Singular homology (original) (raw)
Die Singuläre Homologie ist eine Methode der algebraischen Topologie, die einem beliebigen topologischen Raum eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die verschieden-dimensionalen Löcher eines Raumes. Gegenüber den ähnlich gearteten Homotopiegruppen hat die singuläre Homologie den Vorteil, dass sie wesentlich einfacher zu berechnen ist und somit für viele Anwendungen die effektivste algebraische Invariante darstellt. Definiert ist sie als die Homologie zum singulären Kettenkomplex.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Die Singuläre Homologie ist eine Methode der algebraischen Topologie, die einem beliebigen topologischen Raum eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die verschieden-dimensionalen Löcher eines Raumes. Gegenüber den ähnlich gearteten Homotopiegruppen hat die singuläre Homologie den Vorteil, dass sie wesentlich einfacher zu berechnen ist und somit für viele Anwendungen die effektivste algebraische Invariante darstellt. Definiert ist sie als die Homologie zum singulären Kettenkomplex. (de) En algebra topologio, singulara homologeco estas la kutima funktoro de la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinuaj surĵetoj al la kategorio de graditaj komutaj grupoj kaj grupaj homomorfioj. La homologeco de spaco X estas kutime komprenita signifi la singularan homologecon de tiu spaco. Singulara homologeco estas konstruita per aplikanta la ĝenerala konstruado al la singulara ĉena komplekso, la ĉena komplekso de formalaj sumoj de singularaj simplaĵoj. (eo) En topologie algébrique, l'homologie singulière est une construction qui permet d'associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules. Cette association est un invariant topologique non complet, c'est-à-dire que si deux espaces sont homéomorphes alors ils ont mêmes groupes d'homologie singulière en chaque degré mais que la réciproque est fausse. (fr) In algebraic topology, singular homology refers to the study of a certain set of algebraic invariants of a topological space X, the so-called homology groups Intuitively, singular homology counts, for each dimension n, the n-dimensional holes of a space. Singular homology is a particular example of a homology theory, which has now grown to be a rather broad collection of theories. Of the various theories, it is perhaps one of the simpler ones to understand, being built on fairly concrete constructions (see also the related theory simplicial homology). In brief, singular homology is constructed by taking maps of the standard n-simplex to a topological space, and composing them into formal sums, called singular chains. The boundary operation – mapping each n-dimensional simplex to its (n−1)-dimensional boundary – induces the singular chain complex. The singular homology is then the homology of the chain complex. The resulting homology groups are the same for all homotopy equivalent spaces, which is the reason for their study. These constructions can be applied to all topological spaces, and so singular homology is expressible as a functor from the category of topological spaces to the category of graded abelian groups. (en) 대수적 위상수학에서 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다. (ko) In topologia l'omologia singolare è una costruzione che permette di associare ad uno spazio topologico un oggetto algebrico detto omologia. Esistono altre costruzioni che producono essenzialmente la stessa omologia, ad esempio l' e l'. L'omologia singolare è la costruzione che funziona nella più ampia generalità: per la sua costruzione non è necessario che lo spazio topologico sia un complesso simpliciale o un complesso di celle. (it) 数学の一分野である代数トポロジーにおいて、特異ホモロジー (singular homology) とは位相空間 X ののある種の集合、いわゆるホモロジー群 (homology group) の研究のことである。直感的に言えば、特異ホモロジーは、各次元 n に対して、空間の n 次元の穴を数える。特異ホモロジーはホモロジー論の例である。これは今では理論のかなり大きな集まりに成長している。様々な理論の中で、特異ホモロジーはかなり具体的な構成に基づいているのでおそらく理解するのが容易なものの1つである。 手短に言えば、特異ホモロジーは標準単体から位相空間への連続写像の族σをとり、それらから特異チェイン (singular chain) と呼ばれる形式和を作ることによって構成される。単体上の境界作用素は特異チェイン複体を誘導する。すると特異ホモロジーはそのチェイン複体のホモロジーである。得られるホモロジー群はすべてのホモトピー同値な空間に対して同じであり、これがそれらの研究の理由である。これらの構成はすべての位相空間に対して適用することができるので、特異ホモロジーは圏論の言葉で表現できる。そこではホモロジー群は位相空間の圏から次数付きアーベル群の圏への関手になる。これらのアイデアは以下でもっと詳細に説明される。 なお「特異」という言葉はσが必ずしも良い埋め込みである必要が無いが、その像がもはや単体には見えないという”特異性”を強調する意味合いで使われている。 (ja) Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами. (ru) Inom algebraisk topologi, en del av matematiken, är singulär homologi studien av vissa algebraiska invarianter av ett topologiskt rum X, nämligen dess homologigrupper . Intuitivt sett räknar singulär homologi för varje dimension n antalet n-dimensionella hål i rummet. Singulär homologi är ett exempel av homologiteori, som numera har vuxit till en stor samling olika teorier. Av dessa teorier är singulär homologi kanske den allra enklaste emedan den bygger på relativt konkreta konstruktioner. (sv) Homologia singularna – pojęcie odnoszące się do badania pewnego rodzaju algebraicznych niezmienników przestrzeni topologicznych, zwanych grupami homologii singularnej. Homologia singularna jest szczególnym przykładem , których liczba w ciągu ostatniego półwiecza znacząco wzrosła. Ponieważ jest budowana na dość konkretnych fundamentach, jest jedną z mniej abstrakcyjnych i prostszych do zrozumienia teorii homologii. W skrócie, konstrukcja homologii singularnych polega na rozpatrywaniu przekształceń ze standardowego n-sympleksu w daną przestrzeń topologiczną Przekształcenia te łączymy w formalne sumy, otrzymując dla każdego wolną grupę abelową. Grupy te są połączone operatorami brzegu, a całość tworzy kompleks łańcuchowy. Grupy homologii singularnych to po prostu . Dla homotopijnie równoważnych przestrzeni otrzymujemy izomorficzne grupy, co pozwala patrzeć na nie jak na pewnego rodzaju algebraiczne niezmienniki, przyporządkowane klasom homotopijnej równoważności przestrzeni. Ponieważ konstrukcję tę można przeprowadzić dla dowolnych przestrzeni topologicznych, a ciągłe przekształcenia między przestrzeniami indukują morfizmy grup homologii tych przestrzeni, homologie singularne można wyrazić w terminach teorii kategorii jako funktor z kategorii przestrzeni topologicznych do kategorii grup abelowych z . (pl) Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos , e a cada aplicação contínua , entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos . Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos em e os homomorfismos de grupos graduados em . É conveniente também, dado um espaço topológico e um subespaço , definir a homologia singular relativa . (pt) Сингулярні гомології — гомології, що визначаються виходячи з сингулярних симплексів топологічного простору X таким же чином, як звичайні (симпліційні) гомології (і когомології) поліедра — виходячи з лінійного симплекса. У категорії поліедрів сингулярна теорія еквівалентна симпліційній (а також клітинній). Цим звичайно встановлюється топологічна інваріантність останніх. Проте значення груп сингулярних гомологій цим не вичерпується. Маючи простий опис, вони застосовні у достатньо широких категоріях гомотопно інваріантних топологічних просторів. Природні зв'язки з теорією гомотопій роблять сингулярну теорію незамінною в гомотопній топології. Проте, хоча групи сингулярних гомологій визначені для будь-яких топологічних просторів без яких-небудь обмежень їх застосування виправдане лише при істотних обмеженнях типу локальної стягуваності або гомологічної локальної зв'язності. Сингулярні ланцюги, будучи за своєю природою «дуже» лінійно зв'язними, не несуть в собі інформацію про «неперервні» цикли, якщо вони не є «достатньо» лінійно зв'язними. Тому в загальних категоріях топологічних просторів замість сингулярних звичайно використовуються і асоційовані з ними гомології. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/2D-simplex.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |
| dbo:wikiPageID | 431041 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 19312 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1113071707 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Boundary_operator dbr:Module_(mathematics) dbr:Subcategory dbr:Algebra_(ring_theory) dbr:Algebraic_topology dbr:Homology_theory dbr:Homomorphism dbr:Betti_number dbr:Cup_product dbr:Universal_coefficient_theorem dbr:Derived_category dbr:Topological_invariant dbr:Continuous_function dbr:Quotient_category dbr:Morphism dbr:Contractible_space dbr:Simplicial_homology dbr:Homotopy_equivalent dbr:Long_exact_sequence dbr:Bockstein_homomorphism dbr:Short_exact_sequence dbr:Simplex dbr:Closed_manifold dbr:Functor dbc:Homology_theory dbr:K-theory dbr:Algebraic_geometry dbr:Extraordinary_cohomology_theories dbr:Extraordinary_homology_theory dbr:Cellular_homology dbr:Simplicial_complex dbr:Ring_(mathematics) dbr:Hurewicz_theorem dbr:Abelian_category dbr:Abelian_group dbr:Cohomology_operation dbr:Eilenberg–Steenrod_axioms dbr:Homology_(mathematics) dbr:Homotopy dbr:Homotopy_category dbr:Homotopy_category_of_chain_complexes dbr:Tor_functor dbr:Reduced_homology dbr:Differential_graded_algebra dbr:Free_abelian_group dbr:Free_module dbr:Factor_group dbr:Algebraic_invariant dbr:Category_of_abelian_groups dbr:Category_of_chain_complexes dbr:Category_of_topological_spaces dbr:Category_theory dbr:Chain_complex dbr:Formal_sum dbr:Steenrod_algebra dbr:Excision_theorem dbr:Relative_homology dbr:Injective dbr:Topological_space dbr:Uncountable dbr:Chain_map dbr:Singular_n-simplex dbr:Cochain_complex dbr:Object_(category_theory) dbr:Cobordism_theory dbr:Boundary_morphism dbr:Homology_theories dbr:Homotopy_type dbr:File:2D-simplex.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Distinguish dbt:Main dbt:More_footnotes dbt:Reflist dbt:Isbn |
