Quadratic irrational number (original) (raw)
في الرياضيات، عدد غير كسري تربيعي (بالإنجليزية: Quadratic irrational number) هو عدد غير كسري، يكون حل لمعادلة تربيعية ما، معاملاتها أعداد نسبية.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في الرياضيات، عدد غير كسري تربيعي (بالإنجليزية: Quadratic irrational number) هو عدد غير كسري، يكون حل لمعادلة تربيعية ما، معاملاتها أعداد نسبية. (ar) In der Mathematik ist eine quadratisch irrationale Zahl (auch quadratische Irrationalzahl, engl. quadratic surds) eine irrationale algebraische Zahl, die sich als Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ergibt. Anhand der Lösungsformel der quadratischen Gleichung sieht man, dass jede quadratisch irrationale Zahl in der Form für drei ganze Zahlen , , dargestellt werden kann. Dabei ist keine Quadratzahl. Bei festem und variablen und ergeben sich Elemente eines quadratischen Zahlkörpers. Quadratisch irrationale Zahlen sind besonders in Bezug auf Kettenbrüche interessant, da sie, und nur sie, periodisch fortlaufende Kettenbruchentwicklungen haben. Beispiel: (de) Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel ℚ(√d), où d est un entier positif sans facteur carré. Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange). (fr) In mathematics, a quadratic irrational number (also known as a quadratic irrational, a quadratic irrationality or quadratic surd) is an irrational number that is the solution to some quadratic equation with rational coefficients which is irreducible over the rational numbers. Since fractions in the coefficients of a quadratic equation can be cleared by multiplying both sides by their least common denominator, a quadratic irrational is an irrational root of some quadratic equation with integer coefficients. The quadratic irrational numbers, a subset of the complex numbers, are algebraic numbers of degree 2, and can therefore be expressed as for integers a, b, c, d; with b, c and d non-zero, and with c square-free. When c is positive, we get real quadratic irrational numbers, while a negative c gives complex quadratic irrational numbers which are not real numbers. This defines an injection from the quadratic irrationals to quadruples of integers, so their cardinality is at most countable; since on the other hand every square root of a prime number is a distinct quadratic irrational, and there are countably many prime numbers, they are at least countable; hence the quadratic irrationals are a countable set. Quadratic irrationals are used in field theory to construct field extensions of the field of rational numbers Q. Given the square-free integer c, the augmentation of Q by quadratic irrationals using √c produces a quadratic field Q(√c). For example, the inverses of elements of Q(√c) are of the same form as the above algebraic numbers: Quadratic irrationals have useful properties, especially in relation to continued fractions, where we have the result that all real quadratic irrationals, and only real quadratic irrationals, have periodic continued fraction forms. For example The periodic continued fractions can be placed in one-to-one correspondence with the rational numbers. The correspondence is explicitly provided by Minkowski's question mark function, and an explicit construction is given in that article. It is entirely analogous to the correspondence between rational numbers and strings of binary digits that have an eventually-repeating tail, which is also provided by the question mark function. Such repeating sequences correspond to periodic orbits of the dyadic transformation (for the binary digits) and the Gauss map for continued fractions. (en) Na matemática, um número irracional quadrático é um número algébrico irracional, que é solução de uma equação quadrática com coeficientes racionais. Utilizando a fórmula de Bhaskara, observa-se que todo irracional quadrático pode ser representado na forma para três números inteiros . Aqui b não é um número quadrado. Para b fixo com a e c variáveis obtém-se elementos de um corpo quadrático. Números irracionais quadráticos são especialmente interessantes em relação a frações contínuas, pois eles, e somente eles, tem desenvolvimento em frações contínuas periodicamente contínuas. Exemplo: (pt) 數論上，二次無理數（quadratic irrational）是某些有理數係數的一元二次方程的根。