Weak solution (original) (raw)
Στα μαθηματικά, αδύναμη λύση (που ονομάζεται επίσης γενικευμένη λύση) σε μια συνηθισμένη ή μερική διαφορική εξίσωση είναι μια συνάρτηση για την οποία οι παράγωγοι μπορεί να μην υπάρχουν, αλλά που, ωστόσο, πληρούν την εξίσωση σε κάποια καθορισμένη έννοια. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί της αδύναμης λύσης, κατάλληλοι για τις διάφορες κατηγορίες των εξισώσεων. Μια από τα πιο σημαντικές βασίζεται στην έννοια των κατανομών.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Mathematik ist eine schwache Lösung einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung, auch verallgemeinerte Lösung genannt, eine Funktion, für die zwar möglicherweise nicht alle Ableitungen existieren, die aber dennoch in einem präzisen Sinn als Lösung der Gleichung angesehen werden kann. Es gibt viele verschiedene Definitionen schwacher Lösungen, die jeweils für verschiedene Klassen von Gleichungen geeignet sind, eine der wichtigsten baut auf dem Begriff der Distribution auf. Um die Sprache der Distributionen zu vermeiden, schreibt man eine Differentialgleichung derart um, dass keine Ableitungen der Lösungsfunktion mehr vorkommen. Diese neue Form der Gleichung nennt man die schwache Formulierung und ihre Lösungen heißen schwache Lösungen. Überraschenderweise kann eine Differentialgleichung auf diese Weise eine nicht-differenzierbare Lösung haben, mittels der schwachen Formulierung können diese gefunden werden. Schwache Lösungen sind wichtig, weil Modellierungen von Problemen der realen Welt oft zu Differentialgleichungen ohne hinreichend glatte Lösungen führen, der einzige Lösungsansatz besteht dann in der schwachen Formulierung. Selbst in Situationen, in denen eine Gleichung differenzierbare Lösungen besitzt, ist es oft vorteilhaft zunächst die Existenz schwacher Lösungen zu beweisen und dann zu einem späteren Zeitpunkt zu zeigen, dass die Lösungen ausreichend glatt sind. (de) Στα μαθηματικά, αδύναμη λύση (που ονομάζεται επίσης γενικευμένη λύση) σε μια συνηθισμένη ή μερική διαφορική εξίσωση είναι μια συνάρτηση για την οποία οι παράγωγοι μπορεί να μην υπάρχουν, αλλά που, ωστόσο, πληρούν την εξίσωση σε κάποια καθορισμένη έννοια. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί της αδύναμης λύσης, κατάλληλοι για τις διάφορες κατηγορίες των εξισώσεων. Μια από τα πιο σημαντικές βασίζεται στην έννοια των κατανομών. (el) En matemáticas, una solución débil (también llamada solución generalizada) de una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales es una función en la cual las derivadas que aparecen en la ecuación pueden no todas existir aunque se considera que satisfacen la ecuación en algún sentido definido con precisión. Hay muchas definiciones diferentes de la solución débil, apropiadas para diferentes clases de ecuaciones. Una de las más importantes están basadas sobre la noción de distribuciones. Evitando el lenguaje de las distribuciones, comenzando con una ecuación diferencial y reescribirla de forma tal que no se muestren en la ecuación las derivadas de la solución (esta nueva forma se denomina formulación débil, y sus soluciones se denominan soluciones débiles). Sorprendentemente, una ecuación diferencial puede tener soluciones que no son diferenciables; y la formulación débil permite encontrar tales soluciones. Las soluciones débiles son importantes porque existe una gran cantidad de ecuaciones diferenciales en el modelado de fenómenos del mundo real que no admiten soluciones suficientemente suaves y entonces la única manera de resolver tales ecuaciones es usar la formulación débil. Incluso en situaciones donde una ecuación no tiene soluciones diferenciables, es conveniente primero probar la existencia de las soluciones débiles y solo después mostrar que aquellas soluciones son en efecto suficientemente suaves. (es) In mathematics, a weak solution (also called a generalized