Universal coefficient theorem (original) (raw)
Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es erlaubt, die Homologie bzw. Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es erlaubt, die Homologie bzw. Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen. (de) Le théorème des coefficients universels est un résultat d'algèbre homologique portant sur les groupes d'homologie et de cohomologie d'un complexe de chaînes. Ce théorème comporte deux volets : d'une part il relie entre elles homologie et cohomologie, et d'autre part il explique le lien entre la (co)homologie à coefficients dans et la (co)homologie à coefficients dans un groupe . Une utilisation courante de ce théorème est de calculer les groupes de cohomologie à coefficient dans un groupe via le calcul de la cohomologie dans , qui sont faciles à calculer (par exemple au moyen d'une décomposition cellulaire). Le théorème des coefficients universels, démontré pour la première fois en 1942 par Samuel Eilenberg et Saunders MacLane, est le plus généralement exprimé en termes des foncteurs Tor et Ext, sous la forme de suites exactes courtes. Avant d'énoncer le théorème dans toute sa généralité, on peut en comprendre l'origine dans un cas simple. La dualité entre chaînes et cochaînes induit un couplage pour tout complexe de chaînes . Il en découle un morphisme de groupes abéliens obtenu par curryfication, qui envoie un -cocycle vers . Le théorème des coefficients universels généralise cette construction au cas où le groupe considéré est différent de , ce qui oblige à tenir compte des groupes d'extension (en d'autre termes, le couplage n'est pas parfait). (fr) In algebraic topology, universal coefficient theorems establish relationships between homology groups (or cohomology groups) with different coefficients. For instance, for every topological space X, its integral homology groups: Hi(X; Z) completely determine its homology groups with coefficients in A, for any abelian group A: Hi(X; A) Here Hi might be the simplicial homology, or more generally the singular homology: the result itself is a pure piece of homological algebra about chain complexes of free abelian groups. The form of the result is that other coefficients A may be used, at the cost of using a Tor functor. For example it is common to take A to be Z/2Z, so that coefficients are modulo 2. This becomes straightforward in the absence of 2-torsion in the homology. Quite generally, the result indicates the relationship that holds between the Betti numbers bi of X and the Betti numbers bi,F with coefficients in a field F. These can differ, but only when the characteristic of F is a prime number p for which there is some p-torsion in the homology. (en) 대수적 위상수학에서 보편 계수 정리(普遍係數定理, 영어: universal coefficient theorem)는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다. (ko) 普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。 定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。 (ja) Теорема об универсальных коэффициентах в алгебраической топологии устанавливает связь между целочисленными гомологиями топологического пространства X и его гомологиями с коэффициентами в произвольной абелевой группе A. Она утверждает, что группы целочисленных гомологий полностью определяют группы , причём гомологии могут быть как симплициальными так и сингулярными — это общий результат гомологической алгебры о цепных комплексах свободных абелевых групп. (ru) Теорема про універсальні коефіцієнти є результатом у гомологічній алгебрі, що пов'язує гомологічні і когомологічні групи із довільними коефіцієнтами для ланцюгового комплексу із гомологічними і когомологічними групами із цілочисловими коефіцієнтами · · · . Теорема часто застосовується у алгебричній топології. Типовим застосуванням є обчислення гомологічних та когомологічних груп із коефіцієнтами у деякій групі (серед найважливіших для застосувань є групи і ) через обчислення для коефіцієнтів , які часто є простішими для обчислення. Теорему вперше довели у 1942 році Самуель Ейленберг і Сандерс Маклейн · . У сучасній версії її найчастіше стверджують із використанням функторів Tor і Ext, за допомогою коротких точних послідовностей . Перед загальним твердженням теореми можна розглянути її на простому прикладі. Двоїстість між ланцюгами і коланцюгами породжує пару для кожного ланцюгового комплекса . Звідси можна отримати гомоморфізм між абелевими групами для якого образом кожного -коцикла є гомоморфізм . Теорема про універсальні коефіцієнти узагальнює цю конструкцію на випадок якщо коефіцієнти гомологічних і когомологічних груп є іншими, ніж (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html https://math.stackexchange.com/q/768481 |
