Spectral method (original) (raw)
Los métodos espectrales son una clase de técnicas utilizadas en las matemáticas aplicadas y la computación científica para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. Generalmente implican el uso de la transformada de Fourier. La idea básica es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas "funciones de base" (por ejemplo, como una serie de Fourier que es una suma de exponenciales complejas) y luego elegir los coeficientes de la suma con el fin de satisfacer la solución de la ecuación de la mejor manera posible.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der numerischen Mathematik ist die Spektralmethode ein Verfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, wie den Navier-Stokes Gleichungen, mittels globaler Ansatzfunktionen. Ansatzfunktionen können z. B. Fourierreihen oder Tschebyscheff-Polynome sein. Im Laufe eines numerischen Lösungsverfahrens wird die physikalische Repräsentation eines Problems in den Spektralbereich transformiert. Die Unbekannten sind dann nicht mehr physikalische Größen, wie ein diskreter Geschwindigkeits- oder Temperaturverlauf, sondern die Spektralkoeffizienten der globalen Ansatzfunktion. Daher die Bezeichnung Spektralmethode als übergeordneter Begriff. Besonders bieten sich hier orthogonale Funktionen z. B. Orthogonale Polynome an. Denn diese haben die Eigenschaft sich nicht gegeneinander zu beeinflussen. Dadurch ist bei jedem neuen Polynom sichergestellt, sich der Lösung besser annähern zu können, ohne das erreichte zu verschlechtern.Als effizientes Verfahren zur Hin- und Rücktransformation bietet sich die schnelle Fouriertransformation (FFT) an. Auch Koeffizienten von Tschebyscheff-Polynomen können hiermit bestimmt werden, sofern als Stützstellen die Gauß-Lobatto-Punkte verwendet werden, da sich dann die Transformation auf die Realteile einer Fouriertransformation beschränkt. Günstige Konvergenzeigenschaften zeigen diese Verfahren bei Aufgaben, deren Lösungen ein hohes Maß an Glattheit besitzen. Darüber hinaus sollte die Ansatzfunktion dem physikalischen Problem angepasst sein. Bei periodischen Randbedingungen bieten sich Fourierreihen an. Bei festen, nicht periodischen Werten an den Rändern des Lösungsgebietes sollten Ansatzfunktionen verwendet werden, die diese Verläufe auch natürlicherweise wiedergeben können. Wenn darüber hinaus auch eine feinere Diskretisierung an den Rändern erforderlich ist, sind hier Tschebyscheff-Polynome von Vorteil (siehe Gauß-Lobatto-Punkte). Werden jedoch stattdessen Fourierreihen eingesetzt, so ist mit gibbsschen Schwingungen zu rechnen. Außerdem wird das äquidistante Gitter einer Fourierapproximation durch eine FFT der feineren Auflösung an den Rändern nicht gerecht. Ein typischer Fall, in der beide Approximationen Verwendung finden ist die dreidimensionale ebene Kanalströmung. Aufgrund der hohen Gradienten in Wandnähe und des eindeutig nicht-periodischen Verhaltens an der Wand, werden in Wandnormalen-Richtung Tschebyscheff-Polynome eingesetzt. In Hauptströmungs- und Spannweitenrichtung sind jedoch periodische Randbedingungen gefordert, um einen unendlich ausgedehnten ebenen Kanal numerisch zu modellieren. Nachteilig ist, dass die Spektralmethode zu linearen Gleichungssystemen mit vollbesetzten und unsymmetrischen Matrizen führen kann. Zur Lösung sind dann iterative Verfahren erforderlich. Das Mehrgitterverfahren hat sich hier bewährt.Es gibt jedoch Verfahren, bei denen eine geschickte Umsortierung zu einer Matrix mit Bandstruktur führt. Hier ist eine LU-Zerlegung von Vorteil.Techniken zur (engl. domain decomposition) sind ebenfalls von Interesse. (de) Los métodos espectrales son una clase de técnicas utilizadas en las matemáticas aplicadas y la computación científica para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. Generalmente implican el uso de la transformada de Fourier. La idea básica es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas "funciones de base" (por ejemplo, como una serie de Fourier que es una suma de exponenciales complejas) y luego elegir los coeficientes de la suma con el fin de satisfacer la solución de la ecuación de la mejor manera posible. (es) Spectral methods are a class of techniques used in applied mathematics and scientific computing to numerically solve certain differential