Projectively extended real line (original) (raw)
In real analysis, the projectively extended real line (also called the one-point compactification of the real line), is the extension of the set of the real numbers, by a point denoted ∞. It is thus the set with the standard arithmetic operations extended where possible, and is sometimes denoted by The added point is called the point at infinity, because it is considered as a neighbour of both ends of the real line. More precisely, the point at infinity is the limit of every sequence of real numbers whose absolute values are increasing and unbounded.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In real analysis, the projectively extended real line (also called the one-point compactification of the real line), is the extension of the set of the real numbers, by a point denoted ∞. It is thus the set with the standard arithmetic operations extended where possible, and is sometimes denoted by The added point is called the point at infinity, because it is considered as a neighbour of both ends of the real line. More precisely, the point at infinity is the limit of every sequence of real numbers whose absolute values are increasing and unbounded. The projectively extended real line may be identified with a real projective line in which three points have been assigned the specific values 0, 1 and ∞. The projectively extended real number line is distinct from the affinely extended real number line, in which +∞ and −∞ are distinct. (en) Na análise real, a reta real estendida projetivamente (também chamada de compactificação com um ponto da reta real), é a extensão da reta numérica por um ponto indicado ∞. É, portanto, o conjunto (em que é o conjunto dos números reais) com as operações aritméticas usuais estendidas estendido sempre que possível, e às vezes denotado por O ponto adicionado é chamado de ponto no infinito, porque ele é considerado como um vizinho de ambas as extremidades da reta real. Mais precisamente, o ponto no infinito é o limite de toda sequência de números reais cujos valores absolutos são crescentes e ilimitados. A reta real estendida projetivamente pode ser identificada com a reta projetiva sobre os reais em que foram atribuídos valores específicos três pontos (e.g. 0, 1 e ∞). A reta real estendida projetivamente não deve ser confundida com a reta numérica real estendida, em que +∞ e −∞ são distintos. (pt) Проективно расширенная числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное одной точкой, называемой бесконечностью (проективной бесконечностью, беззнаковой бесконечностью, двусторонней бесконечностью, бесконечно удалённой точкой). Бесконечно удалённую точку интуитивно можно понимать как отождествлённые положительную и отрицательную бесконечности. Это можно наглядно продемонстрировать, изобразив множество действительных чисел не на прямой, а на окружности с одной выколотой точкой. Тогда бесконечность будет соответствовать этой самой выколотой точке. Проективно расширенная числовая прямая расширяет числовую прямую аналогично тому, как расширенная комплексная плоскость расширяет комплексную плоскость. Несмотря на то, что термин расширенная числовая прямая обычно употребляют применительно ко множеству действительных чисел с двумя знаковыми бесконечностями, иногда он употребляется и для проективно расширенно числовой прямой. Поэтому для подчёркивания их отличия числовую прямую, дополненную двумя бесконечностями, иногда называют аффинно расширенной числовой прямой. Проективно расширенную числовую прямую различные авторы обозначают как , , . В данной статье будет использовано обозначение . Проективную бесконечность обозначают как , . Первое обозначение также иногда используют для обозначения плюс бесконечности, но в данной статье оно используется только по отношению к проективной. (ru) Проєктивно розширена числова пряма — множина дійсних чисел , доповнена однією точкою, званою нескінченністю (проєктивною нескінченністю, беззнаковою нескінченністю, двосторонньою нескінченністю, нескінченно віддаленою точкою). Нескінченно віддалену точку інтуїтивно можна розуміти як ототожнені додатну і від'ємну нескінченності. Це можна наочно продемонструвати, зобразивши множину дійсних чисел не на прямий, а на колі з однією виколотою точкою. Тоді нескінченність буде відповідати цій самій виколотій точці. Проєктивно розширена числова пряма розширює числову пряму аналогічно тому, як розширена комплексна площина розширює комплексну площину. Попри те, що термін розширена числова пряма зазвичай застосовують до множини дійсних чисел з двома знаковими нескінченностями, іноді його вживають і до проєктивно розширеної числової прямої. Тому для підкреслення їх відмінності числову пряму, доповнену двома нескінченностями, іноді називають афінно розширеною числовою прямою. Проєктивно розширену числову пряму різні автори позначають як , , . У цій статті використано позначення . Проєктивну нескінченність позначають як , . Перше позначення також іноді використовують для позначення плюс нескінченності, але в цій статті його використано тільки стосовно проєктивної нескінченності. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Real_projective_line.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://mathworld.wolfram.com/ProjectivelyExtendedRealNumbers.html |
