Inner product space (original) (raw)
Vektorový prostor V nazýváme unitární (nebo prehilbertovský) metrický prostor, jestliže každé dvojici je (jednoznačně) přiřazeno (obecně komplexní) číslo , které nazýváme skalárním součinem prvků u a v a splňuje axiomy skalárního součinu. Norma prvku je určena vztahem a vzdálenost dvou prvků je definována vztahem Úplný unitární prostor se nazývá Hilbertův. Reálný unitární prostor bývá také označován jako prostor se skalárním součinem. Prostory se skalárním součinem, které mají konečnou dimenzi, bývají označovány jako euklidovské prostory.
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|---|---|
| dbo:abstract | في الجبر الخطي، فضاء الجداء الداخلي هو فضاء إتجاهي له بنية إضافية هي الجداء الداخلي، تعطي كل زوج من المتجهات في الفضاء قيمة سلمية تعرف باسم الجداء الداخلي للمتجهات. يعطي الجداء الداخلي معلومات عن خصائص هندسية مثل طول المتجهة، أو الزاوية بين متجهتين. كما يعطي وسيلة من أجل تعريف التعامد بين المتجهات وذلك عندما تكون قيمة الجداء الداخلي تساوي الصفر. فضاءات الجداء الداخلي تعمم للفضاءات الإقليدية (حيث الجداء الداخلي هو الجداء القياسي) إلى الفضاءات الاتجاهية ذات أبعاد معينة (قد تصل إلى عدد لا نهائي)، وهي تدرس في التحليل الدالي. أحياناً يطلق على فضاء الجداء الداخلي اسم مـُـسـْـبـَـق فضاء هلبرت (بالإنجليزية: pre-Hilbert space) وذلك لأن متمم هذا الفضاء إلى الفضاء المتري هو فضاء هلبرت. (ar) Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell , on és un espai vectorial sobre un cos i és un producte escalar en . L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita e aleshores és un espai euclidià. Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base sigui o , així cap espai prehilbertià sobre pot ser un espai de Hilbert. (ca) Vektorový prostor V nazýváme unitární (nebo prehilbertovský) metrický prostor, jestliže každé dvojici je (jednoznačně) přiřazeno (obecně komplexní) číslo , které nazýváme skalárním součinem prvků u a v a splňuje axiomy skalárního součinu. Norma prvku je určena vztahem a vzdálenost dvou prvků je definována vztahem Úplný unitární prostor se nazývá Hilbertův. Reálný unitární prostor bývá také označován jako prostor se skalárním součinem. Prostory se skalárním součinem, které mají konečnou dimenzi, bývají označovány jako euklidovské prostory. (cs) In der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis wird ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt) definiert ist, als Prähilbertraum (auch prähilbertscher Raum) oder Skalarproduktraum (auch Vektorraum mit innerem Produkt, vereinzelt auch Innenproduktraum) bezeichnet. Man unterscheidet dabei zwischen euklidischen (Vektor-)Räumen im reellen und unitären (Vektor-)Räumen im komplexen Fall. Die endlichdimensionalen (n-dimensionalen) euklidischen Vektorräume sind Modelle für den n-dimensionalen euklidischen Raum. Die Nomenklatur ist aber nicht einheitlich. Manche Autoren schließen beim unitären Vektorraum den reellen Fall (der ja als Einschränkung aufgefasst werden kann) mit ein, und manchmal ist es auch umgekehrt, das heißt auch die komplexen Vektorräume heißen euklidisch. Die Bedeutung der Prähilberträume liegt darin, dass das Skalarprodukt in Analogie zur analytischen Geometrie die Einführung der Begriffe Länge (über die induzierte Norm) und Winkel gestattet. Jeder Prähilbertraum induziert daher einen normierten Vektorraum. Durch die Länge (Norm) wird auch ein Abstand (Metrik) definiert. Ist der Raum bezüglich dieser Metrik vollständig, so ist er ein Hilbertraum. Hilberträume sind die direkte Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie auf unendlichdimensionale Räume. (de) In mathematics, an inner product space (or, rarely, a Hausdorff pre-Hilbert space) is a real vector space or a complex vector space with an operation called an inner product. The inner product of two vectors in the space is a scalar, often denoted with angle brackets such as in . Inner products allow formal definitions of intuitive geometric notions, such as lengths, angles, and orthogonality (zero inner product) of vectors. Inner product spaces generalize Euclidean vector spaces, in which the inner product is the dot product or scalar product of Cartesian coordinates. Inner product spaces of infinite dimension are widely used in functional analysis. Inner product spaces over the field of complex numbers are sometimes referred to as unitary spaces. The first usage of the concept of a vector space with an inner product is due to Giuseppe Peano, in 1898. An inner product naturally induces an associated norm, (denoted and in the picture); so, every inner product space is a normed vector space. If this normed space is also complete (that is, a Banach space) then the inner product space is a Hilbert space. If an inner product space H is not a Hilbert space, it can be extended by completion to a Hilbert space This means that is a linear subspace of the inner product of is the restriction of that of and is dense in for the topology defined by the norm. (en) En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par , donde es un espacio vectorial sobre un cuerpo y es un producto escalar en . El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar. Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo. Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base sea o , así ningún espacio prehilbertiano sobre puede ser un espacio de Hilbert. (es) En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : un espace préhilbertien de dimension infinie n'est pas nécessairement complet. On peut cependant le compléter, pour obtenir un espace de Hilbert. (fr) In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno. Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto interno sia completa. (it) 線型代数学における計量ベクトル空間（けいりょうベクトルくうかん、英: metric vector space）は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間（ないせきくうかん、英: inner product space）とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積（スカラー積）を備えたユークリッド空間を任意の次元（無限次元でもよい）のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。 内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は（内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから）前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。 (ja) In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is een inwendig-productruimte een vectorruimte met de additionele structuur die het inwendig product wordt genoemd. Deze additionele structuur associeert elk paar van vectoren in de ruimte met een scalaire grootheid die bekendstaat als het inwendig product van de vectoren. Inwendige producten maken het mogelijk om intuïtieve meetkundige begrippen, zoals de lengte van een vector of de hoek tussen twee vectoren, op een meer formele wijze in te voeren, en algemener toe te passen, bijvoorbeeld op functies in een functieruimte. Zij bieden ook de middelen voor het definiëren van orthogonaliteit tussen vectoren (het inwendig product is dan gelijk aan nul). Met de bijbehorende norm geldt dan gewoon de stelling van Pythagoras, en is de kortste afstand van een punt tot een lineaire variëteit de loodrechte afstand. Een eindigdimensionale reële inwendig-productruimte is een euclidische ruimte, wat al een verruiming is ten opzichte van het klassieke ruimtebegrip. Bij een orthonormale basis is het inwendig product in termen van de coördinaten gelijk aan het gebruikelijke standaardinproduct, ook bekend als het scalaire product. Inwendig-productruimten veralgemenen de euclidische ruimte verder naar een vectorruimte die ook oneindigdimensionaal kan zijn, en/of een complexe vectorruimte. Zij worden bestudeerd in de functionaalanalyse. (nl) ( 내적은 여기로 연결됩니다. 유클리드 공간 위 내적에 대해서는 스칼라곱 문서를 참고하십시오.) 선형대수학과 함수해석학에서 내적 공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다. (ko) Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – przestrzeń liniowa (wektorowa), w której zdefiniowano dodatkowo iloczyn skalarny. Iloczyn skalarny jest tu uogólnieniem iloczynu skalarnego zdefiniowanego dla przestrzeni rzeczywistych. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie wielkości geometrycznych (bądź ich uogólnienie), takich jak: * norma wektora (czyli długość wektora), * metryka (odległość wektorów przestrzeni), * kąt między wektorami, ortogonalność wektorów, * długości krzywych, pola powierzchni, objętości brył * itd. Przestrzenie unitarne, które są ponadto zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego) nazywa się przestrzeniami Hilberta. Przestrzenie te są studiowane w analizie funkcjonalnej. W związku z tym dowolne przestrzenie unitarne – niekoniecznie zupełne – nazywane są czasem prehilbertowskimi. (pl) Предги́льбертово простра́нство (у некоторых авторов также евклидово пространство) — вещественное или комплексное линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением.Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах. (ru) 内积空间（英語：Inner product space）是数学中的线性代数裡的基本概念，是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。内积将一对向量与一个标量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数或不可数）的欧几里德空间。 (zh) |
