Lens space (original) (raw)
Linsenräume sind geometrische Gebilde, die in der Mathematik vor allem in der 3-dimensionalen Topologie vorkommen. Sie sind die einfachste Klasse 3-dimensionaler geschlossener Mannigfaltigkeiten. Erstmals beschrieb sie 1908 Heinrich Tietze. Mit den von Tietze eingeführten Linsenräumen gelang es James Waddell Alexander 1919, eine Vermutung von Henri Poincaré zu widerlegen, da sie Beispiele für nicht-homöomorphe Räume mit gleicher Fundamentalgruppe liefern. Weiterhin waren Linsenräume die ersten Beispiele homotopieäquivalenter, aber nicht homöomorpher Mannigfaltigkeiten: Kurt Reidemeister entwickelte 1935 die später nach ihm benannte Reidemeister-Torsion, um den Homöomorphietyp von Linsenräumen zu unterscheiden.
_Side_View.png?width=300)
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Linsenräume sind geometrische Gebilde, die in der Mathematik vor allem in der 3-dimensionalen Topologie vorkommen. Sie sind die einfachste Klasse 3-dimensionaler geschlossener Mannigfaltigkeiten. Erstmals beschrieb sie 1908 Heinrich Tietze. Mit den von Tietze eingeführten Linsenräumen gelang es James Waddell Alexander 1919, eine Vermutung von Henri Poincaré zu widerlegen, da sie Beispiele für nicht-homöomorphe Räume mit gleicher Fundamentalgruppe liefern. Weiterhin waren Linsenräume die ersten Beispiele homotopieäquivalenter, aber nicht homöomorpher Mannigfaltigkeiten: Kurt Reidemeister entwickelte 1935 die später nach ihm benannte Reidemeister-Torsion, um den Homöomorphietyp von Linsenräumen zu unterscheiden. (de) A lens space is an example of a topological space, considered in mathematics. The term often refers to a specific class of 3-manifolds, but in general can be defined for higher dimensions. In the 3-manifold case, a lens space can be visualized as the result of gluing two solid tori together by a homeomorphism of their boundaries. Often the 3-sphere and , both of which can be obtained as above, are not counted as they are considered trivial special cases. The three-dimensional lens spaces were introduced by Heinrich Tietze in 1908. They were the first known examples of 3-manifolds which were not determined by their homology and fundamental group alone, and the simplest examples of closed manifolds whose homeomorphism type is not determined by their homotopy type. J. W. Alexander in 1919 showed that the lens spaces and were not homeomorphic even though they have isomorphic fundamental groups and the same homology, though they do not have the same homotopy type. Other lens spaces (such as and ) have even the same homotopy type (and thus isomorphic fundamental groups and homology), but not the same homeomorphism type; they can thus be seen as the birth of geometric topology of manifolds as distinct from algebraic topology. There is a complete classification of three-dimensional lens spaces, by fundamental group and Reidemeister torsion. (en) Un espace lenticulaire est une variété de dimension 3, construit comme espace quotient de la sphère S3 par l'action libre d'un groupe cyclique d'ordre premier. Les espaces lenticulaires forment une famille, dont les membres sont notés L(p, q). L'adjectif « lenticulaire » vient d'une certaine représentation du domaine fondamental du groupe cyclique, qui ressemble à l'intersection de deux cercles. Leur relative simplicité en fait des objets étudiés en topologie algébrique, notamment en théorie des nœuds, en K-théorie et en théorie du cobordisme. Les espaces lenticulaires sont intéressants en ce qu'ils sont difficiles à classer : deux tels espaces peuvent avoir même homotopie ou même homologie mais ne pas être homotopiquement équivalents ; ou encore ils peuvent être homotopiquement équivalents sans pour autant être homéomorphes. La question de comment distinguer les espaces