| dbo:abstract |
In mathematics, hypercomplex analysis is the basic extension of real analysis and complex analysis to the study of functions where the argument is a hypercomplex number. The first instance is functions of a quaternion variable, where the argument is a quaternion (in this case, the sub-field of hypercomplex analysis is called quaternionic analysis). A second instance involves functions of a motor variable where arguments are split-complex numbers. In mathematical physics, there are hypercomplex systems called Clifford algebras. The study of functions with arguments from a Clifford algebra is called Clifford analysis. A matrix may be considered a hypercomplex number. For example, the study of functions of 2 × 2 real matrices shows that the topology of the space of hypercomplex numbers determines the function theory. Functions such as square root of a matrix, matrix exponential, and logarithm of a matrix are basic examples of hypercomplex analysis. The function theory of diagonalizable matrices is particularly transparent since they have eigendecompositions. Suppose where the Ei are projections. Then for any polynomial , The modern terminology for a "system of hypercomplex numbers" is an algebra over the real numbers, and the algebras used in applications are often Banach algebras since Cauchy sequences can be taken to be convergent. Then the function theory is enriched by sequences and series. In this context the extension of holomorphic functions of a complex variable is developed as the holomorphic functional calculus. Hypercomplex analysis on Banach algebras is called functional analysis. (en) 数学における超複素解析（ちょうふくそかいせき、英: hypercomplex analysis）は、実解析や複素解析をが多元数（超複素数）である場合の研究に拡張するものである。そのもっとも単純な例が、四元数を引数にとる（四元数解析）であり、また分解型複素数を引数に取るである。 数理物理学において用いられる超複素数系にクリフォード代数と呼ばれるものがある。クリフォード代数に引数をとる函数の研究はと言う。 行列もまた超複素数として扱いうる対象である。例えば、二次の実正方行列変数の函数の研究は、超複素数の空間の位相がその函数論を決定することを示している。行列の平方根、行列の指数函数、行列の対数函数は超複素解析の基本的な例である。対角化可能行列の函数論はを持つから、特に見通しがよい。実際、Ei を適当な射影行列として、T = ∑Ni=1 λi Ei と書けるならば、任意の多項式 f に対して、f(T)= ∑Ni=1 f(λi) Ei と計算できる。 現代的な用語法では、「多元数の体系」を多元環 (algebra) と呼ぶ。応用上現れる多元環は、コーシー列が必ず収束するというバナッハ多元環（バナッハ代数）になっているものも多く、したがってそのような場合の函数論は数列や級数によって豊饒化 (enrich) されている。この文脈において、複素変数の場合の正則函数に当たる概念の拡張は、によって展開されている。バナッハ代数上の超複素解析は函数解析学と呼ばれるものである。 (ja) |
| dbo:wikiPageExternalLink |
https://diginole.lib.fsu.edu/islandora/object/fsu%3A252949 |
| dbo:wikiPageID |
26666199 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength |
4018 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID |
1097139902 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink |
dbr:Quaternion dbr:Quaternionic_analysis dbr:Algebra_over_a_field dbr:Argument_of_a_function dbc:Hypercomplex_numbers dbr:Holomorphic_function dbr:Real_analysis dbr:Complex_analysis dbr:Complex_number dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_exponential dbr:Clifford_algebra dbr:Function_(mathematics) dbr:Giovanni_Battista_Rizza dbr:Logarithm_of_a_matrix dbr:Clifford_analysis dbr:Functional_analysis dbr:Space_(mathematics) dbr:Mathematical_Proceedings_of_the_Cambridge_Philosophical_Society dbr:Mathematical_physics dbr:Irene_Sabadini dbr:American_Mathematical_Society dbc:Functions_and_mappings dbr:Florida_State_University dbr:Banach_algebra dbr:Cauchy_sequence dbr:Projection_(linear_algebra) dbr:Hypercomplex_number dbc:Mathematical_analysis dbr:Holomorphic_functional_calculus dbr:Diagonalizable_matrices dbr:Polynomial dbr:Split-complex_number dbr:Square_root_of_a_matrix dbr:Real_number dbr:Sequence dbr:Series_(mathematics) dbr:Motor_variable dbr:Topological_space dbr:Eigendecomposition dbr:Quaternion_variable dbr:A.G._O’Farrell dbr:Convergent_sequence |
| dbp:wikiPageUsesTemplate |
dbt:ISBN dbt:Reflist |
| dct:subject |
dbc:Hypercomplex_numbers dbc:Functions_and_mappings dbc:Mathematical_analysis |
| rdf:type |
yago:Abstraction100002137 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Relation100031921 yago:WikicatFunctionsAndMappings |
| rdfs:comment |
In mathematics, hypercomplex analysis is the basic extension of real analysis and complex analysis to the study of functions where the argument is a hypercomplex number. The first instance is functions of a quaternion variable, where the argument is a quaternion (in this case, the sub-field of hypercomplex analysis is called quaternionic analysis). A second instance involves functions of a motor variable where arguments are split-complex numbers. (en) 数学における超複素解析（ちょうふくそかいせき、英: hypercomplex analysis）は、実解析や複素解析をが多元数（超複素数）である場合の研究に拡張するものである。そのもっとも単純な例が、四元数を引数にとる（四元数解析）であり、また分解型複素数を引数に取るである。 数理物理学において用いられる超複素数系にクリフォード代数と呼ばれるものがある。クリフォード代数に引数をとる函数の研究はと言う。 行列もまた超複素数として扱いうる対象である。例えば、二次の実正方行列変数の函数の研究は、超複素数の空間の位相がその函数論を決定することを示している。行列の平方根、行列の指数函数、行列の対数函数は超複素解析の基本的な例である。対角化可能行列の函数論はを持つから、特に見通しがよい。実際、Ei を適当な射影行列として、T = ∑Ni=1 λi Ei と書けるならば、任意の多項式 f に対して、f(T)= ∑Ni=1 f(λi) Ei と計算できる。 (ja) |
| rdfs:label |
Hypercomplex analysis (en) 超複素解析 (ja) |
| owl:sameAs |
freebase:Hypercomplex analysis yago-res:Hypercomplex analysis wikidata:Hypercomplex analysis dbpedia-ja:Hypercomplex analysis https://global.dbpedia.org/id/4nWcm |
| prov:wasDerivedFrom |
wikipedia-en:Hypercomplex_analysis?oldid=1097139902&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf |
wikipedia-en:Hypercomplex_analysis |
| is dbo:academicDiscipline of |
dbr:Giovanni_Battista_Rizza |
| is dbo:knownFor of |
dbr:Giovanni_Battista_Rizza |
| is dbo:wikiPageWikiLink of |
dbr:P-adic_analysis dbr:Complex_analysis dbr:Mathematical_analysis dbr:Giovanni_Battista_Rizza dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Irene_Sabadini dbr:Hypercomplex_number dbr:Leave-one-out_error dbr:List_of_types_of_functions dbr:Motor_variable |
| is dbp:fields of |
dbr:Giovanni_Battista_Rizza |
| is dbp:knownFor of |
dbr:Giovanni_Battista_Rizza |
| is foaf:primaryTopic of |
wikipedia-en:Hypercomplex_analysis |