3-manifold (original) (raw)

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En , les 3-varietats són un camp que estudia varietats topològiques de tres dimensions. És a dir, espais de Hausdorff que són en l'espai euclidià . Se sap que les categories topològiques, diferenciables i PL són totes equivalents per al cas de 3-varietats, de manera que poca distinció es presta a quina categoria s'està usant. Aquesta part de la matemàtica té una estreta connexió amb altres camps d'estudi com les superfícies, les 4-varietat, la teoria de nusos, les , les teories de calibratge i les equacions en derivades parcials. Es diu també que la teoria de 3-varietats és part de la topologia geomètrica. Una idea clau per a estudiar aquests objectes és considerar superfícies en aquests. Això condueix a la idea de (incompressible surface) i la teoria de varietats de , en què un pot triar de tal manera que les peces complementàries siguin menys complexes, la qual cosa condueix a la noció de jerarquies o la descomposició mitjançant o també les anomenades descomposicions de Heegaard. (ca)
Als 3-Mannigfaltigkeit oder 3-dimensionale Mannigfaltigkeit werden in der Mathematik Räume bezeichnet, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum aussehen. (de)
In mathematics, a 3-manifold is a space that locally looks like Euclidean 3-dimensional space. A 3-manifold can be thought of as a possible shape of the universe. Just as a sphere looks like a plane to a small enough observer, all 3-manifolds look like our universe does to a small enough observer. This is made more precise in the definition below. (en)
En matematiko, 3-sternaĵo estas 3-dimensia sternaĵo. La kategorioj de topologieco, kaj estas ĉiuj ekvivalentaj en tri dimensioj, tiel malgranda distingo estas kutime farata inter topologiaj 3-sternaĵoj kaj glataj 3-sternaĵoj. 3-sternaĵa teorio estas konsiderata kiel parto de aŭ . Fenomenoj en tri dimensioj povas esti sufiĉe malsamaj de tiuj por aliaj dimensioj, kaj tiel estas specialigitaj manieroj, kiuj ne ĝeneraliĝas al dimensioj pli grandaj ol tri. Eble surprize, ĉi-tiu speciala rolo gvidis al malkovro de proksimaj ligoj al sternaĵoj de la aliaj terenoj – , , hiperbola geometrio, nombroteorio, , , . La ĉefa ideo estas studi 3-sternaĵojn per konsiderado de specialaj surfacoj enigitaj en ilin. Oni povas elekti la surfacon taŭge en la 3-sternaĵo, tiel ke ĝi estas . La de 3-sternaĵoj informdone montras la geometrian kaj topologian informon pri la 3-sternaĵo. (eo)
En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo . Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando. Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica. Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias sean menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas . (es)
En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, (en) ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes). Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures. Cette spécificité des 3-variétés a conduit à la découverte de leurs relations étroites avec de multiples domaines comme la théorie des nœuds, la théorie géométrique des groupes, la géométrie hyperbolique, la théorie des nombres, la théorie de Teichmüller, la théorie quantique des champs (en), les théories de jauge, l'homologie de Floer et les équations aux dérivées partielles. La théorie des 3-variétés fait partie de la topologie en basses dimensions, donc de la topologie géométrique. Une idée clé de cette théorie est d'étudier une 3-variété M en considérant des surfaces particulières plongées dans M. Choisir la surface « bien placée » dans la 3-variété mène à l'idée de (en) et à la