Artin reciprocity law (original) (raw)
The Artin reciprocity law, which was established by Emil Artin in a series of papers (1924; 1927; 1930), is a general theorem in number theory that forms a central part of global class field theory. The term "reciprocity law" refers to a long line of more concrete number theoretic statements which it generalized, from the quadratic reciprocity law and the reciprocity laws of Eisenstein and Kummer to Hilbert's product formula for the norm symbol. Artin's result provided a partial solution to Hilbert's ninth problem.
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| dbo:abstract | The Artin reciprocity law, which was established by Emil Artin in a series of papers (1924; 1927; 1930), is a general theorem in number theory that forms a central part of global class field theory. The term "reciprocity law" refers to a long line of more concrete number theoretic statements which it generalized, from the quadratic reciprocity law and the reciprocity laws of Eisenstein and Kummer to Hilbert's product formula for the norm symbol. Artin's result provided a partial solution to Hilbert's ninth problem. (en) Das Artinsche Reziprozitätsgesetz (nach Emil Artin) umfasste historisch gesehen alle schon vorher bekannten Reziprozitätsgesetze wie das quadratische Reziprozitätsgesetz. Es besagt, dass ein Quotient einer verallgemeinerten Idealklassengruppe einer abelschen Körpererweiterung isomorph zur Galoisgruppe dieser Erweiterung ist. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz ist ein wesentlicher Schritt auf dem Weg zur Lösung des neunten Hilbertschen Problems und wird wegen seiner Bedeutung auch Hauptsatz der Klassenkörpertheorie genannt. Genauer kann man es wie folgt formulieren: Dabei ist die Menge der zu dem teilerfremden Ideale von , die Gruppe der Normen von gebrochenen Idealen in teilerfremd zu und die Untergruppe von (Gruppe der gebrochenen Hauptideale), die aus den gebrochenen Hauptidealen besteht mit , wobei eine Untergruppe der Einheitengruppe ist. Der Erklärungsmodul muss dabei durch alle verzweigten Primideale teilbar sein. Adeletheoretisch kann man es so formulieren: (de) La Ley de reciprocidad de Artin, establecida por Emil Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930), es un teorema general en teoría de números que es parte central de la teoría de cuerpos de clases. El término "ley de reciprocidad" se refiere al conjunto de enunciados en teoría de números que ha generalizado, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para los . Los hallazgos de Artin dan una solución parcial al noveno problema de Hilbert. (es) En mathématiques, la loi de réciprocité d'Artin est un résultat important de théorie des nombres établi par Emil Artin dans une série d'articles publiés entre 1924 et 1930. Au cœur de la théorie du corps de classe, la réciprocité d'Artin tire son nom d'une parenté avec la réciprocité quadratique introduite par Gauss, et d'autres lois d'expression similaire, la , de , ou de Hilbert. Une des motivations initiales derrière ce résultat était le neuvième problème de Hilbert, auquel la réciprocité d'Artin apporte une réponse partielle. Aujourd'hui la réciprocité d'Artin est plutôt perçue comme l'un des points de départ conceptuels du programme de Langlands. Concrètement, la loi de réciprocité d'Artin donne un isomorphisme de l'abélianisé du groupe de Galois d'un corps global. Associé au théorème de Takagi, il permet donc de décrire les extensions abéliennes du corps considéré à partir de l'arithmétique dans ce corps. Le théorème de densité de Čebotarev, et le caractère méromorphe des L-fonctions d'Artin sont des conséquences de la réciprocité d'Artin. (fr) 유체론에서 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, 영어: Artin reciprocity law)은 이차 상호 법칙을 대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다. (ko) アルティンの相互法則またはアルティン相互律（アルティンそうごりつ、英: Artin reciprocity law）は、一連の論文Emil Artin を出版することで確立された、大域類体論の中心的部分を形作る数論の一般的定理である。「相互法則」という用語は、平方剰余の相互法則やゴットホルト・アイゼンシュタインやエルンスト・クンマーから、ダフィット・ヒルベルトのの積公式へ至る法則を一般化し、より具体的な数論の命題とした法則である。アルティンの結果は、への部分的解答となっている。 (ja) |
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