若將所有係數乘以分母的最小公倍數，即可將係數轉換為整數。因此所有二次無理數都可以表示成 其中 為整數，是無平方數因數的數不為零。 若c為正數，所得的是實二次無理數，若c為負數，所得的是複二次無理數。二次無理數是可數集。 1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，若且唯若此數為實二次無理數。例如。 (zh) Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения с рациональными коэффициентами (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами ). В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений. Иррациональность числа означает, что оно не может быть представлено в виде рационального числа (дроби). Из этого следует, что многочлен неприводим в поле рациональных чисел то есть не распадается в этом поле на множители первой степени. (ru) Квадрати́чна ірраціона́льність — ірраціональне число, яке є дійсним коренем деякого квадратного рівняння з раціональними коефіцієнтами (або, що те саме, дійсним коренем многочлена 2-го степеня з раціональними коефіцієнтами ). У частині джерел під квадратичними ірраціональностями розуміють у загальному випадку комплексні корені зазначених рівнянь. Ірраціональність числа означає, що його не можна подати у вигляді раціонального числа (дробу). З цього випливає, що многочлен незвідний до поля раціональних чисел тобто не розпадається в цьому полі на множники першого степеня. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.numbertheory.org/php/surd.html https://web.archive.org/web/20050324110521/http:/planetmath.org/encyclopedia/EIsIrrational.html |
| dbo:wikiPageID | 305331 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 11455 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122156543 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Quadratic_equation dbr:Quadratic_field dbr:Quadratic_integer dbr:Determinant dbr:Algebraic_number_field dbr:Apotome_(mathematics) dbr:Richard_Dedekind dbr:Dyadic_transformation dbr:Multiplicative_inverse dbr:Complex_number dbr:Continued_fraction dbr:Contrapositive dbr:Countable_set dbr:Mathematics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Gauss–Kuzmin–Wirsing_operator dbr:Fundamental_theorem_of_arithmetic dbr:Minkowski's_question_mark_function dbr:Modular_arithmetic dbr:Equivalence_class dbr:Disquisitiones_Arithmeticae dbr:Countable dbr:Irrational_number dbr:Irreducible_polynomial dbr:Algebraic_number dbc:Number_theory dbr:Equivalence_relation dbr:Euclid dbr:Euclid's_Elements dbr:Euclid's_lemma dbr:Field_(mathematics) dbr:Cardinality dbr:Theodor_Estermann dbr:Mathematical_proof dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Prime_number dbr:Bijection dbr:Binary_quadratic_form dbr:Coefficient dbc:Quadratic_irrational_numbers dbr:Square-free_integer dbr:Square_number dbr:Square_root_of_2 dbr:Field_extension dbr:Field_theory_(mathematics) dbr:Injective_function dbr:Integer dbr:Natural_number dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Theodorus_of_Cyrene dbr:Periodic_continued_fraction dbr:Restricted_partial_quotients dbr:Subset dbr:Periodic_orbit dbr:Least_common_denominator |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Math dbt:Mathworld dbt:Radic dbt:Reflist dbt:Sqrt dbt:Algebraic_numbers |
| dct:subject | dbc:Number_theory dbc:Quadratic_irrational_numbers |
| rdfs:comment | في الرياضيات، عدد غير كسري تربيعي (بالإنجليزية: Quadratic irrational number) هو عدد غير كسري، يكون حل لمعادلة تربيعية ما، معاملاتها أعداد نسبية. (ar) Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel ℚ(√d), où d est un entier positif sans facteur carré. Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange). (fr) Na matemática, um número irracional quadrático é um número algébrico irracional, que é solução de uma equação quadrática com coeficientes racionais. Utilizando a fórmula de Bhaskara, observa-se que todo irracional quadrático pode ser representado na forma para três números inteiros . Aqui b não é um número quadrado. Para b fixo com a e c variáveis obtém-se elementos de um corpo quadrático. Números irracionais quadráticos são especialmente interessantes em relação a frações contínuas, pois eles, e somente eles, tem desenvolvimento em frações contínuas periodicamente contínuas. Exemplo: (pt) 數論上，二次無理數（quadratic irrational）是某些有理數係數的一元二次方程的根。