| dct:subject | dbc:Homology_theory |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | Die Singuläre Homologie ist eine Methode der algebraischen Topologie, die einem beliebigen topologischen Raum eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die verschieden-dimensionalen Löcher eines Raumes. Gegenüber den ähnlich gearteten Homotopiegruppen hat die singuläre Homologie den Vorteil, dass sie wesentlich einfacher zu berechnen ist und somit für viele Anwendungen die effektivste algebraische Invariante darstellt. Definiert ist sie als die Homologie zum singulären Kettenkomplex. (de) En algebra topologio, singulara homologeco estas la kutima funktoro de la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinuaj surĵetoj al la kategorio de graditaj komutaj grupoj kaj grupaj homomorfioj. La homologeco de spaco X estas kutime komprenita signifi la singularan homologecon de tiu spaco. Singulara homologeco estas konstruita per aplikanta la ĝenerala konstruado al la singulara ĉena komplekso, la ĉena komplekso de formalaj sumoj de singularaj simplaĵoj. (eo) En topologie algébrique, l'homologie singulière est une construction qui permet d'associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules. Cette association est un invariant topologique non complet, c'est-à-dire que si deux espaces sont homéomorphes alors ils ont mêmes groupes d'homologie singulière en chaque degré mais que la réciproque est fausse. (fr) 대수적 위상수학에서 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다. (ko) In topologia l'omologia singolare è una costruzione che permette di associare ad uno spazio topologico un oggetto algebrico detto omologia. Esistono altre costruzioni che producono essenzialmente la stessa omologia, ad esempio l' e l'. L'omologia singolare è la costruzione che funziona nella più ampia generalità: per la sua costruzione non è necessario che lo spazio topologico sia un complesso simpliciale o un complesso di celle. (it) Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами. (ru) Inom algebraisk topologi, en del av matematiken, är singulär homologi studien av vissa algebraiska invarianter av ett topologiskt rum X, nämligen dess homologigrupper . Intuitivt sett räknar singulär homologi för varje dimension n antalet n-dimensionella hål i rummet. Singulär homologi är ett exempel av homologiteori, som numera har vuxit till en stor samling olika teorier. Av dessa teorier är singulär homologi kanske den allra enklaste emedan den bygger på relativt konkreta konstruktioner. (sv) Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos , e a cada aplicação contínua , entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos . Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos em e os homomorfismos de grupos graduados em . É conveniente também, dado um espaço topológico e um subespaço , definir a homologia singular relativa . (pt) In algebraic topology, singular homology refers to the study of a certain set of algebraic invariants of a topological space X, the so-called homology groups Intuitively, singular homology counts, for each dimension n, the n-dimensional holes of a space. Singular homology is a particular example of a homology theory, which has now grown to be a rather broad collection of theories. Of the various theories, it is perhaps one of the simpler ones to understand, being built on fairly concrete constructions (see also the related theory simplicial homology). (en) 数学の一分野である代数トポロジーにおいて、特異ホモロジー (singular homology) とは位相空間 X ののある種の集合、いわゆるホモロジー群 (homology group) の研究のことである。直感的に言えば、特異ホモロジーは、各次元 n に対して、空間の n 次元の穴を数える。特異ホモロジーはホモロジー論の例である。これは今では理論のかなり大きな集まりに成長している。様々な理論の中で、特異ホモロジーはかなり具体的な構成に基づいているのでおそらく理解するのが容易なものの1つである。 手短に言えば、特異ホモロジーは標準単体から位相空間への連続写像の族σをとり、それらから特異チェイン (singular chain) と呼ばれる形式和を作ることによって構成される。単体上の境界作用素は特異チェイン複体を誘導する。すると特異ホモロジーはそのチェイン複体のホモロジーである。