lenticulaires est à l'origine de plusieurs développements en topologie algébrique. C'est finalement pour résoudre ce problème qu'a été introduite la (en), qui donne la première réponse satisfaisante. D'une manière générale on peut comprendre la différence entre ces espaces comme exprimant une (en). Le est un autre moyen de distinguer les espaces lenticulaires, issu de l'étude des cobordismes. Les espaces lenticulaires possèdent un (en) de genre 1. Ce sont en particulier des variétés de Seifert, bien que la structure fibrée ne soit pas unique. (fr) In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a +1. Uno spazio lenticolare è indicato con e dipende da una coppia di interi coprimi . Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito. (it) 数学におけるレンズ空間（レンズくうかん、英: lens space）とは、位相空間の一種である。しばしば（英語: 3-manifold）の特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。 3次元多様体の場合、レンズ空間というのは二つのソリッドトーラス（中身の詰まったトーラス）をその境界で貼り合せる事で得られる空間として特徴付けることができる。ただし、3次元球面 S3 や S2 × S1 は、そうやって得られる空間ではあるものの、自明な場合であるとして、レンズ空間としては扱わないことも多い。 3次元レンズ空間 L(p; q) は1908年に Tietze が導入した。3次元レンズ空間はそのホモロジーおよび基本群だけからは決定することができない3次元多様体の最もよく知られた例であり、そして同相型 (homeomorphism type) がそのホモトピー型から決まらない閉多様体の最も簡単な例である。J.W. Alexander は1919年にレンズ空間 L(5; 1) と L(5; 2) が、基本群とホモロジー群が同型であるにもかかわらず互いに同相ではないことを示した。他にも同じホモトピー型を持つ（従って基本群もホモロジー群も等しい）が同相型が異なるレンズ空間というものが存在する。これにより、レンズ空間の導入を以って（代数的位相幾何学から分かれて）幾何学的位相幾何学 (geometric topology) の起こりと考えられる。 3次元レンズ空間は基本群とライデマイスタートーションによって完全に分類される。 (ja) 위상수학에서 렌즈 공간(영어: lens space)은 일련의 3차원 위상다양체들이다. (ko) De lensruimten van Tietze spelen een rol in de topologie, een tak van de wiskunde. Het betreft een klasse van topologische ruimten, meer bepaald topologische variëteiten, aan de hand waarvan men onder meer aantoont dat homotopie-equivalente topologische ruimten niet noodzakelijk homeomorf, d.i. topologisch equivalent, zijn. Deze ruimten zijn genoemd naar de Oostenrijkse wiskundige . (nl) Линзовое пространство — многообразие нечётной размерности, являющееся факторпространством сферы по изометрическому свободному действию циклической группы . Сферу всегда возможно расположить в комплексном пространстве с фиксированным базисом, так чтобы образующая , действовала на каждой координате умножениями на где .Такое действие является свободным тогда и только тогда, когда для каждого , взаимнопросто с .Это пространство обычно обозначается . Фундаментальную область действия на удобно представлять себе в виде «линзы» — пересечение двух полусфер — откуда и возникло название «линзовое пространство». (ru) Лінзовий простір — многовид непарновимірної розмірності, що є фактор-простором сфери за ізометричною вільною дією циклічної групи . Сферу завжди можливо розташувати в комплексному просторі з фіксованим базисом, так щоб твірна , діяла на кожній координаті множеннями на де .Така дія є вільною тоді і тільки тоді, коли для кожного , взаємнопросте з .Цей простір зазвичай позначається . Фундаментальну область дії на зручно уявляти у вигляді «лінзи» — перетину двох півсфер — звідки й виникла назва «лінзовий простір». (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Lens_Space_L(2;5)_Side_View.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html http://www.math.cornell.edu/~hatcher/3M/3Mdownloads.html https://web.archive.org/web/20060925092931/https:/www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/lensspaces.pdf http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/lensspaces.pdf http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Fake_lens_spaces http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Lens_spaces http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Lens_spaces:_a_history http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/haupt/Tietze1908.pdf http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/haupt/tietze.pdf |
