Radon transform (original) (raw)
In matematica, la trasformata di Radon, il cui nome è dovuto a Johann Radon, è una trasformata integrale la cui inversa, detta antitrasformata di Radon, è utilizzata per ricostruire immagini bidimensionali a partire dai dati raccolti nel processo di diagnostica medica detto tomografia assiale computerizzata (TAC). L'antitrasformata di Radon è utilizzata anche in altre applicazioni pratiche: per esempio è stata impiegata per ricostruire in base a dati satellitari mappe delle regioni polari di un pianeta o posizione e rotta di navi.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | تحويل رادون وهو تحويل تكاملي سمي على اسم عالم الرياضيات النمساوي . يتم هذا التحويل عبر تكامل دالة رياضية ثنائية الأبعاد على خط مستقيم. قدّم هذا التحويل من قبل يوهان رادون عام 1917، وقدم أيضا تحويلا معاكسا له. رادون شمل أيضا صيغة ثلاثية الأبعاد حيث يتم التحويل على مسطح. وتم تعميم هذا التحويل لاحقا على فضاء إقليدي بعدد أبعاد أكثر. ويطبق هذا التحويل في مجال التصوير المقطعي، حيث تمثل الدالة ƒ الكثافة المجهولة، ويمثل تحويل رادون البيانات المبعثرة التي يتم الحصول عليها من المسح الشعاعي الطبقي. ومن ثم يتم عكس تحويل رادون لإعادة إنشاء الكثافة الأصلية من البيانات المبعثرة، وبالتالي فهو يشكل دعامة الرياضية الصور الطبقية. (ar) Radonova transformace je matematická transformace pojmenovaná po Johannovi Radonovi. Jedná se o integrální transformaci, která spočívá v integrálu funkce přes přímky. Inverzní Radonova transformace se v teorii používá pro rekonstrukci obrázků z počítačových tomografů (v lékařství i průmyslu). Uvažujme přímku definovanou parametricky jako která je ve vzdálenosti s od počátku a má normálu svírající s osou x úhel . Definujeme Radonovu transformaci funkce f v rovině jako (předpokládáme, že funkce je spojitá a nulová všude mimo kruh s určitým konečným poloměrem): Tento výraz se označuje jako paprskový integrál. V n rozměrech (n>2) je Radonova transformace integrál funkce přes nadroviny. Integrál funkce přes množinu všech přímek v -rozměrném prostoru se také často volně nazývá Radonova transformace. V souvislosti s tomografií se soubor dat Radonovy transformace (paprskové integrály přes všechny přímky) nazývá sinogram, protože Radonova transformace Diracovy delta funkce je sinusoida. Z toho plyne, že Radonova transformace několika malých předmětu vypadá graficky jako několik rozmazaných sinusových vln s různými amplitudami a fázemi. Tato transformace ve dvou a třech rozměrech (kde se funkce integruje přes roviny místo přímek) byla popsána v roce 1917 Johannem Radonem, který rovněž sestavil vzorec pro zpětnou transformaci (využívanou v rekonstrukčních úlohách). Později byla tato transformace zevšeobecněna v integrální geometrii. Radonova transformace se využívá v počítačové tomografii a při řešení hyperbolických parciálních diferenciálních rovnic. (cs) Die Radon-Transformation ist eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird das Linienintegral der Funktion längs aller Geraden der --Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radon-Transformierte als eine Projektion der Funktion auf eine dazu senkrechte Gerade vorstellen. Die Radon-Transformation ist mit der Fourier-Transformation verwandt und stellt in zwei Dimensionen eine Verallgemeinerung der Abel-Transformation und einen Spezialfall der Hough-Transformation dar. Die auf komplexe Zahlen erweitere Variante wird als bezeichnet. Die Radon-Transformation ist nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon benannt. Er führte sie 1917 in der Veröffentlichung Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten ein. Eine wichtige praktische Anwendung dieser Transformation, genauer der Rücktransformation, liegt in der Computertomographie zur Bildgewinnung. (de) En matemáticas, la transformada de Radon bidimensional, llamada así por Johann Radon, es una transformación integral que consiste en la integral de una función sobre el conjunto de rectas. Por ejemplo, si una línea la representamos por , donde es la mínima distancia desde la recta al origen y es el ángulo que forma el eje con el vector posición del punto de la recta más cercano al origen, entonces En un espacio -dimensional la transformada de Radon es la integral de una función sobre hiperplanos. La integral de una función sobre un conjunto de rectas en un espacio -dimensional se le denomina transformada de rayos-X, aunque a veces este término es adoptado por la transformada de Radon. En el contexto de las tomografías la transformada de Radon se le suele llamar senograma puesto que la transformada de Radon de una función delta tiene como respuesta característica un seno. En consecuencia, la representación gráfica de la transformada de Radon de un conjunto de pequeños objetos parece una colección de senos con diferentes fases y amplitudes. Esta transformada en su versión bidimensional y tridimensional fue introducida en un artículo en 1917 por Johann Radon, quien, a su vez, generó una formulación para la transformación inversa. Posteriormente, la antitransformada fue generalizada en el contexto de la geometría integral. La transformada de Radon es útil en los TAC's (tomografía axial computarizada) y en la solución de ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicas. (es) In mathematics, the Radon transform is the integral