Group cohomology (original) (raw)
Gruppenkohomologie (Gruppen-Kohomologie) ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand. Die Gruppenkohomologie von Galoisgruppen wird auch als Galoiskohomologie bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. In der Topologie spielt Gruppenkohomologie als Kohomologie von Eilenberg-MacLane-Räumen eine wichtige Rolle.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Gruppenkohomologie (Gruppen-Kohomologie) ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand. Die Gruppenkohomologie von Galoisgruppen wird auch als Galoiskohomologie bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. In der Topologie spielt Gruppenkohomologie als Kohomologie von Eilenberg-MacLane-Räumen eine wichtige Rolle. (de) In mathematics (more specifically, in homological algebra), group cohomology is a set of mathematical tools used to study groups using cohomology theory, a technique from algebraic topology. Analogous to group representations, group cohomology looks at the group actions of a group G in an associated G-module M to elucidate the properties of the group. By treating the G-module as a kind of topological space with elements of representing n-simplices, topological properties of the space may be computed, such as the set of cohomology groups . The cohomology groups in turn provide insight into the structure of the group G and G-module M themselves. Group cohomology plays a role in the investigation of fixed points of a group action in a module or space and the quotient module or space with respect to a group action. Group cohomology is used in the fields of abstract algebra, homological algebra, algebraic topology and algebraic number theory, as well as in applications to group theory proper. As in algebraic topology, there is a dual theory called . The techniques of group cohomology can also be extended to the case that instead of a G-module, G acts on a nonabelian G-group; in effect, a generalization of a module to non-Abelian coefficients. These algebraic ideas are closely related to topological ideas. The group cohomology of a discrete group G is the singular cohomology of a suitable space having G as its fundamental group, namely the corresponding Eilenberg–MacLane space. Thus, the group cohomology of can be thought of as the singular cohomology of the circle S1, and similarly for and A great deal is known about the cohomology of groups, including interpretations of low-dimensional cohomology, functoriality, and how to change groups. The subject of group cohomology began in the 1920s, matured in the late 1940s, and continues as an area of active research today. (en) En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe. Pour un groupe G, on note ℤ[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs ℤ. Soient alors M un ℤ[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et une résolution projective de M. Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par : De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par : où est une résolution injective de M. Un résultat standard d'algèbre homologique montre que ces constructions sont indépendantes des résolutions et choisies. (fr) 数学、とくにホモロジー代数学において、群のコホモロジー（英: group cohomology）とは代数的トポロジーに由来する技法であるコホモロジー論を使って群を研究するために使われる数学的な道具立てである。群の表現のように、群のコホモロジーは群 G の G 加群への作用をみることで、その群の性質を明らかにする。G 加群を Gn の元が n 単体を表す位相空間のように扱うことで、コホモロジー群 Hn(G, M) などの位相的な性質が計算できる。コホモロジー群は群 G や G 加群 M の構造に関する洞察を与える。群のコホモロジーは加群や空間への群作用の固定点や群作用に関する商加群や商空間を研究において一定の役割を果たす。群のコホモロジーは群論そのものへの応用はもちろん、抽象代数・ホモロジー代数・代数的トポロジー・代数的整数論などの分野でも用いられている。代数的トポロジーには、群のホモロジーと呼ばれる双対理論がある。 これらの代数的な概念は位相的な概念と密接に関連している。離散群 G の群のコホモロジーは G を基本群とする適当な空間——つまり対応する——の特異コホモロジーである。したがって Z のコホモロジーは円 S1 の特異コホモロジーと思うことができ、同様に Z/2Z のコホモロジーは P∞(R) の特異コホモロジーと思うことができる。 群のコホモロジーについては非常に多くのこと——低次コホモロジーの解釈・関手性・群の変更——が知られている。群のコホモロジーに関する主題は1920年代に始まり、1940年代後半に発達し、現在でも活発に研究が続いている。 (ja) 군론에서 군 코호몰로지(群cohomology, 영어: group cohomology)와 군 호몰로지(群homology, 영어: group homology)는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다. (ko) Когомологія груп — когомологічна теорія, що широко використовується у теорії груп і застосуваннях, зокрема у алгебричній теорії чисел і алгебричній топології. При цьому підході парі (G, A), де G — група, а A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем , зіставляється послідовність абелевих груп Hn(G, А), що називаються групами когомологій групи G з коефіцієнтами в А. Число n, що пробігає всі цілі невід'ємні значення, називається розмірністю групи Hn(G, А). Групи когомологій є важливими інваріантами, що містять інформацію як про групу G, так і про модулі A. (uk) 在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html https://groupprops.subwiki.org/wiki/Special:WhatLinksHere/Cohomology_group http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/%3FPID=GDZPPN002053403 http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml%3Fwshow=paper&jrnid=dan&paperid=50545&option_lang=eng http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml%3Fwshow=paper&jrnid=mp&paperid=308&option_lang=eng |
| dbo:wikiPageID | 248635 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 51240 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123765830 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Principal_ideal_domain dbr:Projective_representation dbr:Projective_resolution dbr:Projective_space dbr:Samuel_Eilenberg dbr:Saunders_Mac_Lane dbr:Elementary_abelian_group dbr:Module_(mathematics) dbr:N-group_(category_theory) dbr:Representation_theory dbr:Beno_Eckmann dbr:De_Rham_cohomology dbr:Algebraic_K-theory dbr:Algebraic_group dbr:Algebraic_topology dbr:John_Tate_(mathematician) dbr:Richard_Brauer dbr:Right_exact_functor dbr:Ring_of_integers dbr:Derived_functor dbr:Inflation-restriction_exact_sequence dbr:Lie_algebra_cohomology dbr:Quasi-isomorphism dbr:1-sphere dbc:Group_theory dbr:Maschke's_theorem dbr:Mathematics dbr:General_linear_group dbr:Quotient_group dbr:Quotient_module dbr:Classifying_space dbr:Claude_Chevalley dbc:Cohomology_theories dbr:Emmy_Noether dbr:Free_resolution dbr:Function_(mathematics) dbr:Galois_theory dbr:Generating_set_of_a_group dbr:Left_exact_functor dbr:Lie_algebra dbr:Long_exact_sequence dbr:Short_exact_sequence dbr:Simplex dbr:Commentarii_Mathematici_Helvetici dbr:Étale_cohomology dbr:Functor dbr:Fundamental_group dbr:Dokl._Akad._Nauk_SSSR dbr:Krull_dimension dbr:Theoretical_physics dbr:Wedge_sum dbr:Automorphism dbr:Topological_group dbr:Dmitry_Faddeev dbr:G-module dbr:Galois_cohomology dbr:Galois_extension dbr:Galois_group dbr:Coinvariant dbr:Covariant_functor dbr:Local_system dbr:Schur_multiplier dbr:Algebraic_number_theory dbr:Cyclic_group dbr:Extension_problem dbr:Exterior_algebra dbr:Field_(mathematics) dbr:Brauer_group dbr:Number_field dbr:Number_theory dbr:Otto_Hölder dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Hans_Freudenthal dbr:Hilbert's_Theorem_90 dbr:Lens_space dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Group_homomorphism dbr:Heinz_Hopf dbr:Henri_Cartan dbr:Issai_Schur dbr:Jean-Louis_Koszul dbr:BRST_quantization dbr:Tate_cohomology_group dbc:Homological_algebra dbr:Abelian_extension dbr:Abelian_group dbc:Algebraic_number_theory dbr:Abstract_algebra dbr:Eilenberg–MacLane_space dbr:Hom_functor dbr:Homological_algebra dbr:Homological_stability dbr:Homotopy_group dbr:Tor_functor dbr:Mapping_class_group dbr:Spontaneous_symmetry_breaking dbr:Class_field_theory dbr:Class_formation dbr:Contravariant_functor dbr:Group_extension dbr:Group_representation dbr:Group_ring dbr:Group_theory dbr:Factor_set dbr:Infinite_dihedral_group dbr:Injective_object dbr:Inner_automorphism dbr:Category_theory dbr:Real_projective_space dbr:Chain_complex dbr:Semi-direct_product dbr:Special_linear_group dbr:Symmetry-protected_topological_order dbr:Otto_Schreier dbr:Van_Kampen_theorem dbr:Simple_algebra dbr:Non-Abelian_group dbr:Ext_functor