théorie des (en) ; la choisir telle que les morceaux du complémentaire soient le plus « agréables » possible conduit aux (en), utiles même dans le cas non-Haken. Les 3-variétés possèdent souvent une structure additionnelle : l'une des huit géométries de Thurston (dont la plus courante est l'hyperbolique). L'utilisation combinée de cette géométrie et des surfaces plongées s'est révélée fructueuse. Le groupe fondamental d'une 3-variété donne beaucoup d'informations sur sa géométrie et sa topologie, d'où l'interaction entre théorie des groupes et méthodes topologiques. (fr)
In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een 3-variëteit een driedimensionale variëteit, dus een ruimte die er lokaal uitziet als de driedimensionale euclidische ruimte. De topologische, en gladde categorieën zijn alle equivalent in drie dimensies, zodat er meestal weinig onderscheid wordt gemaakt tussen bijvoorbeeld topologische 3-variëteiten en gladde 3-variëteiten. Verschijnselen in drie dimensies kunnen opvallend anders zijn dan verschijnselen in andere dimensies. Daarom zijn er speciale technieken die geen generalisatie hebben in hogere dimensies dan drie. Deze speciale rol heeft geleid tot de ontdekking van nauwe banden met een diversiteit aan andere gebieden, zoals knopentheorie, meetkundige groepentheorie, hyperbolische meetkunde, getaltheorie, , , ijktheorie, en partiële differentiaalvergelijkingen. De theorie van 3-variëteiten wordt beschouwd als een deel van laagdimensionale topologie of meetkundige topologie. Een basisgedachte van de theorie is om een 3-variëteit te bestuderen aan de hand van speciale oppervlakken die erin ingebed zijn. Men kan kiezen voor mooi geplaatste oppervlakken in de 3-variëteit, wat leidt tot het idee van onsamendrukbare oppervlakken en de theorie van Haken-variëteiten, of men kan de complementaire delen zo mooi mogelijk kiezen, wat leidt tot structuren zoals , die ook nuttig zijn in de niet-Haken gevallen.De bijdragen van William Thurston aan de theorie maken het in veel gevallen mogelijk de extra structuur die door een van de acht specifieke Thurston-meetkundes wordt gegeven te bestuderen. De meest voor de hand liggende meetkunde is de hyperbolische meetkunde. Het is in veel gevallen vruchtbaar gebleken een meetkunde in aanvulling op speciale oppervlakken te gebruiken. De fundamentaalgroepen van 3-variëteiten geven in sterke mate de meetkundige en topologische informatie weer die bij een 3-variëteit hoort. Er bestaat dus een wisselwerking tussen groepentheorie en topologische methoden. (nl)
In geometria, una 3-varietà è una varietà differenziabile di dimensione 3. Informalmente, si tratta di un "possibile universo": uno spazio con 3 dimensioni che è localmente simile allo spazio tridimensionale come è percepito dall'essere umano, la cui struttura globale può però essere molto differente e di difficile intuizione. Lo studio delle 3-varietà è un ramo importante della topologia della dimensione bassa. Ha forti connessioni con la teoria dei nodi e la geometria iperbolica. Gli strumenti usati nello studio delle 3-varietà sono molteplici: tra questi, il gruppo fondamentale (che cattura gran parte della struttura della varietà), lo studio delle superfici (in particolare le superfici incompressibili) e la geometria iperbolica. (it)
數學上，3-流形（英語：3-manifold）是三維流形。在三維情況，拓撲流形、流形、光滑流形三個範疇都等價，因此很少會著意提及3-流形是屬於哪一類。三維中的現象，不時會與其他維數中的現象有大出意外的差別，所以有不少極專門的技術處理三維情況，不能推廣至其他維數。3-流形的特殊性，使人發現3-流形和很多不同領域有緊密關係，比如紐結理論、、雙曲幾何、數論、拓撲量子場論、規範場論、、偏微分方程。3-流形理論是低維拓撲學的一部份，故此屬於幾何拓撲學。 3-流形理論的一個關鍵想法是考慮嵌入到流形內的特殊曲面。選擇嵌入「良好」的曲面，引出了和概念。選擇嵌入曲面使補集的各塊都「良好」，得出了比如的結構，即使在非哈肯情況也有用場。 3-流形常有一個額外的結構：威廉·瑟斯頓的八種標準幾何結構之一。（其中以雙曲幾何最為普遍。）使用這些幾何結構再加上特別曲面，常得到豐碩的成果。 3-流形的基本群包含3-流形不少的幾何和拓撲資料，因此群論和拓撲方法得以相輔相成。 (zh)