若將所有係數乘以分母的最小公倍數，即可將係數轉換為整數。因此所有二次無理數都可以表示成 其中 為整數，是無平方數因數的數不為零。 若c為正數，所得的是實二次無理數，若c為負數，所得的是複二次無理數。二次無理數是可數集。 1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，若且唯若此數為實二次無理數。例如。 (zh) Квадрати́чна ірраціона́льність — ірраціональне число, яке є дійсним коренем деякого квадратного рівняння з раціональними коефіцієнтами (або, що те саме, дійсним коренем многочлена 2-го степеня з раціональними коефіцієнтами ). У частині джерел під квадратичними ірраціональностями розуміють у загальному випадку комплексні корені зазначених рівнянь. Ірраціональність числа означає, що його не можна подати у вигляді раціонального числа (дробу). З цього випливає, що многочлен незвідний до поля раціональних чисел тобто не розпадається в цьому полі на множники першого степеня. (uk) In der Mathematik ist eine quadratisch irrationale Zahl (auch quadratische Irrationalzahl, engl. quadratic surds) eine irrationale algebraische Zahl, die sich als Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ergibt. Anhand der Lösungsformel der quadratischen Gleichung sieht man, dass jede quadratisch irrationale Zahl in der Form für drei ganze Zahlen , , dargestellt werden kann. Dabei ist keine Quadratzahl. Bei festem und variablen und ergeben sich Elemente eines quadratischen Zahlkörpers. Beispiel: (de) In mathematics, a quadratic irrational number (also known as a quadratic irrational, a quadratic irrationality or quadratic surd) is an irrational number that is the solution to some quadratic equation with rational coefficients which is irreducible over the rational numbers. Since fractions in the coefficients of a quadratic equation can be cleared by multiplying both sides by their least common denominator, a quadratic irrational is an irrational root of some quadratic equation with integer coefficients. The quadratic irrational numbers, a subset of the complex numbers, are algebraic numbers of degree 2, and can therefore be expressed as (en) Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения с рациональными коэффициентами (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами ). В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений. (ru) |
| rdfs:label | عدد غير كسري تربيعي (ar) Quadratisch irrationale Zahl (de) Irrationnel quadratique (fr) Quadratic irrational number (en) Irracional quadrático (pt) Квадратичная иррациональность (ru) Квадратична ірраціональність (uk) 二次無理數 (zh) |
| owl:sameAs | yago-res:Quadratic irrational number wikidata:Quadratic irrational number dbpedia-ar:Quadratic irrational number dbpedia-de:Quadratic irrational number dbpedia-fa:Quadratic irrational number dbpedia-fr:Quadratic irrational number dbpedia-pt:Quadratic irrational number dbpedia-ru:Quadratic irrational number dbpedia-sl:Quadratic irrational number dbpedia-uk:Quadratic irrational number dbpedia-zh:Quadratic irrational number https://global.dbpedia.org/id/uvAu |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Quadratic_irrational_number?oldid=1122156543&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Quadratic_irrational_number |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Quadratic_irrational_numbers dbr:Quadratic_irrational dbr:Quadratic_Irrational_Number dbr:Quadratic_irrationalities dbr:Quadratic_irrationality dbr:Quadratic_surd |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quadratic_irrational_numbers dbr:Riemann_hypothesis dbr:Vinculum_(symbol) dbr:Continued_fraction dbr:Dense_order dbr:Liouville_number dbr:Algebraic_number dbr:Al-Mahani dbr:Markov_constant dbr:Square_root_of_2 dbr:Quadratic_irrational dbr:Quadratic_Irrational_Number dbr:Quadratic_irrationalities dbr:Quadratic_irrationality dbr:Quadratic_surd |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Quadratic_irrational_number |