solution) to an ordinary or partial differential equation is a function for which the derivatives may not all exist but which is nonetheless deemed to satisfy the equation in some precisely defined sense. There are many different definitions of weak solution, appropriate for different classes of equations. One of the most important is based on the notion of distributions. Avoiding the language of distributions, one starts with a differential equation and rewrites it in such a way that no derivatives of the solution of the equation show up (the new form is called the weak formulation, and the solutions to it are called weak solutions). Somewhat surprisingly, a differential equation may have solutions which are not differentiable; and the weak formulation allows one to find such solutions. Weak solutions are important because many differential equations encountered in modelling real-world phenomena do not admit of sufficiently smooth solutions, and the only way of solving such equations is using the weak formulation. Even in situations where an equation does have differentiable solutions, it is often convenient to first prove the existence of weak solutions and only later show that those solutions are in fact smooth enough. (en) 数学の分野における、ある常微分方程式あるいは偏微分方程式の弱解（じゃくかい、英: weak solution、一般解とも呼ばれる）とは、その微分は存在しないかもしれないが、ある正確に定義できる意味において方程式を満たすと見なされるような関数のことを言う。方程式の異なるクラスに対して、それぞれ異なる弱解の定義が多く存在する。最も重要な定義の一つは、シュワルツ超函数の概念に基づくものである。 超函数の用語を避けて、微分方程式からはじめて、それを解の微分が現れない形で書き直す（その新しい形式は弱形式と呼ばれ、その解が弱解と呼ばれる）。少し驚くことに、微分方程式は微分可能でない解を持つこともあり得る。そのような解を見つけるために、弱形式は用いられる。 実世界の現象をモデル化するために用いられる多くの微分方程式において、十分に滑らかな解が得られる訳ではなく、そのような方程式を解くために弱形式が用いられる。この意味において、弱解は重要なのである。またたとえ方程式に微分可能な解が存在している場合でも、はじめに弱解の存在を示し、その後にその解が実際に十分滑らかであることを示す、という方法がしばしば有用となる。 (ja) 数学中, 微分方程的弱解或广义解是指对该方程中的微分可能不存在, 但是在某种精确定义的意义下满足该方程的解. 对于不同种类的微分方程, 弱解的定义性质也可能不同. 一类最重要的弱解基于广义函数的记号. 由于大量用于描述现实世界中现象的微分方程并不具有足够的光滑的解, 从而求解此类方程只能使用弱形式. 即使在方程确实具有可微解的情况下, 首先证明弱解的存在性然后证明弱解足够光滑是方便的. (zh) |
| dbo:wikiPageID | 3555416 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 7721 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1101994228 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbc:Generalized_functions dbr:Weak_formulation dbr:Compact_support dbr:Mathematics dbr:Function_(mathematics) dbr:Smooth_function dbr:Fubini's_theorem dbr:Hamilton–Jacobi_equation dbr:Wave_equation dbr:Euclidean_space dbr:Partial_differential_equation dbr:Differential_operator dbc:Differential_equations dbr:Differentiable_function dbr:Distribution_(mathematics) dbr:Continuously_differentiable dbr:Integration_by_parts dbr:Open_set dbr:Ordinary_differential_equation dbr:Real_number dbr:Viscosity_solution dbr:Test_function dbr:Hyperbolic_system dbr:Formal_adjoint dbr:Adjoint_of_an_operator dbr:Multi-index dbr:Entropy_condition |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:NumBlk dbt:EquationRef dbt:EquationNote |
| dcterms:subject | dbc:Generalized_functions dbc:Differential_equations |
| gold:hypernym | dbr:Function |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:DifferentialEquation106670521 yago:Equation106669864 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:Relation100031921 yago:WikicatGeneralizedFunctions dbo:Disease yago:Statement106722453 yago:WikicatDifferentialEquations |
| rdfs:comment | Στα μαθηματικά, αδύναμη λύση (που ονομάζεται επίσης γενικευμένη λύση) σε μια συνηθισμένη ή μερική διαφορική εξίσωση είναι μια συνάρτηση για την οποία οι παράγωγοι μπορεί να μην υπάρχουν, αλλά που, ωστόσο, πληρούν την εξίσωση σε κάποια καθορισμένη έννοια. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί της αδύναμης λύσης, κατάλληλοι για τις διάφορες κατηγορίες των εξισώσεων. Μια από τα πιο σημαντικές βασίζεται στην έννοια των κατανομών. (el) 数学の分野における、ある常微分方程式あるいは偏微分方程式の弱解（じゃくかい、英: weak solution、一般解とも呼ばれる）とは、その微分は存在しないかもしれないが、ある正確に定義できる意味において方程式を満たすと見なされるような関数のことを言う。方程式の異なるクラスに対して、それぞれ異なる弱解の定義が多く存在する。