| dbo:wikiPageID | 885725 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 9395 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117400887 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Bipyramid dbr:Algebraic_topology dbr:Annals_of_Mathematics dbr:John_Stillwell dbr:Regular_polygon dbr:Surgery_obstruction dbc:3-manifolds dbr:Mathematics dbr:Geometriae_Dedicata dbr:Geometric_topology dbr:Solid_torus dbr:Glen_Bredon dbr:Configuration_space_(mathematics) dbr:Fundamental_group dbr:3-sphere dbr:Alexander_polynomial dbr:Allen_Hatcher dbr:3-manifold dbc:Manifolds dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Knot_theory dbr:Lehrbuch_der_Topologie dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Herbert_Seifert dbr:James_Waddell_Alexander_II dbr:Homeomorphism dbr:Homology_(mathematics) dbr:William_Threlfall dbr:Coprime dbr:Massey_product dbr:Characteristic_classes dbr:Topological_space dbr:PL_homeomorphism dbr:Spherical_3-manifold dbr:Simple_homotopy dbr:Torsion_linking_form dbr:Heinrich_Tietze dbr:Reidemeister_torsion dbr:Locally_symmetric_space dbr:File:Lens_Space_L(2;5)_Animation.gif dbr:File:Lens_Space_L(2;5)_Side_View.png |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Dead_link dbt:Harv dbt:No_footnotes dbt:Short_description dbt:Webarchive |
| dcterms:subject | dbc:3-manifolds dbc:Manifolds |
| rdf:type | yago:WikicatManifolds yago:Artifact100021939 yago:Conduit103089014 yago:Manifold103717750 yago:Object100002684 yago:Passage103895293 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Pipe103944672 yago:YagoGeoEntity yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:Tube104493505 yago:Way104564698 yago:Whole100003553 |
| rdfs:comment | Linsenräume sind geometrische Gebilde, die in der Mathematik vor allem in der 3-dimensionalen Topologie vorkommen. Sie sind die einfachste Klasse 3-dimensionaler geschlossener Mannigfaltigkeiten. Erstmals beschrieb sie 1908 Heinrich Tietze. Mit den von Tietze eingeführten Linsenräumen gelang es James Waddell Alexander 1919, eine Vermutung von Henri Poincaré zu widerlegen, da sie Beispiele für nicht-homöomorphe Räume mit gleicher Fundamentalgruppe liefern. Weiterhin waren Linsenräume die ersten Beispiele homotopieäquivalenter, aber nicht homöomorpher Mannigfaltigkeiten: Kurt Reidemeister entwickelte 1935 die später nach ihm benannte Reidemeister-Torsion, um den Homöomorphietyp von Linsenräumen zu unterscheiden. (de) In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a +1. Uno spazio lenticolare è indicato con e dipende da una coppia di interi coprimi . Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito. (it) 위상수학에서 렌즈 공간(영어: lens space)은 일련의 3차원 위상다양체들이다. (ko) De lensruimten van Tietze spelen een rol in de topologie, een tak van de wiskunde. Het betreft een klasse van topologische ruimten, meer bepaald topologische variëteiten, aan de hand waarvan men onder meer aantoont dat homotopie-equivalente topologische ruimten niet noodzakelijk homeomorf, d.i. topologisch equivalent, zijn. Deze ruimten zijn genoemd naar de Oostenrijkse wiskundige . (nl) Лінзовий простір — многовид непарновимірної розмірності, що є фактор-простором сфери за ізометричною вільною дією циклічної групи . Сферу завжди можливо розташувати в комплексному просторі з фіксованим базисом, так щоб твірна , діяла на кожній координаті множеннями на де .Така дія є вільною тоді і тільки тоді, коли для кожного , взаємнопросте з .