Reciprocity law (original) (raw)
In mathematics, a reciprocity law is a generalization of the law of quadratic reciprocity to arbitrary monic irreducible polynomials with integer coefficients. Recall that first reciprocity law, quadratic reciprocity, determines when an irreducible polynomial splits into linear terms when reduced mod . That is, it determines for which prime numbers the relation holds. For a general reciprocity lawpg 3, it is defined as the rule determining which primes the polynomial splits into linear factors, denoted .
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, a reciprocity law is a generalization of the law of quadratic reciprocity to arbitrary monic irreducible polynomials with integer coefficients. Recall that first reciprocity law, quadratic reciprocity, determines when an irreducible polynomial splits into linear terms when reduced mod . That is, it determines for which prime numbers the relation holds. For a general reciprocity lawpg 3, it is defined as the rule determining which primes the polynomial splits into linear factors, denoted . There are several different ways to express reciprocity laws. The early reciprocity laws found in the 19th century were usually expressed in terms of a power residue symbol (p/q) generalizing the quadratic reciprocity symbol, that describes when a prime number is an nth power residue modulo another prime, and gave a relation between (p/q) and (q/p). Hilbert reformulated the reciprocity laws as saying that a product over p of Hilbert norm residue symbols (a,b/p), taking values in roots of unity, is equal to 1. Artin reformulated the reciprocity laws as a statement that the Artin symbol from ideals (or ideles) to elements of a Galois group is trivial on a certain subgroup. Several more recent generalizations express reciprocity laws using cohomology of groups or representations of adelic groups or algebraic K-groups, and their relationship with the original quadratic reciprocity law can be hard to see. (en) У математиці закон взаємності ― це узагальнення закону квадратичної взаємності на довільні нормовані незвідні поліноми з цілими коефіцієнтами. Нагадаємо, що перший закон взаємності, тобто квадратична взаємність, визначає, коли незвідний многочлен розкладається на лінійні члени при зведені за модулем . Він визначає для яких простих чисел виконується співвідношення: Загальний закон взаємності формулює правило при яких простих числах поліном розкладається на лінійні множники, що позначаються як . Існує декілька різних способів представлення законів взаємності. Ранні закони взаємності, знайдені в 19 столітті, зазвичай представлялися у термінах , що узагальнює символ Лежандра, який використовується для опису простих чисел, які є залишком -го степеня за модулем іншого простого числа, і визначає співвідношення між і . Гільберт переформулював закони взаємності, вказавши, що добуток над , які набувають значень серед коренів з одиниці, дорівнюють 1. Артін переформулював закони взаємності як твердження, що символ Артіна від ідеалів (або іделей) до елементів групи Галуа тривіальний на певній підгрупі. Декілька останніх узагальнень виражають закони взаємності, використовуючи когомологію груп або представлення адельних груп або алгебраїчних -груп, тому їх зв'язок з оригінальним квадратичним законом взаємності доволі важко побачити. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://books.google.com/books%3Fid=EwjpPeK6GpEC http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl%3FGDZPPN002115344 https://books.google.com/books%3Fid=_Q2h83Bm94cC https://books.google.com/books%3Fid=rtvuAAAAMAAJ https://www.ams.org/journals/bull/2016-53-01/S0273-0979-2015-01515-6/ http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/cont2.html |
| dbo:wikiPageID | 247622 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 10859 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123080335 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Norm_residue_symbol dbr:David_Hilbert dbr:Emil_Artin dbr:Gaussian_integer dbr:Modular_arithmetic dbr:Galois_group dbr:Langlands_program dbr:Power_residue_symbol dbr:Abelianization dbr:Hilbert's_ninth_problem dbr:Legendre_symbol dbr:Regular_prime dbr:Stanley's_reciprocity_theorem dbr:Prime_number dbc:Algebraic_number_theory dbr:Law_of_quadratic_reciprocity dbr:Eisenstein_integers dbr:Idele dbr:Springer-Verlag dbr:Artin_map dbr:Idele_class_group |
| dbp:first | S. A. (en) |
| dbp:id | r/r080090 (en) |
| dbp:last | Stepanov (en) |
| dbp:title | Reciprocity laws (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:For dbt:Further dbt:Main dbt:More_footnotes dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Eom |
| dcterms:subject | dbc:Algebraic_number_theory |
| gold:hypernym | dbr:Generalization |
| rdfs:comment | In mathematics, a reciprocity law is a generalization of the law of quadratic reciprocity to arbitrary monic irreducible polynomials with integer coefficients. Recall that first reciprocity law, quadratic reciprocity, determines when an irreducible polynomial splits into linear terms when reduced mod . That is, it determines for which prime numbers the relation holds. For a general reciprocity lawpg 3, it is defined as the rule determining which primes the polynomial splits into linear factors, denoted . (en) У математиці закон взаємності ― це узагальнення закону квадратичної взаємності на довільні нормовані незвідні поліноми з цілими коефіцієнтами. Нагадаємо, що перший закон взаємності, тобто квадратична взаємність, визначає, коли незвідний многочлен розкладається на лінійні члени при зведені за модулем . Він визначає для яких простих чисел виконується співвідношення: Загальний закон взаємності формулює правило при яких простих числах поліном розкладається на лінійні множники, що позначаються як . (uk) |
| rdfs:label | Reciprocity law (en) Закон взаємності (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Reciprocity law wikidata:Reciprocity law dbpedia-uk:Reciprocity law https://global.dbpedia.org/id/4tmrj |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Reciprocity_law?oldid=1123080335&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Reciprocity_law |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:List_of_reciprocity_laws dbr:Reciprocity_law_(mathematics) dbr:Reciprocity_laws dbr:Law_of_reciprocity |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Scholz's_reciprocity_law dbr:History_of_the_Theory_of_Numbers dbr:Gotthold_Eisenstein dbr:Reciprocity dbr:Ideal_number dbr:Adele_ring dbr:Langlands_program dbr:Power_residue_symbol dbr:Basic_Number_Theory dbr:Brauer_group dbr:Quadratic_reciprocity dbr:Helen_Popova_Alderson dbr:Eisenstein_reciprocity dbr:List_of_things_named_after_Charles_Hermite dbr:List_of_things_named_after_David_Hilbert dbr:List_of_unsolved_problems_in_mathematics dbr:Octic_reciprocity dbr:Yamamoto's_reciprocity_law dbr:Rational_reciprocity_law dbr:List_of_reciprocity_laws dbr:Reciprocity_law_(mathematics) dbr:Reciprocity_laws dbr:Law_of_reciprocity |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Reciprocity_law |