Splitting lemma (original) (raw)
호몰로지 대수학에서 분할 완전열(分割完全列, 영어: split exact sequence)은 일부 사상이 일종의 역원을 가져서, 가운데의 대상을 좌·우의 대상들의 합성으로 볼 수 있게 하는 짧은 완전열이다.
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|---|---|
| dbo:abstract | En matemáticas, más específicamente en álgebra homológica, el lema de escisión declara que, en cualquier categoría abeliana, las tres proposiciones para una secuencia exacta corta que se exponen a continuación son equivalentes. Dada una secuencia exacta corta con morfismos q y r, entre los objetos de la categoría: Sobre la que añadimos las flechas adicionales t y u para señalar unos morfismos que podrían no existir: Tenemos que las proposiciones siguientes son equivalentes: * Escisión izquierda: Existe un morfismo t: B → A tal que tq es la identidad en A. * Escisión derecha: Existe un morfismo u: C → B tal que ru es la identidad en C. * Suma directa: B es isomorfo a la suma directa de A y C, con q correspondiendo a la inyección natural de A y r correspondiendo a la proyección natural en C. De forma más precisa, hay un isomorfismo de secuencias exactas cortas entre la secuencia dada y la secuencia con B sustituido por la suma directa de A y C, donde los morfismos son la inclusión y proyección canónicas. Sólo un isomorfismo de B con la suma directa no es suficiente. La secuencia exacta corta se dice escindida si estas proposiciones se cumplen. (es) In mathematics, and more specifically in homological algebra, the splitting lemma states that in any abelian category, the following statements are equivalent for a short exact sequence 1. * Left splitThere exists a morphism t: B → A such that tq is the identity on A, idA, 2. * Right splitThere exists a morphism u: C → B such that ru is the identity on C, idC, 3. * Direct sumThere is an isomorphism h from B to the direct sum of A and C, such that hq is the natural injection of A into the direct sum, and is the natural projection of the direct sum onto C. If any of these statements holds, the sequence is called a split exact sequence, and the sequence is said to split. In the above short exact sequence, where the sequence splits, it allows one to refine the first isomorphism theorem, which states that: C ≅ B/ker r ≅ B/q(A) (i.e., C isomorphic to the coimage of r or cokernel of q) to: B = q(A) ⊕ u(C) ≅ A ⊕ C where the first isomorphism theorem is then just the projection onto C. It is a categorical generalization of the rank–nullity theorem (in the form V ≅ ker T ⊕ im T) in linear algebra. (en) 数学、より具体的にはホモロジー代数学において、分裂補題 (splitting lemma) は次のようなものである。任意のアーベル圏において、短完全列に対する以下のステートメントは同値である。 写像が q と r の短完全列 が与えられたとし、追加の矢印 t と u を存在しないかもしれない写像に対して書く。 このとき以下のステートメントは同値である。 1. 左分裂 (left split)写像 t: B → A が存在して tq は A 上恒等写像である。2. 右分裂 (right split)写像 u: C → B が存在して ru は C 上恒等写像である。3. 直和 (direct sum)B は A と C のに同型で、q は A の自然な入射に一致し、r は C への自然な射影に一致する。 短完全列は上のステートメントのどれかが成り立てば分裂する (split) という。 （「写像」という言葉は考えているアーベル圏の射を意味し、集合の間の写像ではない。） 注意： 完全列 は分裂するとは限らない。 この補題によって第一同型定理を精密化することができる。 * 第一同型定理は上記の短完全列において （すなわち "C" は "r" の余像あるいは "q" の余核に同型である）ということを述べている。 * 列が分裂すれば、 であり、第一同型定理は単に C の上への射影である。 それは線型代数学の（ の形での）階数・退化次数の定理の圏論的一般化である。 (ja) 호몰로지 대수학에서 분할 완전열(分割完全列, 영어: split exact sequence)은 일부 사상이 일종의 역원을 가져서, 가운데의 대상을 좌·우의 대상들의 합성으로 볼 수 있게 하는 짧은 완전열이다. (ko) 在数学中，更准确地是同调代数中，分裂引理（splitting lemma）说在任何阿贝尔范畴中，关于短正合序列的下列陈述是等价的。 给定一个具有映射q 与r 的短正合序列： 我们写出映射（可能不存在）的箭头t 与u： 下列陈述是等价的： 1.左分裂：存在一个映射tB → A 使得tq 是A 的恒等映射；2.右分裂：存在一个映射uC → B 使得ru 是C 的恒等映射；3.直和B 同构于A 与C 的直和，q 是A 的自然内射而r 是到C 的投影。 如果上述陈述成立，短正合序列成为分裂的。 这使我们可改进第一同构定理： * 这一同构定理说在上述短正合序列中； * 如果序列分裂则，而第一同构定理恰是到C 的投影。 这是线性代数中秩-零化度定理（的形式）的一个范畴推广。 (zh) |
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