transform which takes a function f defined on the plane to a function Rf defined on the (two-dimensional) space of lines in the plane, whose value at a particular line is equal to the line integral of the function over that line. The transform was introduced in 1917 by Johann Radon, who also provided a formula for the inverse transform. Radon further included formulas for the transform in three dimensions, in which the integral is taken over planes (integrating over lines is known as the X-ray transform). It was later generalized to higher-dimensional Euclidean spaces, and more broadly in the context of integral geometry. The complex analogue of the Radon transform is known as the Penrose transform. The Radon transform is widely applicable to tomography, the creation of an image from the projection data associated with cross-sectional scans of an object. (en) Le théorème de projection de Radon établit la possibilité de reconstituer une fonction réelle à deux variables (assimilable à une image) à l'aide de la totalité de ses projections selon des droites concourantes. L'application la plus courante de ce théorème est la reconstruction d'images médicales en tomodensitométrie, c'est-à-dire dans les scanneurs à rayon X. Il doit son nom au mathématicien Johann Radon. En pratique, il est impossible de disposer de toutes les projections d'un objet solide, seulement un échantillonnage. Mais il existe des méthodes pour combler ce manque d'information conformément à ce que l'on sait a priori sur l'image, par exemple les méthodes d'entropie maximale (voir théorème de Cox-Jaynes). (fr) In matematica, la trasformata di Radon, il cui nome è dovuto a Johann Radon, è una trasformata integrale la cui inversa, detta antitrasformata di Radon, è utilizzata per ricostruire immagini bidimensionali a partire dai dati raccolti nel processo di diagnostica medica detto tomografia assiale computerizzata (TAC). L'antitrasformata di Radon è utilizzata anche in altre applicazioni pratiche: per esempio è stata impiegata per ricostruire in base a dati satellitari mappe delle regioni polari di un pianeta o posizione e rotta di navi. (it) Niech będzie ciągłą i wystarczająco szybko malejącą w nieskończoności funkcją zmiennych rzeczywistych dla Dla dowolnej hiperpłaszczyzny w gdzie i definiowana jest całka gdzie jest -wymiarową objętością na hiperpowierzchni Funkcję nazywamy transformatą Radona lub przekształceniem Radona funkcji Transformatę Radona zdefiniował austriacki matematyk Johann Radon w 1917 roku. Transformata Radona jest funkcją jednorodną stopnia –1: Związek z transformatą Fouriera funkcji (pl) Em matemática, a transformada de Radon em duas dimensões, nomeada em homenagem ao matemático austríaco Johann Radon, é a transformada integral consistindo da integral de uma função sobre linhas retas. A transformada foi introduzida por Johann Radon em 1917, que também forneceu uma fórmula para a transformada inversa. Radon posteriormente incluiu fórmulas para a transformada em três dimensões, na qual a integral é tomada sobre planos. Ela foi posteriormente generalizada para espaços Euclidianos de dimensões mais altas, e mais amplamente no contexto da geometria integral. O análogo complexo da transformada de Radon é conhecido como a . A transformada de Abel é um caso especial da transformada de Radon bidimensional. O tema do trabalho original de Radon era o que se conhece por problema da reconstrução a partir das projeções, isto é, como obter uma função f(x,y), não observável diretamente, a partir de suas projeções φx(y) medidas sobre o plano. Esse problema reveste-se de interesse em áreas tão diversas quanto diagnóstico por imagem, óptica, interferometria holográfica, geofísica, radioastronomia, cristalografia, microscopia, ciência dos materiais e também na matemática pura. De forma geral, a transformada de Radon é útil sempre que se deseja obter informação sobre a estrutura interna de um objeto através de uma sondagem do seu contorno. Entende-se que o advento da tomografia computadorizada na década de 1970 foi um fato extremamente relevante para o aumento do interesse da comunidade técnica nessa transformada. O problema da reconstrução a partir das projeções é resolvido pela transformada de Radon inversa. Define-se também a transformada generalizada de Radon atribuindo-se um peso diferente para cada projeção. (pt) 數學上，拉東變換（又稱雷登變換）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數(的意思是對做拉東變換)，而的值為函數對該條線做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是，線則是代表。 拉東變換是约翰·拉东在西元1917年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要查。在複數上有和拉東變換相似的，拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。 (zh) Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 года. Важнейшее свойство преобразования Радона — , то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона. (ru) В математиці перетворення Радона — це інтегральне перетворення, яке переводить функцію f, визначену на площині, в функцію Rf, визначену на (двовимірному) просторі з прямих на площині, значення якої у певній прямій дорівнює криволінійному інтегралу від цієї функції над цією прямою. Перетворення було введене в 1917 році який також надав формулу зворотного перетворення. Крім того, Радон визначив формули для перетворення в трьох вимірах, в яких інтегрування відбувається на площині (інтегрування по лініях відоме як ). Пізніше це було узагальнено до евклідових просторів більш високого розміру, а ширше — в контексті інтегральної геометрії. Комплексний аналог перетворення Радона відомий як . Перетворення Радона широко застосовується для томографії, створення зображення з проєкційних даних, пов'язаних із скануванням поперечного перерізу об'єкта. (uk) |