equations. The idea is to write the solution of the differential equation as a sum of certain "basis functions" (for example, as a Fourier series which is a sum of sinusoids) and then to choose the coefficients in the sum in order to satisfy the differential equation as well as possible. Spectral methods and finite element methods are closely related and built on the same ideas; the main difference between them is that spectral methods use basis functions that are generally nonzero over the whole domain, while finite element methods use basis functions that are nonzero only on small subdomains (compact support). Consequently, spectral methods connect variables globally while finite elements do so locally. Partially for this reason, spectral methods have excellent error properties, with the so-called "exponential convergence" being the fastest possible, when the solution is smooth. However, there are no known three-dimensional single domain spectral shock capturing results (shock waves are not smooth). In the finite element community, a method where the degree of the elements is very high or increases as the grid parameter h increases is sometimes called a spectral element method. Spectral methods can be used to solve differential equations (PDEs, ODEs, eigenvalue, etc) and optimization problems. When applying spectral methods to time-dependent PDEs, the solution is typically written as a sum of basis functions with time-dependent coefficients; substituting this in the PDE yields a system of ODEs in the coefficients which can be solved using any numerical method for ODEs. Eigenvalue problems for ODEs are similarly converted to matrix eigenvalue problems. Spectral methods were developed in a long series of papers by Steven Orszag starting in 1969 including, but not limited to, Fourier series methods for periodic geometry problems, polynomial spectral methods for finite and unbounded geometry problems, pseudospectral methods for highly nonlinear problems, and spectral iteration methods for fast solution of steady-state problems. The implementation of the spectral method is normally accomplished either with collocation or a Galerkin or a approach . For very small problems, the spectral method is unique that solutions may be written out symbolically, yielding a practical alternative to series solutions for differential equations. Spectral methods can be computationally less expensive and easier to implement than finite element methods; they shine best when high accuracy is sought in simple domains with smooth solutions. However, because of their global nature, the matrices associated with step computation are dense and computational efficiency will quickly suffer when there are many degrees of freedom (with some exceptions, for example if matrix applications can be written as Fourier transforms). For larger problems and nonsmooth solutions, finite elements will generally work better due to sparse matrices and better modelling of discontinuities and sharp bends. (en) スペクトル法は、主に高速フーリエ変換を用いた微分方程式の数値解法の総称であり、応用数学や科学計算で使用されている。 微分方程式の解をある「基底関数」の和によって近似し、方程式を充足する和の係数を求める。基底関数の選び方としては、例えば正弦波を用いる方法があり、この場合の解の近似表現はフーリエ級数になる。 スペクトル法は有限要素法と密接に関連しており、基本的にはどちらも同じアイデアに基づいている。これらの主な違いは、近似に用いる基底関数の定義域にある。スペクトル法は近似対象とする関数の定義域全体に渡って非零になるような基底関数を使用するため全体をカバーできるのに対し、有限要素法はある点の近傍など限られた範囲にのみ基底関数を用い、残りはゼロであると仮定する。こうした理由から、スペクトル法と有限要素法はそれぞれ、大域的アプローチ、局所的アプローチと呼ばれ区別される。 大域的アプローチの性質から、スペクトル法は解が滑らかな関数である場合に誤差が指数関数に従い収束するという特性（「指数収束」）を持ち、有限要素法よりも遥かに高速に収束することが知られている。 ただし、指数収束は解が滑らかでない場合には保証されないため、たとえば単連結な三次元定義域におけるといった課題に対しては一般に成立しない。これはインパルス波の微分不可能性に起因する。なお、有限要素法の分野でも、要素の次数がグリッド幅hと反比例して大きくなるような手法を「」と呼ぶことがあるが、これはスペクトル法とは厳密には異なる手法である。（「#スペクトル要素法との関係」で後述） スペクトル法を使用すると、 常微分方程式 （ODE）や偏微分方程式 （PDE）などの微分方程式を含む固有値問題を解くことができる。 時間依存のPDEにスペクトル法を適用した場合、解は時間依存の係数を持つ基底関数の合計として記述される。これをPDEに代入すると、ODEの任意の数値法を使用して解くことができる係数のODEシステムが生成される。 ODEの固有値問題も同様に行列固有値問題に変換される 。 スペクトル法は、1969年より数学者のによって出版された複数編に渡る論文により確立されたものであるが、一連の論文は今日で多く実装されている周期幾何問題を対象にしたフーリエ級数を用いたもの以外にも、以下のような手法を含んでいる。 * 有限幾何・非有界幾何のための多項式スペクトル法 * 高次非線形問題のための擬球スペクトル法 * 定常問題の高速解法のためのスペクトル反復法 これらのスペクトル法は、通常、選点法や、およびのいずれかを用いることで実装される。 スペクトル法は有限要素法よりも計算コストが低くなるが、複素幾何や不連続係数の問題では精度が低下する。 この誤差の増加は、 ギブス現象によるものである。 (ja) Спектральные методы — это класс используемых в прикладной математике методик для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, иногда использующих Быстрое преобразование Фурье. Идея заключается в представлении решения дифференциальных уравнений как суммы некоторых «базисных функций» (например, как ряды Фурье являются суммой синусоид) с последующим выбором коэффициентов в сумме, наиболее удовлетворяющих заданным уравнениям. Спектральные методы и методы конечных элементов тесно связаны и построены на одних и тех же идеях. Основное отличие заключается в том, что спектральные методы используют базисные функции, ненулевые во всей области определения, в то время как методы конечных элементов используют базисные функции, которые не равны нулю только в малых подобластях. Другими словами, спектральные методы предпринимают глобальный подход, в то время как методы конечных элементов используют локальный подход. Отчасти по этой причине спектральные методы имеют превосходные свойства так называемой «экспоненциальной сходимости», которая наиболее быстрая из возможных, если решение является гладким. Однако не известно трёхмерного однообластного спектрального (ударная волна не гладкая). Метод конечных элементов, в котором степень элементов очень высока или возрастает при уменьшении параметра решётки h, иногда называется методом спектрального элемента. Спектральные методы могут быть использованы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных и задач нахождения собственных значений, вовлекающих дифференциальные уравнения. Когда спектральные методы применяются к зависимым от времени дифференциальным уравнениям в частных производных, решение обычно записывается как сумма базисных функций с зависящими от времени коэффициентами. Подстановка такой суммы в дифференциальное уравнение в частных производных даёт систему обыкновенных дифференциальных уравнений от коэффициентов, которая может быть решена с помощью любого.. Задача нахождения собственных значений для обыкновенных дифференциальных уравнений аналогичным образом сводится к задаче нахождения собственных значений матрицы. Спектральные методы были разработаны в серии статей Стивеном Орсага. Начиная с 1969 года они были разработаны для методов Фурье для периодических геометрических задач, полиномиальных спектральных методов для конечных и неограниченных геометрических задач, псевдоспектральных методов для сильно нелинейных задач, спектральных итерационных методов для решения задач стационарного состояния и других задач. Реализация спектрального метода обычно завершается или методом Галёркина, или Тау-подходом[прояснить]. Спектральные методы вычислительно менее затратны, чем методы конечных элементов, но становятся менее точными для задач со сложными геометриями и прерывистыми коэффициентами. Это увеличение ошибки является следствием. (ru) Спектральні методи являють собою клас методів, використовуваних у прикладній математиці і наукових обчисленнях для чисельного розв'язку деяких диференціальних рівнянь, пов'язаних з використанням швидкого перетворення Фур'є. Ідея полягає в тому, щоб записати розв'язок диференціального рівняння у вигляді суми деяких «базисних функцій» (наприклад, ряд Фур'є являє собою ряд синусоїд) і потім підібрати коефіцієнти ряду таким чином, щоб якнайкраще задовольнити диференціальне рівняння. Спектральні методи і метод скінченних елементів тісно взаємопов'язані й побудовані на тій же ідеї. Основна відмінність між ними полягає в тому, що у спектральних методах застосовують базисні функції, які відмінні від нуля на всій області, у той час як у методі скінченних елементів застосовують базисні функції, які відмінні від нуля лише на малих підобластях. Іншими словами, спектральні методи застосовують глобальний підхід, у той час як метод скінченних елементів застосовує локальний підхід. Частково з цієї причини, спектральні методи мають відмінні властивості похибки, з максимально можливою так званою «експоненційною збіжністю», коли рішення є гладкою функцією. Однак, невідомі результати тривимірного захоплення однодоменного спектрального удару (бо ударні хвилі не гладкі). У сімействі методів скінчених елементів, методи, в яких ступінь елементів дуже високий або зростає, коли крок сітки (h) наближається до нуля, іноді називають методами спектральних елементів. Спектральні методи можуть бути застосовані для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР), диференціальних рівнянь у частинних похідних (РЧП) та пошуку власних функцій у задачах, пов'язаних із диференціальними рівняннями. При застосуванні спектральних методів до рівнянь у частинних похідних, розв'язок зазвичай записують у вигляді суми базисних функцій із залежними від часу коефіцієнтами; підстановка такого виразу дає систему звичайних диференціальних рівнянь, коефіцієнти якої можна знайти за допомогою будь-якого чисельного методу для ЗДР. Задачі на власні значення для ЗДР аналогічним чином перетворюються на задачі пошуку власних векторів матриці[джерело?]