得られるホモロジー群はすべてのホモトピー同値な空間に対して同じであり、これがそれらの研究の理由である。これらの構成はすべての位相空間に対して適用することができるので、特異ホモロジーは圏論の言葉で表現できる。そこではホモロジー群は位相空間の圏から次数付きアーベル群の圏への関手になる。これらのアイデアは以下でもっと詳細に説明される。 (ja) Homologia singularna – pojęcie odnoszące się do badania pewnego rodzaju algebraicznych niezmienników przestrzeni topologicznych, zwanych grupami homologii singularnej. Homologia singularna jest szczególnym przykładem , których liczba w ciągu ostatniego półwiecza znacząco wzrosła. Ponieważ jest budowana na dość konkretnych fundamentach, jest jedną z mniej abstrakcyjnych i prostszych do zrozumienia teorii homologii. (pl) Сингулярні гомології — гомології, що визначаються виходячи з сингулярних симплексів топологічного простору X таким же чином, як звичайні (симпліційні) гомології (і когомології) поліедра — виходячи з лінійного симплекса. (uk) |
| rdfs:label | Singuläre Homologie (de) Singulara homologeco (eo) Homologie singulière (fr) Omologia singolare (it) 특이 호몰로지 (ko) 特異ホモロジー (ja) Homologia singularna (pl) Homologia singular (pt) Singular homology (en) Сингулярные гомологии (ru) Singulär homologi (sv) Сингулярні гомології (uk) |
| owl:differentFrom | dbr:Singular_homology_of_abstract_algebraic_varieties |
| owl:sameAs | freebase:Singular homology dbpedia-de:Singular homology wikidata:Singular homology dbpedia-eo:Singular homology dbpedia-fr:Singular homology dbpedia-he:Singular homology dbpedia-it:Singular homology dbpedia-ja:Singular homology dbpedia-ko:Singular homology dbpedia-pl:Singular homology dbpedia-pt:Singular homology dbpedia-ru:Singular homology dbpedia-sv:Singular homology dbpedia-uk:Singular homology https://global.dbpedia.org/id/9xhq |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Singular_homology?oldid=1113071707&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/2D-simplex.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Singular_homology |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Singular |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Singular_chain dbr:Singular_chain_complex dbr:Singular_complex dbr:Singular_homology_group dbr:Singular_theory dbr:Homology_functor |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:List_of_cohomology_theories dbr:Moore_space_(algebraic_topology) dbr:Morava_K-theory dbr:Dennis_Sullivan dbr:Algebraic_topology dbr:Cubic_surface dbr:Cubical_complex dbr:Cup_product dbr:Universal_coefficient_theorem dbr:Degree_of_a_continuous_mapping dbr:Induced_homomorphism dbr:Intersection_homology dbr:Künneth_theorem dbr:Pseudocircle dbr:Whitehead_theorem dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:Mayer–Vietoris_sequence dbr:Natural_transformation dbr:Products_in_algebraic_topology dbr:Quadric_(algebraic_geometry) dbr:Timeline_of_manifolds dbr:Generalized_Stokes_theorem dbr:Glossary_of_arithmetic_and_diophantine_geometry dbr:Boundary_(topology) dbr:Continuation_map dbr:Contractible_space dbr:Simplicial_homology dbr:Compactly-supported_homology dbr:Delta_set dbr:Fundamental_group dbr:Fundamental_polygon dbr:Suslin_homology dbr:Adams_filtration dbr:Hawaiian_earring dbr:Duality_(mathematics) dbr:Brouwer_fixed-point_theorem dbr:Cellular_homology dbr:Floer_homology dbr:Hiroshi_Toda dbr:Kan-Thurston_theorem dbr:Kan_fibration dbr:Lefschetz_fixed-point_theorem dbr:Mapping_cone_(homological_algebra) dbr:Resolution_(algebra) dbr:A_Guide_to_the_Classification_Theorem_for_Compact_Surfaces dbr:Coalgebra dbr:Cohomology dbr:Eckmann–Hilton_argument dbr:Eilenberg–Moore_spectral_sequence dbr:Eilenberg–Steenrod_axioms dbr:Hodge_theory dbr:Homological_algebra dbr:Homology_(mathematics) dbr:Homotopy_associative_algebra dbr:Homotopy_category dbr:Homotopy_group dbr:Assembly_map dbr:Manifold dbr:Mapping_class_group_of_a_surface dbr:Borel–Moore_homology dbr:CW_complex dbr:Free_abelian_group dbr:Free_loop dbr:Kähler_manifold dbr:Kéo_language dbr:Orientability dbr:Cap_product dbr:Chain_(algebraic_topology) dbr:Chain_complex dbr:Shape_theory_(mathematics) dbr:Singular dbr:Čech_cohomology dbr:Euler_characteristic dbr:Poincaré_complex dbr:Excision_theorem dbr:Relative_homology dbr:Morse_homology dbr:Weak_equivalence_(homotopy_theory) dbr:Stanley–Reisner_ring dbr:Simplicial_set dbr:String_topology dbr:Stratifold dbr:Rational_homotopy_theory dbr:Riemann–Roch_theorem dbr:Ring_spectrum dbr:Steenrod_problem dbr:Vietoris–Begle_mapping_theorem dbr:Singular_chain dbr:Singular_chain_complex dbr:Singular_complex dbr:Singular_homology_group dbr:Singular_theory dbr:Homology_functor |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Singular_homology |