| dbo:wikiPageID | 996107 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 6721 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1055712537 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Betti_numbers dbr:Algebraic_topology dbr:Betti_number dbr:Fundamental_theorem_of_finitely_generated_abelian_groups dbr:Connected_space dbr:Simplicial_homology dbr:Bockstein_spectral_sequence dbr:Short_exact_sequence dbr:Closed_manifold dbr:Functor dbr:Adjoint dbc:Theorems_in_algebraic_topology dbr:Poincaré_duality dbr:Allen_Hatcher dbr:Field_(mathematics) dbr:Tensor_product_of_modules dbr:Prime_number dbc:Homological_algebra dbr:Abelian_group dbr:Characteristic_(algebra) dbr:Coefficient dbr:Cohomology dbr:Cohomology_ring dbr:Eilenberg–MacLane_space dbr:Homological_algebra dbr:Tor_functor dbr:Torsion_(algebra) dbr:Manifold dbr:Splitting_lemma dbr:Free_abelian_group dbr:Orientability dbr:Real_projective_space dbr:Chain_complex dbr:Singular_homology dbr:Ext_functor dbr:Topological_space |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:Cite_journal dbt:ISBN dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Theorems_in_algebraic_topology dbc:Homological_algebra |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInAlgebraicTopology yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es erlaubt, die Homologie bzw. Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen. (de) 대수적 위상수학에서 보편 계수 정리(普遍係數定理, 영어: universal coefficient theorem)는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다. (ko) 普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。 定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。 (ja) Теорема об универсальных коэффициентах в алгебраической топологии устанавливает связь между целочисленными гомологиями топологического пространства X и его гомологиями с коэффициентами в произвольной абелевой группе A. Она утверждает, что группы целочисленных гомологий полностью определяют группы , причём гомологии могут быть как симплициальными так и сингулярными — это общий результат гомологической алгебры о цепных комплексах свободных абелевых групп. (ru) Le théorème des coefficients universels est un résultat d'algèbre homologique portant sur les groupes d'homologie et de cohomologie d'un complexe de chaînes. Ce théorème comporte deux volets : d'une part il relie entre elles homologie et cohomologie, et d'autre part il explique le lien entre la (co)homologie à coefficients dans et la (co)homologie à coefficients dans un groupe . Une utilisation courante de ce théorème est de calculer les groupes de cohomologie à coefficient dans un groupe via le calcul de la cohomologie dans , qui sont faciles à calculer (par exemple au moyen d'une décomposition cellulaire). Le théorème des coefficients universels, démontré pour la première fois en 1942 par Samuel Eilenberg et Saunders MacLane, est le plus généralement exprimé en termes des foncteurs Tor (fr) In algebraic topology, universal coefficient theorems establish relationships between homology groups (or cohomology groups) with different coefficients. For instance, for every topological space X, its integral homology groups: Hi(X; Z) completely determine its homology groups with coefficients in A, for any abelian group A: Hi(X; A) (en) Теорема про універсальні коефіцієнти є результатом у гомологічній алгебрі, що пов'язує гомологічні і когомологічні групи із довільними коефіцієнтами для ланцюгового комплексу із гомологічними і когомологічними групами із цілочисловими коефіцієнтами · · · . Теорема часто застосовується у алгебричній топології. Типовим застосуванням є обчислення гомологічних та когомологічних груп із коефіцієнтами у деякій групі (серед найважливіших для застосувань є групи і ) через обчислення для коефіцієнтів , які часто є простішими для обчислення. Теорему вперше довели у 1942 році Самуель Ейленберг і Сандерс Маклейн · . У сучасній версії її найчастіше стверджують із використанням функторів Tor і Ext, за допомогою коротких точних послідовностей . (uk) |
| rdfs:label | Universeller Koeffizientensatz (de) Théorème des coefficients universels (fr) 보편 계수 정리 (ko) 普遍係数定理 (ja) Теорема об универсальных коэффициентах (ru) Universal coefficient theorem (en) Теорема про універсальні коефіцієнти (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Universal coefficient theorem yago-res:Universal coefficient theorem wikidata:Universal coefficient theorem dbpedia-de:Universal coefficient theorem dbpedia-fr:Universal coefficient theorem dbpedia-ja:Universal coefficient theorem dbpedia-ko:Universal coefficient theorem dbpedia-ru:Universal coefficient theorem dbpedia-uk:Universal coefficient theorem https://global.dbpedia.org/id/2MiPW |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Universal_coefficient_theorem?oldid=1055712537&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Universal_coefficient_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Universal_coefficient_theorem_for_cohomology dbr:Universal_coefficients_theorem dbr:Dual_universal_coefficient_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:Algebraic_topology dbr:Betti_number dbr:Kähler_differential dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:Glossary_of_algebraic_topology dbr:Bockstein_spectral_sequence dbr:Complete_intersection dbr:Poincaré_duality dbr:Lefschetz_hyperplane_theorem dbr:Postnikov_system dbr:Ring_(mathematics) dbr:Tensor_product_of_modules dbr:Cohomology dbr:Eilenberg–MacLane_space dbr:Hodge_cycle dbr:Homotopy_theory dbr:Tor_functor dbr:Torsion_(algebra) dbr:Borel–Moore_homology dbr:Spectral_sequence dbr:Singular_homology dbr:List_of_theorems dbr:Motivic_cohomology dbr:Universal_coefficient_theorem_for_cohomology dbr:Universal_coefficients_theorem dbr:Spin_structure dbr:Dual_universal_coefficient_theorem |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Universal_coefficient_theorem |