. Спектральні методи були розроблені у серії робіт Стівена Орзага починаючи з 1969 року, включаючи (але не обмежуючись ними) методи рядів Фур'є для задач періодичної геометрії, поліноміальні спектральні методи для обмежених і необмежених задач геометрії, псевдоспектральні методи для суттєво нелінійних задач, а також спектральні ітераційні методи для швидкого розв'язку стаціонарної задачі. Реалізація спектральних методів зазвичай завершується методами колокації, Гальоркіна або Тау підходу[прояснити][джерело?]. Спектральні методи потребують значно менше витрат, ніж метод скінченних елементів, але стають менш точними для задач зі складною геометрією й розривними коефіцієнтами[джерело?]. Це збільшення похибки є наслідком . (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://epubs.siam.org/sam-bin/dbq/article/35198 http://cdm.unimo.it/home/matematica/funaro.daniele/bube.htm http://www-personal.umich.edu/~jpboyd/BOOK_Spectral2000.html http://apps.nrbook.com/empanel/index.html%23pg=1083 |
| dbo:wikiPageID | 243110 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 13600 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1107232444 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Calculus dbr:M._Yousuff_Hussaini dbr:Basis_function dbr:Applied_mathematics dbr:Viscosity dbr:Pseudo-spectral_method dbr:Compact_support dbr:Convolution dbr:Elliptic_boundary_value_problem dbr:Gaussian_grid dbr:Orthogonality dbr:Shock_capturing dbr:Smooth_function dbr:Steven_Orszag dbr:Collocation_method dbr:Galerkin_method dbc:Numerical_analysis dbr:Fourier_series dbr:Fourier_transform dbr:Numerical_methods_for_ordinary_differential_equations dbr:Differential_equation dbr:Fast_Fourier_transform dbc:Numerical_differential_equations dbr:Differential_equations dbr:Burgers'_equation dbr:Scientific_computing dbr:Inner_product_space dbr:Integration_by_parts dbr:Kronecker_delta dbr:Optimization_problem dbr:Sine_wave dbr:Finite_element_method dbr:Spectral_element_method dbr:Runge_Kutta dbr:Poisson_equation dbr:Tau_method |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:ISBN dbt:More_footnotes dbt:NumBlk dbt:Reflist dbt:EquationRef dbt:EquationNote dbt:Functional_analysis dbt:Numerical_PDE dbt:SpectralTheory |
| dcterms:subject | dbc:Numerical_analysis dbc:Numerical_differential_equations |
| gold:hypernym | dbr:Techniques |
| rdf:type | yago:WikicatNumericalDifferentialEquations yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:DifferentialEquation106670521 yago:Equation106669864 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 dbo:Weapon yago:Statement106722453 |
| rdfs:comment | Los métodos espectrales son una clase de técnicas utilizadas en las matemáticas aplicadas y la computación científica para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. Generalmente implican el uso de la transformada de Fourier. La idea básica es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas "funciones de base" (por ejemplo, como una serie de Fourier que es una suma de exponenciales complejas) y luego elegir los coeficientes de la suma con el fin de satisfacer la solución de la ecuación de la mejor manera posible. (es) In der numerischen Mathematik ist die Spektralmethode ein Verfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, wie den Navier-Stokes Gleichungen, mittels globaler Ansatzfunktionen. Ansatzfunktionen können z. B. Fourierreihen oder Tschebyscheff-Polynome sein. Im Laufe eines numerischen Lösungsverfahrens wird die physikalische Repräsentation eines Problems in den Spektralbereich transformiert. Die Unbekannten sind dann nicht mehr physikalische Größen, wie ein diskreter Geschwindigkeits- oder Temperaturverlauf, sondern die Spektralkoeffizienten der globalen Ansatzfunktion. Daher die Bezeichnung Spektralmethode als übergeordneter Begriff. Besonders bieten sich hier orthogonale Funktionen z. B. Orthogonale Polynome an. Denn diese haben die Eigenschaft sich nicht gegeneinander zu beeinfl (de) Spectral methods are a class of techniques used in applied mathematics and scientific computing to numerically solve certain differential equations. The idea is to write the solution of the differential equation as a sum of certain "basis functions" (for example, as a Fourier series which is a sum of sinusoids) and then to choose the coefficients in the sum in order to satisfy the differential equation as well as possible. (en) スペクトル法は、主に高速フーリエ変換を用いた微分方程式の数値解法の総称であり、応用数学や科学計算で使用されている。 