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Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : un espace préhilbertien de dimension infinie n'est pas nécessairement complet. On peut cependant le compléter, pour obtenir un espace de Hilbert. (fr) In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno. Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto interno sia completa. (it) 線型代数学における計量ベクトル空間（けいりょうベクトルくうかん、英: metric vector space）は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間（ないせきくうかん、英: inner product space）とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積（スカラー積）を備えたユークリッド空間を任意の次元（無限次元でもよい）のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。 内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は（内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから）前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。 (ja) ( 내적은 여기로 연결됩니다. 유클리드 공간 위 내적에 대해서는 스칼라곱 문서를 참고하십시오.) 선형대수학과 함수해석학에서 내적 공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다. (ko) Предги́льбертово простра́нство (у некоторых авторов также евклидово пространство) — вещественное или комплексное линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением.Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах. (ru) 内积空间（英語：Inner product space）是数学中的线性代数裡的基本概念，是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。内积将一对向量与一个标量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数或不可数）的欧几里德空间。 (zh) في الجبر الخطي، فضاء الجداء الداخلي هو فضاء إتجاهي له بنية إضافية هي الجداء الداخلي، تعطي كل زوج من المتجهات في الفضاء قيمة سلمية تعرف باسم الجداء الداخلي للمتجهات. يعطي الجداء الداخلي معلومات عن خصائص هندسية مثل طول المتجهة، أو الزاوية بين متجهتين. كما يعطي وسيلة من أجل تعريف التعامد بين المتجهات وذلك عندما تكون قيمة الجداء الداخلي تساوي الصفر. فضاءات الجداء الداخلي تعمم للفضاءات الإقليدية (حيث الجداء الداخلي هو الجداء القياسي) إلى الفضاءات الاتجاهية ذات أبعاد معينة (قد تصل إلى عدد لا نهائي)، وهي تدرس في التحليل الدالي. (ar) Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell , on és un espai vectorial sobre un cos i és un producte escalar en . L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita e aleshores és un espai euclidià. (ca) In der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis wird ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt) definiert ist, als Prähilbertraum (auch prähilbertscher Raum) oder Skalarproduktraum (auch Vektorraum mit innerem Produkt, vereinzelt auch Innenproduktraum) bezeichnet. Man unterscheidet dabei zwischen euklidischen (Vektor-)Räumen im reellen und unitären (Vektor-)Räumen im komplexen Fall. Die endlichdimensionalen (n-dimensionalen) euklidischen Vektorräume sind Modelle für den n-dimensionalen euklidischen Raum. Die Nomenklatur ist aber nicht einheitlich. Manche Autoren schließen beim unitären Vektorraum den reellen Fall (der ja als Einschränkung aufgefasst werden kann) mit ein, und manchmal ist es auch umgekehrt, das heißt auch die komplexen Vektorräu (de) In mathematics, an inner product space (or, rarely, a Hausdorff pre-Hilbert space) is a real vector space or a complex vector space with an operation called an inner product. The inner product of two vectors in the space is a scalar, often denoted with angle brackets such as in . Inner products allow formal definitions of intuitive geometric notions, such as lengths, angles, and orthogonality (zero inner product) of vectors. Inner product spaces generalize Euclidean vector spaces, in which the inner product is the dot product or scalar product of Cartesian coordinates. Inner product spaces of infinite dimension are widely used in functional analysis. Inner product spaces over the field of complex numbers are sometimes referred to as unitary spaces. The first usage of the concept of a vecto (en) En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par , donde es un espacio vectorial sobre un cuerpo y es un producto escalar en . El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar. Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo. (es) In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is een inwendig-productruimte een vectorruimte met de additionele structuur die het inwendig product wordt genoemd. Deze additionele structuur associeert elk paar van vectoren in de ruimte met een scalaire grootheid die bekendstaat als het inwendig product van de vectoren. 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| rdfs:label | فضاء الجداء الداخلي (ar) Espai prehilbertià (ca) Unitární prostor (cs) Prähilbertraum (de) Espacio prehilbertiano (es) Espace préhilbertien (fr) Spazio prehilbertiano (it) Inner product space (en) 計量ベクトル空間 (ja) 내적 공간 (ko) Inwendig-productruimte (nl) Przestrzeń unitarna (pl) Предгильбертово пространство (ru) 内积空间 (zh) |
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