Цей простір зазвичай позначається . Фундаментальну область дії на зручно уявляти у вигляді «лінзи» — перетину двох півсфер — звідки й виникла назва «лінзовий простір». (uk) A lens space is an example of a topological space, considered in mathematics. The term often refers to a specific class of 3-manifolds, but in general can be defined for higher dimensions. In the 3-manifold case, a lens space can be visualized as the result of gluing two solid tori together by a homeomorphism of their boundaries. Often the 3-sphere and , both of which can be obtained as above, are not counted as they are considered trivial special cases. There is a complete classification of three-dimensional lens spaces, by fundamental group and Reidemeister torsion. (en) Un espace lenticulaire est une variété de dimension 3, construit comme espace quotient de la sphère S3 par l'action libre d'un groupe cyclique d'ordre premier. Les espaces lenticulaires forment une famille, dont les membres sont notés L(p, q). L'adjectif « lenticulaire » vient d'une certaine représentation du domaine fondamental du groupe cyclique, qui ressemble à l'intersection de deux cercles. Leur relative simplicité en fait des objets étudiés en topologie algébrique, notamment en théorie des nœuds, en K-théorie et en théorie du cobordisme. (fr) 数学におけるレンズ空間（レンズくうかん、英: lens space）とは、位相空間の一種である。しばしば（英語: 3-manifold）の特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。 3次元多様体の場合、レンズ空間というのは二つのソリッドトーラス（中身の詰まったトーラス）をその境界で貼り合せる事で得られる空間として特徴付けることができる。ただし、3次元球面 S3 や S2 × S1 は、そうやって得られる空間ではあるものの、自明な場合であるとして、レンズ空間としては扱わないことも多い。 3次元レンズ空間は基本群とライデマイスタートーションによって完全に分類される。 (ja) Линзовое пространство — многообразие нечётной размерности, являющееся факторпространством сферы по изометрическому свободному действию циклической группы . Сферу всегда возможно расположить в комплексном пространстве с фиксированным базисом, так чтобы образующая , действовала на каждой координате умножениями на где .Такое действие является свободным тогда и только тогда, когда для каждого , взаимнопросто с .Это пространство обычно обозначается . (ru) |
| rdfs:label | Linsenraum (de) Espace lenticulaire (fr) Spazio lenticolare (it) Lens space (en) レンズ空間 (ja) 렌즈 공간 (ko) Lensruimten van Tietze (nl) Линзовое пространство (ru) Лінзовий простір (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Lens space yago-res:Lens space wikidata:Lens space dbpedia-de:Lens space dbpedia-fr:Lens space dbpedia-it:Lens space dbpedia-ja:Lens space dbpedia-ko:Lens space dbpedia-nl:Lens space dbpedia-ru:Lens space dbpedia-uk:Lens space dbpedia-vi:Lens space https://global.dbpedia.org/id/2KfpX |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Lens_space?oldid=1117400887&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Lens_Space_L(2;5)_Animation.gif wiki-commons:Special:FilePath/Lens_Space_L(2;5)_Side_View.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Lens_space |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Lens_spaces |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Prime_manifold dbr:Dehn_surgery dbr:Incompressible_surface dbr:List_of_geometric_topology_topics dbr:List_of_knot_theory_topics dbr:List_of_manifolds dbr:Analytic_torsion dbr:Essential_manifold dbr:Geometrization_conjecture dbr:Georges_de_Rham dbr:Glossary_of_algebraic_topology dbr:Configuration_space_(mathematics) dbr:Berge_knot dbr:Space_(mathematics) dbr:Symmetric_space dbr:Heegaard_splitting dbr:Heinrich_Franz_Friedrich_Tietze dbr:Poincaré_duality dbr:3-manifold dbr:Glossary_of_differential_geometry_and_topology dbr:Gravitational_instanton dbr:Handle_decompositions_of_3-manifolds dbr:Hilbert_manifold dbr:Gromov's_systolic_inequality_for_essential_manifolds dbr:Group_cohomology dbr:Covering_space dbr:Eilenberg–MacLane_space dbr:Dihedron dbr:Borel_conjecture dbr:Classification_theorem dbr:Real_projective_space dbr:Wolfgang_Franz_(mathematician) dbr:Massey_product dbr:Topological_manifold dbr:List_of_topologies dbr:Point_groups_in_three_dimensions dbr:Lens_spaces dbr:Seifert_fiber_space dbr:Spherical_3-manifold dbr:Stunted_projective_space |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Lens_space |