| dbo:wikiPageID | 1014534 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 18614 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1107507558 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Calculus dbr:End_(topology) dbr:Midpoint dbr:Projective_harmonic_conjugate dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Homogeneous_space dbr:Homography dbr:Real_analysis dbr:Limit_of_a_function dbr:Multiplicative_inverse dbr:Complex_number dbr:Continuous_function dbr:General_linear_group dbr:Neighbourhood_(mathematics) dbr:Circle dbr:Bounded_set dbr:Möbius_transformation dbr:Cross-ratio dbr:Wheel_theory dbr:Projectivity dbr:Arc_tangent dbr:Limit_(mathematics) dbr:Sine_function dbr:Slope dbr:Stereographic_projection dbr:Compactification_(mathematics) dbr:Complex_projective_plane dbr:Desargues'_theorem dbr:Tangent_function dbr:Automorphism dbc:Topological_spaces dbr:Total_function dbr:Trigonometric_functions dbr:Domain_of_a_function dbr:Linear_subspace dbr:Additive_inverse dbc:Projective_geometry dbr:Exponential_function dbr:Field_(mathematics) dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Absolute_values dbr:Base_(topology) dbr:Projective_line dbr:Rational_function dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Interval_(mathematics) dbr:Interval_arithmetic dbr:Invertible dbr:Involution_(mathematics) dbr:Riemann_sphere dbc:Infinity dbc:Real_analysis dbr:Codomain dbr:Homeomorphism dbr:Division_by_zero dbr:Polynomial dbr:Punctured_neighbourhood dbr:Metrizable dbr:Real_number dbr:Real_projective_line dbr:Sequence dbr:Real_projective_plane dbr:Limit_point dbr:One-sided_limit dbr:Subspace_topology dbr:Point_at_infinity dbr:Polynomial_function dbr:Real_line dbr:Topological_space dbr:PGL(2,R) dbr:Affinely_extended_real_number_line dbr:Affinely_extended_real_number_system dbr:Elementary_function_(differential_algebra) dbr:Transitive_action dbr:One-point_compactification dbr:File:Real_projective_line.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:About dbt:Efn dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Notelist dbt:Short_description dbt:Unreferenced |
| dct:subject | dbc:Topological_spaces dbc:Projective_geometry dbc:Infinity dbc:Real_analysis |
| rdfs:comment | In real analysis, the projectively extended real line (also called the one-point compactification of the real line), is the extension of the set of the real numbers, by a point denoted ∞. It is thus the set with the standard arithmetic operations extended where possible, and is sometimes denoted by The added point is called the point at infinity, because it is considered as a neighbour of both ends of the real line. More precisely, the point at infinity is the limit of every sequence of real numbers whose absolute values are increasing and unbounded. (en) Na análise real, a reta real estendida projetivamente (também chamada de compactificação com um ponto da reta real), é a extensão da reta numérica por um ponto indicado ∞. É, portanto, o conjunto (em que é o conjunto dos números reais) com as operações aritméticas usuais estendidas estendido sempre que possível, e às vezes denotado por O ponto adicionado é chamado de ponto no infinito, porque ele é considerado como um vizinho de ambas as extremidades da reta real. Mais precisamente, o ponto no infinito é o limite de toda sequência de números reais cujos valores absolutos são crescentes e ilimitados. (pt) Проективно расширенная числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное одной точкой, называемой бесконечностью (проективной бесконечностью, беззнаковой бесконечностью, двусторонней бесконечностью, бесконечно удалённой точкой). Бесконечно удалённую точку интуитивно можно понимать как отождествлённые положительную и отрицательную бесконечности. Это можно наглядно продемонстрировать, изобразив множество действительных чисел не на прямой, а на окружности с одной выколотой точкой. Тогда бесконечность будет соответствовать этой самой выколотой точке. (ru) Проєктивно розширена числова пряма — множина дійсних чисел , доповнена однією точкою, званою нескінченністю (проєктивною нескінченністю, беззнаковою нескінченністю, двосторонньою нескінченністю, нескінченно віддаленою точкою). Нескінченно віддалену точку інтуїтивно можна розуміти як ототожнені додатну і від'ємну нескінченності. Це можна наочно продемонструвати, зобразивши множину дійсних чисел не на прямий, а на колі з однією виколотою точкою. Тоді нескінченність буде відповідати цій самій виколотій точці. (uk) |
| rdfs:label | Projectively extended real line (en) Reta real estendida projetivamente (pt) Проективно расширенная числовая прямая (ru) Проєктивно розширена числова пряма (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Projectively extended real line yago-res:Projectively extended real line wikidata:Projectively extended real line dbpedia-fa:Projectively extended real line dbpedia-pt:Projectively extended real line dbpedia-ru:Projectively extended real line dbpedia-uk:Projectively extended real line https://global.dbpedia.org/id/2QqL3 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Projectively_extended_real_line?oldid=1107507558&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Real_projective_line.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Projectively_extended_real_line |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:RP^1 dbr:Projected_reals dbr:Projectively_extended_real_number_line dbr:Projectively_extended_real_number_system dbr:Projectively_extended_real_numbers |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Limit_of_a_function dbr:Number_line dbr:Function_(mathematics) dbr:Glossary_of_mathematical_symbols dbr:Modular_group dbr:Cross-ratio dbr:Smoothness dbr:Extended_real_number_line dbr:Projective_line dbr:Hyperbolic_orthogonality dbr:Riemann_sphere dbr:Division_(mathematics) dbr:Division_by_zero dbr:Indeterminate_form dbr:Real_projective_line dbr:List_of_topologies dbr:One-sided_limit dbr:RP^1 dbr:Projected_reals dbr:Projectively_extended_real_number_line dbr:Projectively_extended_real_number_system dbr:Projectively_extended_real_numbers |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Projectively_extended_real_line |