dbr:Lyndon–Hochschild–Serre_spectral_sequence dbr:Symmetric_group dbr:Plus_construction dbr:Pointed_set dbr:Exact_sequence dbr:Finite_group dbr:Sheaf_cohomology dbr:Serre_spectral_sequence dbr:Serre_fibration dbr:Morita_equivalent dbr:Hochschild–Serre_spectral_sequence dbr:Künneth_formula dbr:Submodule dbr:G-invariant dbr:Tate_cohomology dbr:Index_(group_theory) dbr:Amalgamated_product dbr:Connecting_homomorphism dbr:Left_derived_functor dbr:Singular_cohomology dbr:Cochain_complex dbr:Cohomology_theory dbr:Postnikov_tower dbr:Split_extension dbr:Mat._Pros.,_Ser._3 |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:About dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Efn dbt:Harv dbt:Notelist dbt:See_also dbt:Harvnb dbt:Weibel_IHA |
| dcterms:subject | dbc:Group_theory dbc:Cohomology_theories dbc:Homological_algebra dbc:Algebraic_number_theory |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatCohomologyTheories yago:Abstraction100002137 yago:Cognition100023271 yago:Explanation105793000 yago:HigherCognitiveProcess105770664 yago:Process105701363 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:Theory105989479 yago:Thinking105770926 |
| rdfs:comment | Gruppenkohomologie (Gruppen-Kohomologie) ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand. Die Gruppenkohomologie von Galoisgruppen wird auch als Galoiskohomologie bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. In der Topologie spielt Gruppenkohomologie als Kohomologie von Eilenberg-MacLane-Räumen eine wichtige Rolle. (de) 군론에서 군 코호몰로지(群cohomology, 영어: group cohomology)와 군 호몰로지(群homology, 영어: group homology)는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다. (ko) Когомологія груп — когомологічна теорія, що широко використовується у теорії груп і застосуваннях, зокрема у алгебричній теорії чисел і алгебричній топології. При цьому підході парі (G, A), де G — група, а A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем , зіставляється послідовність абелевих груп Hn(G, А), що називаються групами когомологій групи G з коефіцієнтами в А. Число n, що пробігає всі цілі невід'ємні значення, називається розмірністю групи Hn(G, А). Групи когомологій є важливими інваріантами, що містять інформацію як про групу G, так і про модулі A. (uk) 在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。 (zh) In mathematics (more specifically, in homological algebra), group cohomology is a set of mathematical tools used to study groups using cohomology theory, a technique from algebraic topology. Analogous to group representations, group cohomology looks at the group actions of a group G in an associated G-module M to elucidate the properties of the group. By treating the G-module as a kind of topological space with elements of representing n-simplices, topological properties of the space may be computed, such as the set of cohomology groups . The cohomology groups in turn provide insight into the structure of the group G and G-module M themselves. Group cohomology plays a role in the investigation of fixed points of a group action in a module or space and the quotient module or space with res (en) En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe. Pour un groupe G, on note ℤ[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs ℤ. Soient alors M un ℤ[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et une résolution projective de M. Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par : De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par : (fr) 数学、とくにホモロジー代数学において、群のコホモロジー（英: group cohomology）とは代数的トポロジーに由来する技法であるコホモロジー論を使って群を研究するために使われる数学的な道具立てである。群の表現のように、群のコホモロジーは群 G の G 加群への作用をみることで、その群の性質を明らかにする。G 加群を Gn の元が n 単体を表す位相空間のように扱うことで、コホモロジー群 Hn(G, M) などの位相的な性質が計算できる。コホモロジー群は群 G や G 加群 M の構造に関する洞察を与える。群のコホモロジーは加群や空間への群作用の固定点や群作用に関する商加群や商空間を研究において一定の役割を果たす。群のコホモロジーは群論そのものへの応用はもちろん、抽象代数・ホモロジー代数・代数的トポロジー・代数的整数論などの分野でも用いられている。代数的トポロジーには、群のホモロジーと呼ばれる双対理論がある。 これらの代数的な概念は位相的な概念と密接に関連している。離散群 G の群のコホモロジーは G を基本群とする適当な空間——つまり対応する——の特異コホモロジーである。したがって Z のコホモロジーは円 S1 の特異コホモロジーと思うことができ、同様に Z/2Z のコホモロジーは P∞(R) の特異コホモロジーと思うことができる。 (ja) |
