Orthogonal functions (original) (raw)
数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions）とは互いに直交する関数列の事である。
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | V matematice o dvou funkcích a řekneme, že jsou ortogonální, pokud jsou splněny tyto podmínky * a patří do nějakého , což je vektorový prostor s bilineární formou * definičním oborem prostoru funkcí je nějaký interval * * existuje bilineání forma definovaná jako integrál součinu funkcí na tomto intervalu: * Ortogonální funkce mohou tvořit nekonečnou bázi prostoru funkcí s podobnými vlastnostmi jako má báze vektorů v konečněrozměrném prostoru. Výše uvedený integrál je konceptuálně ekvivalentem skalárního součinu vektorů; dva vektory jsou vzájemně nezávislé (ortogonální), pokud je jejich skalární součin nulový. Předpokládejme, že je posloupnost ortogonálních funkcí s nenulovými L2-normami . Pak posloupnost tvořená funkcemi s L2-normou jedna tvoří ortonormální posloupnost. Aby bylo možné definovat L2-normu, musí být integrál omezený, což vyžaduje, aby funkce byly . (cs) En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar es nulo. Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de que el conjunto de funciones haya sido dotado de estructura de espacio prehilbertiano. Una definición muy común de producto escalar entre funciones es: con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1). Véase también espacio de Hilbert para más detalles. Las soluciones de un problema de Sturm-Liouville, es decir, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde adecuadas pueden escribirse como una suma ponderada de funciones ortogonales (conocidas también como funciones propias). Así las soluciones del problema: Forman un espacio prehilbertiano bajo el producto escalar definido por (1). (es) In mathematics, orthogonal functions belong to a function space that is a vector space equipped with a bilinear form. When the function space has an interval as the domain, the bilinear form may be the integral of the product of functions over the interval: The functions and are orthogonal when this integral is zero, i.e. whenever . As with a basis of vectors in a finite-dimensional space, orthogonal functions can form an infinite basis for a function space. Conceptually, the above integral is the equivalent of a vector dot-product; two vectors are mutually independent (orthogonal) if their dot-product is zero. Suppose is a sequence of orthogonal functions of nonzero L2-norms . It follows that the sequence is of functions of L2-norm one, forming an orthonormal sequence. To have a defined L2-norm, the integral must be bounded, which restricts the functions to being square-integrable. (en) 数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions）とは互いに直交する関数列の事である。 (ja) Em matemática, duas funções e são chamadas de ortogonais se o seu produto interno é zero para f ≠ g. (pt) Две, в общем случае, комплекснозначные функции и , принадлежащие пространству Лебега , где — измеримое множество, называются ортогональными, если Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом функции и , если где — скалярное произведение векторов и — значений векторнозначных функций и в точке , — точка области , а — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных , скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных , : . Требование принадлежности функций пространству связано с тем, что при пространства не образуют гильбертова пространства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность. (ru) 在数学中，正交函数（orthogonal functions）所属的函数空间是有双线性形式的向量空间。当函数空间的定义域是一个区间，双线性形式可能是积分式： 函数与在这个积分值是0时正交，即 只要 。 如有限维空间中的向量基一样，正交函数可以形成函数空间的无限基。从概念上讲，上述积分等效于矢量点积； 如果两个向量的点积为零，则它们是相互独立的（正交的）。 设 是非零正交函数列。则数列是L2-范数的函数，形成了一个。一个有定义的L2-范数，积分必须有界，这限制了函数需要是平方可积函数。 (zh) |
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