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Transformata Radona jest funkcją jednorodną stopnia –1: Związek z transformatą Fouriera funkcji (pl) 數學上，拉東變換（又稱雷登變換）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數(的意思是對做拉東變換)，而的值為函數對該條線做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是，線則是代表。 拉東變換是约翰·拉东在西元1917年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要查。在複數上有和拉東變換相似的，拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。 (zh) Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 года. Важнейшее свойство преобразования Радона — , то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона. (ru) تحويل رادون وهو تحويل تكاملي سمي على اسم عالم الرياضيات النمساوي . يتم هذا التحويل عبر تكامل دالة رياضية ثنائية الأبعاد على خط مستقيم. قدّم هذا التحويل من قبل يوهان رادون عام 1917، وقدم أيضا تحويلا معاكسا له. رادون شمل أيضا صيغة ثلاثية الأبعاد حيث يتم التحويل على مسطح. وتم تعميم هذا التحويل لاحقا على فضاء إقليدي بعدد أبعاد أكثر. (ar) Radonova transformace je matematická transformace pojmenovaná po Johannovi Radonovi. Jedná se o integrální transformaci, která spočívá v integrálu funkce přes přímky. Inverzní Radonova transformace se v teorii používá pro rekonstrukci obrázků z počítačových tomografů (v lékařství i průmyslu). Uvažujme přímku definovanou parametricky jako která je ve vzdálenosti s od počátku a má normálu svírající s osou x úhel . Definujeme Radonovu transformaci funkce f v rovině jako (předpokládáme, že funkce je spojitá a nulová všude mimo kruh s určitým konečným poloměrem): (cs) Die Radon-Transformation ist eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird das Linienintegral der Funktion längs aller Geraden der --Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radon-Transformierte als eine Projektion der Funktion auf eine dazu senkrechte Gerade vorstellen. Die Radon-Transformation ist mit der Fourier-Transformation verwandt und stellt in zwei Dimensionen eine Verallgemeinerung der Abel-Transformation und einen Spezialfall der Hough-Transformation dar. Die auf komplexe Zahlen erweitere Variante wird als bezeichnet. (de) En matemáticas, la transformada de Radon bidimensional, llamada así por Johann Radon, es una transformación integral que consiste en la integral de una función sobre el conjunto de rectas. Por ejemplo, si una línea la representamos por , donde es la mínima distancia desde la recta al origen y es el ángulo que forma el eje con el vector posición del punto de la recta más cercano al origen, entonces La transformada de Radon es útil en los TAC's (tomografía axial computarizada) y en la solución de ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicas. (es) In mathematics, the Radon transform is the integral transform which takes a function f defined on the plane to a function Rf defined on the (two-dimensional) space of lines in the plane, whose value at a particular line is equal to the line integral of the function over that line. The transform was introduced in 1917 by Johann Radon, who also provided a formula for the inverse transform. Radon further included formulas for the transform in three dimensions, in which the integral is taken over planes (integrating over lines is known as the X-ray transform). It was later generalized to higher-dimensional Euclidean spaces, and more broadly in the context of integral geometry. The complex analogue of the Radon transform is known as the Penrose transform. The Radon transform is widely applicabl (en) Le théorème de projection de Radon établit la possibilité de reconstituer une fonction réelle à deux variables (assimilable à une image) à l'aide de la totalité de ses projections selon des droites concourantes. L'application la plus courante de ce théorème est la reconstruction d'images médicales en tomodensitométrie, c'est-à-dire dans les scanneurs à rayon X. Il doit son nom au mathématicien Johann Radon. (fr) Em matemática, a transformada de Radon em duas dimensões, nomeada em homenagem ao matemático austríaco Johann Radon, é a transformada integral consistindo da integral de uma função sobre linhas retas. A transformada foi introduzida por Johann Radon em 1917, que também forneceu uma fórmula para a transformada inversa. Radon posteriormente incluiu fórmulas para a transformada em três dimensões, na qual a integral é tomada sobre planos. Ela foi posteriormente generalizada para espaços Euclidianos de dimensões mais altas, e mais amplamente no contexto da geometria integral. O análogo complexo da transformada de Radon é conhecido como a . (pt) В математиці перетворення Радона — це інтегральне перетворення, яке переводить функцію f, визначену на площині, в функцію Rf, визначену на (двовимірному) просторі з прямих на площині, значення якої у певній прямій дорівнює криволінійному інтегралу від цієї функції над цією прямою. (uk) |
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