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Als 3-Mannigfaltigkeit oder 3-dimensionale Mannigfaltigkeit werden in der Mathematik Räume bezeichnet, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum aussehen. (de)
In mathematics, a 3-manifold is a space that locally looks like Euclidean 3-dimensional space. A 3-manifold can be thought of as a possible shape of the universe. Just as a sphere looks like a plane to a small enough observer, all 3-manifolds look like our universe does to a small enough observer. This is made more precise in the definition below. (en)
數學上，3-流形（英語：3-manifold）是三維流形。在三維情況，拓撲流形、流形、光滑流形三個範疇都等價，因此很少會著意提及3-流形是屬於哪一類。三維中的現象，不時會與其他維數中的現象有大出意外的差別，所以有不少極專門的技術處理三維情況，不能推廣至其他維數。3-流形的特殊性，使人發現3-流形和很多不同領域有緊密關係，比如紐結理論、、雙曲幾何、數論、拓撲量子場論、規範場論、、偏微分方程。3-流形理論是低維拓撲學的一部份，故此屬於幾何拓撲學。 3-流形理論的一個關鍵想法是考慮嵌入到流形內的特殊曲面。選擇嵌入「良好」的曲面，引出了和概念。選擇嵌入曲面使補集的各塊都「良好」，得出了比如的結構，即使在非哈肯情況也有用場。 3-流形常有一個額外的結構：威廉·瑟斯頓的八種標準幾何結構之一。（其中以雙曲幾何最為普遍。）使用這些幾何結構再加上特別曲面，常得到豐碩的成果。 3-流形的基本群包含3-流形不少的幾何和拓撲資料，因此群論和拓撲方法得以相輔相成。 (zh)
En , les 3-varietats són un camp que estudia varietats topològiques de tres dimensions. És a dir, espais de Hausdorff que són en l'espai euclidià . Se sap que les categories topològiques, diferenciables i PL són totes equivalents per al cas de 3-varietats, de manera que poca distinció es presta a quina categoria s'està usant. (ca)
En matematiko, 3-sternaĵo estas 3-dimensia sternaĵo. La kategorioj de topologieco, kaj estas ĉiuj ekvivalentaj en tri dimensioj, tiel malgranda distingo estas kutime farata inter topologiaj 3-sternaĵoj kaj glataj 3-sternaĵoj. 3-sternaĵa teorio estas konsiderata kiel parto de aŭ . La ĉefa ideo estas studi 3-sternaĵojn per konsiderado de specialaj surfacoj enigitaj en ilin. Oni povas elekti la surfacon taŭge en la 3-sternaĵo, tiel ke ĝi estas . La de 3-sternaĵoj informdone montras la geometrian kaj topologian informon pri la 3-sternaĵo. (eo)
En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo . Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando. (es)
En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, (en) ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes). Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures. Cette spécificité des 3-variétés a conduit à la découverte de leurs relations étroites avec de multiples domaines comme la théorie des nœuds, la théorie géométrique des groupes, la géométrie hyperbolique, la théorie des nombres, la théorie de Teichmüller, la théorie quantique des champs (en), les théories de jauge, l'homologie de Floer et les équations aux dérivées partielles. (fr)
In geometria, una 3-varietà è una varietà differenziabile di dimensione 3. Informalmente, si tratta di un "possibile universo": uno spazio con 3 dimensioni che è localmente simile allo spazio tridimensionale come è percepito dall'essere umano, la cui struttura globale può però essere molto differente e di difficile intuizione. (it)
In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een 3-variëteit een driedimensionale variëteit, dus een ruimte die er lokaal uitziet als de driedimensionale euclidische ruimte. De topologische, en gladde categorieën zijn alle equivalent in drie dimensies, zodat er meestal weinig onderscheid wordt gemaakt tussen bijvoorbeeld topologische 3-variëteiten en gladde 3-variëteiten. (nl)

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3-varietat (ca)
3-Mannigfaltigkeit (de)
3-manifold (en)
3-sternaĵo (eo)
3-variedad (es)
3-variété (fr)
3-varietà (it)
3-variëteit (nl)
Variedade tridimensional (pt)
3-流形 (zh)

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