微分方程式の解をある「基底関数」の和によって近似し、方程式を充足する和の係数を求める。基底関数の選び方としては、例えば正弦波を用いる方法があり、この場合の解の近似表現はフーリエ級数になる。 スペクトル法は有限要素法と密接に関連しており、基本的にはどちらも同じアイデアに基づいている。これらの主な違いは、近似に用いる基底関数の定義域にある。スペクトル法は近似対象とする関数の定義域全体に渡って非零になるような基底関数を使用するため全体をカバーできるのに対し、有限要素法はある点の近傍など限られた範囲にのみ基底関数を用い、残りはゼロであると仮定する。こうした理由から、スペクトル法と有限要素法はそれぞれ、大域的アプローチ、局所的アプローチと呼ばれ区別される。 スペクトル法を使用すると、 常微分方程式 （ODE）や偏微分方程式 （PDE）などの微分方程式を含む固有値問題を解くことができる。 時間依存のPDEにスペクトル法を適用した場合、解は時間依存の係数を持つ基底関数の合計として記述される。これをPDEに代入すると、ODEの任意の数値法を使用して解くことができる係数のODEシステムが生成される。 ODEの固有値問題も同様に行列固有値問題に変換される 。 (ja) Спектральные методы — это класс используемых в прикладной математике методик для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, иногда использующих Быстрое преобразование Фурье. Идея заключается в представлении решения дифференциальных уравнений как суммы некоторых «базисных функций» (например, как ряды Фурье являются суммой синусоид) с последующим выбором коэффициентов в сумме, наиболее удовлетворяющих заданным уравнениям. (ru) Спектральні методи являють собою клас методів, використовуваних у прикладній математиці і наукових обчисленнях для чисельного розв'язку деяких диференціальних рівнянь, пов'язаних з використанням швидкого перетворення Фур'є. Ідея полягає в тому, щоб записати розв'язок диференціального рівняння у вигляді суми деяких «базисних функцій» (наприклад, ряд Фур'є являє собою ряд синусоїд) і потім підібрати коефіцієнти ряду таким чином, щоб якнайкраще задовольнити диференціальне рівняння. (uk) |
| rdfs:label | Spektralmethode (de) Métodos espectrales (es) スペクトル法 (ja) Spectral method (en) Спектральный метод (ru) Спектральний метод (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Spectral method wikidata:Spectral method dbpedia-de:Spectral method dbpedia-es:Spectral method dbpedia-fa:Spectral method dbpedia-ja:Spectral method dbpedia-ru:Spectral method dbpedia-uk:Spectral method https://global.dbpedia.org/id/2BQwY yago-res:Spectral method |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Spectral_method?oldid=1107232444&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Spectral_method |
| is dbo:knownFor of | dbr:Steven_Orszag |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Spectral_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Chebyshev_spectral_method dbr:Spectral_methods |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quantum_harmonic_oscillator dbr:Numerical_weather_prediction dbr:M._Yousuff_Hussaini dbr:Cyclic_reduction dbr:Integrated_Forecast_System dbr:List_of_harmonic_analysis_topics dbr:List_of_mathematics-based_methods dbr:List_of_numerical_analysis_topics dbr:List_of_partial_differential_equation_topics dbr:Numerical_modeling_(geology) dbr:Pseudo-spectral_method dbr:Elliptic_boundary_value_problem dbr:Gaussian_grid dbr:General_circulation_model dbr:Geodesic_grid dbr:Mixture_model dbr:Multidimensional_transform dbr:André_Robert dbr:Steven_Orszag dbr:Particle-in-cell dbr:Spectral_(disambiguation) dbr:GYRO dbr:Dynamo_theory dbr:Discrete_sine_transform dbr:Fractional_Chebyshev_collocation_method dbr:Global_Forecast_System dbr:History_of_numerical_weather_prediction dbr:Weather_forecasting dbr:Atmospheric_model dbr:Jean-François_Molinari dbr:Hyperparameter_optimization dbr:Chebyshev_polynomials dbr:Chi-Wang_Shu dbr:Kathleen_Lonsdale dbr:Hierarchical_matrix dbr:Discrete_Fourier_transform dbr:Discrete_cosine_transform dbr:Gross–Pitaevskii_equation dbr:Michael_Ghil dbr:Unified_Model dbr:ICPRAM dbr:Finite_element_method dbr:Nonlinear_Schrödinger_equation dbr:Spectral_element_method dbr:Chebyshev_spectral_method dbr:Spectral_methods |
| is dbp:knownFor of | dbr:Steven_Orszag |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Spectral_method |