最も重要な定義の一つは、シュワルツ超函数の概念に基づくものである。 超函数の用語を避けて、微分方程式からはじめて、それを解の微分が現れない形で書き直す（その新しい形式は弱形式と呼ばれ、その解が弱解と呼ばれる）。少し驚くことに、微分方程式は微分可能でない解を持つこともあり得る。そのような解を見つけるために、弱形式は用いられる。 実世界の現象をモデル化するために用いられる多くの微分方程式において、十分に滑らかな解が得られる訳ではなく、そのような方程式を解くために弱形式が用いられる。この意味において、弱解は重要なのである。またたとえ方程式に微分可能な解が存在している場合でも、はじめに弱解の存在を示し、その後にその解が実際に十分滑らかであることを示す、という方法がしばしば有用となる。 (ja) 数学中, 微分方程的弱解或广义解是指对该方程中的微分可能不存在, 但是在某种精确定义的意义下满足该方程的解. 对于不同种类的微分方程, 弱解的定义性质也可能不同. 一类最重要的弱解基于广义函数的记号. 由于大量用于描述现实世界中现象的微分方程并不具有足够的光滑的解, 从而求解此类方程只能使用弱形式. 即使在方程确实具有可微解的情况下, 首先证明弱解的存在性然后证明弱解足够光滑是方便的. (zh) En matemáticas, una solución débil (también llamada solución generalizada) de una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales es una función en la cual las derivadas que aparecen en la ecuación pueden no todas existir aunque se considera que satisfacen la ecuación en algún sentido definido con precisión. Hay muchas definiciones diferentes de la solución débil, apropiadas para diferentes clases de ecuaciones. Una de las más importantes están basadas sobre la noción de distribuciones. (es) In der Mathematik ist eine schwache Lösung einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung, auch verallgemeinerte Lösung genannt, eine Funktion, für die zwar möglicherweise nicht alle Ableitungen existieren, die aber dennoch in einem präzisen Sinn als Lösung der Gleichung angesehen werden kann. Es gibt viele verschiedene Definitionen schwacher Lösungen, die jeweils für verschiedene Klassen von Gleichungen geeignet sind, eine der wichtigsten baut auf dem Begriff der Distribution auf. (de) In mathematics, a weak solution (also called a generalized solution) to an ordinary or partial differential equation is a function for which the derivatives may not all exist but which is nonetheless deemed to satisfy the equation in some precisely defined sense. There are many different definitions of weak solution, appropriate for different classes of equations. One of the most important is based on the notion of distributions. (en) |
| rdfs:label | Schwache Lösung (de) Αδύναμη λύση (el) Solución débil (es) 弱解 (ja) Weak solution (en) 弱解 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Weak solution yago-res:Weak solution wikidata:Weak solution dbpedia-de:Weak solution dbpedia-el:Weak solution dbpedia-es:Weak solution dbpedia-fa:Weak solution dbpedia-ja:Weak solution dbpedia-zh:Weak solution https://global.dbpedia.org/id/4xeMf |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Weak_solution?oldid=1101994228&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Weak_solution |
| is dbo:influenced of | dbr:Olga_Oleinik |
| is dbo:knownFor of | dbr:Olga_Oleinik |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Generalised_solution dbr:Generalized_solution |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quasiconformal_mapping dbr:Bounded_variation dbr:Vladimir_Mazya dbr:Degasperis–Procesi_equation dbr:List_of_partial_differential_equation_topics dbr:Weak_formulation dbr:Peakon dbr:Elliptic_operator dbr:Generalized_function dbr:Gerhard_Huisken dbr:Conservation_form dbr:Louis_Nirenberg dbr:Sobolev_space dbr:Sturm–Liouville_theory dbr:François_Golse dbr:Fundamental_lemma_of_calculus_of_variations dbr:Harnack's_inequality dbr:Lax–Wendroff_theorem dbr:Lions–Lax–Milgram_theorem dbr:Euler_equations_(fluid_dynamics) dbr:Hahn–Banach_theorem dbr:Harmonic_map dbr:Inverse_mean_curvature_flow dbr:Jean_Leray dbr:Babuška–Lax–Milgram_theorem dbr:Terence_Tao dbr:John_Forbes_Nash_Jr. dbr:Laplace's_equation dbr:Trace_operator dbr:Free_boundary_problem dbr:Metric_space dbr:Olga_Oleinik dbr:Sergei_Sobolev dbr:Weakly_harmonic_function dbr:Navier–Stokes_existence_and_smoothness dbr:Weyl's_lemma_(Laplace_equation) dbr:Weak_derivative dbr:P-Laplacian dbr:Viscosity_solution dbr:Generalised_solution dbr:Generalized_solution |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Weak_solution |