| rdfs:label | Gruppenkohomologie (de) Homologie des groupes (fr) Group cohomology (en) 군 코호몰로지 (ko) 群のコホモロジー (ja) Когомологія груп (uk) 群上同調 (zh) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Nonabelian_cohomology |
| owl:sameAs | freebase:Group cohomology yago-res:Group cohomology wikidata:Group cohomology dbpedia-de:Group cohomology dbpedia-fr:Group cohomology dbpedia-ja:Group cohomology dbpedia-ko:Group cohomology dbpedia-uk:Group cohomology dbpedia-zh:Group cohomology https://global.dbpedia.org/id/QqFS |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Group_cohomology?oldid=1123765830&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Group_cohomology |
| is dbo:academicDiscipline of | dbr:Alejandro_Adem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Heinz_Hopf |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Group_homology dbr:Field_cohomology dbr:Crossed_homomorphism dbr:Cohomology_of_groups |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Projective_representation dbr:Saunders_Mac_Lane dbr:Schwarzian_derivative dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:List_of_cohomology_theories dbr:Principal_homogeneous_space dbr:Barratt–Priddy_theorem dbr:Braid_group dbr:Algebraic_number_field dbr:Hyperbolic_group dbr:John_Tate_(mathematician) dbr:Vertex_operator_algebra dbr:Derived_category dbr:Derived_functor dbr:Double_groupoid dbr:Inflation-restriction_exact_sequence dbr:L-theory dbr:Lie_groupoid dbr:List_of_group_theory_topics dbr:List_of_homological_algebra_topics dbr:Inflation_(disambiguation) dbr:Timeline_of_class_field_theory dbr:Ernst_Snapper dbr:Geometric_group_theory dbr:Non-abelian_class_field_theory dbr:Wirtinger_presentation dbr:Nonabelian_cohomology dbr:Classifying_space dbr:Claude_Chevalley dbr:Emil_Artin dbr:Galilean_transformation dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Theta_function dbr:Equivariant_cohomology dbr:Lie_algebra_extension dbr:Local_Fields dbr:Complex_torus dbr:Demushkin_group dbr:Étale_cohomology dbr:2-group dbr:Burt_Totaro dbr:Triangulated_category dbr:Wigner's_theorem dbr:G-module dbr:Galois_cohomology dbr:Galois_module dbr:Heisenberg_group dbr:Local_Euler_characteristic_formula dbr:Local_Tate_duality dbr:Local_rigidity dbr:Schur_multiplier dbr:3-manifold dbr:Duality_(mathematics) dbr:Factor_system dbr:Basic_Number_Theory dbr:Discrete_group dbr:Fox_derivative dbr:Golod–Shafarevich_theorem dbr:Hilbert's_Theorem_90 dbr:Kan-Thurston_theorem dbr:Postnikov_system dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_action dbr:Group_homology dbr:Heinz_Hopf dbr:Coxeter_group dbr:Tate_cohomology_group dbr:Augmentation_ideal dbr:Affine_representation dbr:Alejandro_Adem dbr:Cocycle dbr:Cohomological_dimension dbr:Cohomology dbr:Cohomology_of_algebras dbr:Eilenberg–Ganea_theorem dbr:Eilenberg–MacLane_space dbr:Herbrand_quotient dbr:Homological_stability dbr:Homotopy_Lie_algebra dbr:JLO_cocycle dbr:Tor_functor dbr:Transfer_(group_theory) dbr:Transgression_map dbr:Artin–Tits_group dbr:Automorphic_form dbr:Spectral_sequence dbr:Class_field_theory dbr:Group_extension dbr:Carry_(arithmetic) dbr:Selberg_trace_formula dbr:Serge_Lang dbr:Séminaire_Nicolas_Bourbaki_(1950–1959) dbr:Séminaire_Nicolas_Bourbaki_(1960–1969) dbr:Rose_(topology) dbr:Symmetry-protected_topological_order dbr:Ext_functor dbr:Lyndon–Hochschild–Serre_spectral_sequence dbr:Finiteness_properties_of_groups dbr:Five-term_exact_sequence dbr:Stable_module_category dbr:Roger_Lyndon dbr:Moment_map dbr:Weil_group dbr:Noncommutative_torus dbr:Weyl_group dbr:Shapiro's_lemma dbr:Virasoro_group dbr:Field_cohomology dbr:Crossed_homomorphism dbr:Cohomology_of_groups |
| is dbp:fields of | dbr:Alejandro_Adem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Heinz_Hopf |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Group_cohomology |