man unterscheidet genauer zwischen den affin erweiterten reellen Zahlen, bei denen es zwei vorzeichenbehaftete uneigentliche Punkte gibt, und den projektiv erweiterten reellen Zahlen mit nur einem vorzeichenlosen uneigentlichen Punkt.Ohne den Zusatz affin bzw. projektiv wird der Begriff erweiterte reelle Zahlen in der Literatur üblicherweise gleichbedeutend mit affin erweiterte reelle Zahlen verwendet, in diesem Artikel wird dieser jedoch als gemeinsamer Oberbegriff für beide Erweiterungen genutzt. (de) En matemática, la recta real extendida o recta real acabada es un espacio métrico que se obtiene a partir de los números reales por la añadidura de dos elementos: y (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). A cada número real le corresponde un punto de la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un número real; por ello, se dice que los números reales completan la recta. La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: (punto del infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales. (es) Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z tych rozszerzeń nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym. (pl) Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть . Следует понимать, что не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы и считаются неравными друг другу. (ru) |
| rdfs:label | Recta real estesa (ca) Rozšířená reálná čísla (cs) Erweiterte reelle Zahl (de) Recta real extendida (es) Extended real number line (en) Droite réelle achevée (fr) 확장된 실수 (ko) 拡大実数 (ja) Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych (pl) Расширенная числовая прямая (ru) Utökade reella tallinjen (sv) Невласне число (uk) 擴展實數線 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Extended real number line yago-res:Extended real number line wikidata:Extended real number line dbpedia-ca:Extended real number line dbpedia-cs:Extended real number line dbpedia-de:Extended real number line dbpedia-es:Extended real number line dbpedia-fi:Extended real number line dbpedia-fr:Extended real number line http://hy.dbpedia.org/resource/Ընդլայնված_թվային_ուղիղ dbpedia-is:Extended real number line dbpedia-ja:Extended real number line dbpedia-ko:Extended real number line dbpedia-pl:Extended real number line dbpedia-ru:Extended real number line dbpedia-sv:Extended real number line http://ta.dbpedia.org/resource/நீட்டிக்கப்பட்ட_மெய்யெண்_கோடு dbpedia-uk:Extended real number line dbpedia-vi:Extended real number line dbpedia-zh:Extended real number line https://global.dbpedia.org/id/widn |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Extended_real_number_line?oldid=1113872631&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Extended_real_number_line |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Affine_infinity dbr:Affinely_extended_real_number_line dbr:Affinely_extended_real_number_system dbr:Affinely_extended_real_numbers dbr:Upper-extended_real_line dbr:Minus_infinity dbr:−∞ dbr:Positive_infinity dbr:+∞ dbr:-∞ dbr:Exended_real dbr:Extended_number dbr:Extended_real dbr:Extended_real_line dbr:Extended_real_number dbr:Extended_real_number_system dbr:Extended_real_numbers dbr:Extended_reals dbr:Negative_infinity |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Rounding dbr:Epi-convergence dbr:List_of_examples_in_general_topology dbr:List_of_general_topology_topics dbr:Moreau's_theorem dbr:Characteristic_function_(convex_analysis) dbr:Undefined_(mathematics) dbr:Decimal_floating_point dbr:Dedekind_cut dbr:Dedekind–MacNeille_completion dbr:Internal_rate_of_return dbr:Limit_of_a_function dbr:List_of_order_theory_topics dbr:List_of_real_analysis_topics dbr:Number_line dbr:Positive_and_negative_parts dbr:Compact_space dbr:Convex_analysis dbr:Mathematical_analysis dbr:Mathematical_constant dbr:Measure_(mathematics) dbr:Geometric_progression dbr:Epigraph_(mathematics) dbr:Bracket_(mathematics) dbr:Minkowski_functional dbr:NaN dbr:Convex_conjugate dbr:Convex_function dbr:Limit_inferior_and_limit_superior dbr:Sigma-additive_set_function dbr:Siméon_Denis_Poisson dbr:Complete_lattice dbr:Topological_data_analysis dbr:1_+_1_+_1_+_1_+_⋯ dbr:Division_by_infinity dbr:Gagliardo–Nirenberg_interpolation_inequality dbr:Hausdorff_dimension dbr:Hausdorff–Young_inequality dbr:Loeb_space dbr:Addition dbr:Aleph_number dbr:Exponentiation dbr:Extreme_value_theorem dbr:Fatou's_lemma dbr:Floating-point_arithmetic dbr:Cauchy_condensation_test dbr:Kachurovskii's_theorem dbr:Topological_entropy dbr:Projective_line dbr:Rate_function dbr:Harnack's_principle dbr:Interval_(mathematics) dbr:James_A._D._W._Anderson dbr:JavaScript_syntax dbr:Hypograph_(mathematics) dbr:Absorbing_element dbr:Chebyshev's_inequality dbr:L'Hôpital's_rule dbr:Lebesgue_integration dbr:Big_O_notation dbr:Sundial dbr:Effective_domain dbr:Tonelli's_theorem_(functional_analysis) dbr:Dini_derivative dbr:Division_(mathematics) dbr:Division_by_zero dbr:Burnside's_lemma dbr:Improper_integral dbr:Indeterminate_form dbr:Kleene_algebra dbr:Metric_space dbr:Minimum_spanning_tree dbr:Set_function dbr:Unit_interval dbr:Markov's_inequality dbr:Extended_natural_numbers dbr:Proper_convex_function dbr:Signed_zero dbr:Affine_infinity dbr:Affinely_extended_real_number_line dbr:Affinely_extended_real_number_system dbr:Affinely_extended_real_numbers dbr:Upper-extended_real_line dbr:Minus_infinity dbr:−∞ dbr:Positive_infinity dbr:+∞ dbr:-∞ dbr:Exended_real dbr:Extended_number dbr:Extended_real dbr:Extended_real_line dbr:Extended_real_number dbr:Extended_real_number_system dbr:Extended_real_numbers dbr:Extended_reals dbr:Negative_infinity |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Extended_real_number_line |