Hahn–Banach theorem (original) (raw)
هي إحدى النظريات الأساسية للتحليل الدالي، وسميت على اسمي من صاغاها: العالم النمساوى Hans Hahn والعالم البولندي ستيفان باناخ Stefan Banach.
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|---|---|
| dbo:abstract | هي إحدى النظريات الأساسية للتحليل الدالي، وسميت على اسمي من صاغاها: العالم النمساوى Hans Hahn والعالم البولندي ستيفان باناخ Stefan Banach. (ar) Hahnova–Banachova věta je věta z funkcionální analýzy, která tvrdí, že za jistých podmínek lze lineární funkcionál definovaný na nějakém podprostoru rozšířit na celý prostor tak, že se přitom nezmění jeho norma. Větu uveřejnili Hans Hahn a Stefan Banach koncem 20. let 20. století. Existuje celá řada vzájemně více či méně ekvivalentních formulací této věty či jejích blízkých důsledků, které se často označují rovněž jako Hahnova–Banachova věta. Zde uvádíme formulaci, kterou použil v knize Analýza v reálném a komplexním oboru: Nechť je podprostor normovaného lineárního prostoru a je omezený lineární funkcionál na . Potom existuje omezený lineární funkcionál na prostoru , který je rozšířením a platí . Slovo rozšíření zde znamená, že patří do definičního oboru funkcionálu a oba funkcionály se na tomto podprostoru rovnají. Norma funkcionálu se definuje jako supremum podílu přes všechny nenulové body definičního oboru. Hahnova–Banachova věta v této formulaci nevyžaduje, aby podprostor byl uzavřený, a platí bez ohledu na to, zda použité skaláry jsou reálná čísla či komplexní čísla. (cs) El Teorema de Hahn-Banach és un teorema matemàtic de l'àrea d'Anàlisi funcional, dins la que ocupa un lloc important. Té principalment dues formes: la forma analítica i la forma geomètrica. La forma analítica afirma l'existència d'extensions de formes lineals, en espais vectorials, que compleixin una certa desigualtat respecte a una sub-norma (o una semi-norma o una norma). La forma geomètrica afirma l'existència, també en espais vectorials, d'hiperplans afins tancats que separin a parelles de conjunts convexos disjunts. Podríem dir que aquest teorema permet d'obtenir en dimensió infinita resultats d'extensió de formes lineals que en dimensió finita serien molt més senzills, utilitzant bases i extensió de bases. Totes les demostracions d'aquest teorema utilitzen de manera essencial l'axioma de Zorn, excepte en el cas d'espais de Hilbert, que inclou en particular el cas dels espais de dimensió finita. Aquest teorema rep el seu nom dels matemàtics Hans Hahn i Stefan Banach, que el van provar independentment a finals de la dècada de 1920, tot i que existeix una demostració anterior (1912) deguda a Eduard Helly. (ca) Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis.Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen.Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt. Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z. B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman. Der Satz wurde im Wesentlichen schon 1912 von Eduard Helly bewiesen. Hahn erwähnt Helly in seiner Arbeit von 1927 nicht, wohl aber Banach in seiner Arbeit von 1929, wenn auch nicht in Zusammenhang mit dem Satz selbst. Beide verwenden aber die Ungleichung von Helly. Die Benennung nach Hahn und Banach tauchte zuerst in einer Arbeit von Frederic Bohnenblust und A. Sobcyzk, die den Satz auf komplexe Räume übertrugen. Ein anderer Beweis des Satzes von Hahn-Banach, der nicht die Ungleichung von Helly verwendet, wurde 1941 von Jean Dieudonné gegeben. Die geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach findet sich in der Literatur auch unter dem Namen Satz von Minkowski-Ascoli-Mazur oder Satz von Ascoli-Mazur. (de) The Hahn–Banach theorem is a central tool in functional analysis. It allows the extension of bounded linear functionals defined on a subspace of some vector space to the whole space, and it also shows that there are "enough" continuous linear functionals defined on every normed vector space to make the study of the dual space "interesting". Another version of the Hahn–Banach theorem is known as the Hahn–Banach separation theorem or the hyperplane separation theorem, and has numerous uses in convex geometry. (en) En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920. El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas. (es) En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions. En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle. Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe. (fr) 数学におけるハーン–バナッハの定理（ハーン–バナッハのていり、英: Hahn–Banach theorem）は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間へ拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、の分野で多く用いられている。 定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合については、より早い段階（1912年）でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年にマルツェル・リースによって証明されていた。 (ja) In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn-Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato tali da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti. (it) In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Hahn-Banach een centrale stelling. De stelling van Hahn-Banach staat de uitbreiding van toe. Deze begrensde lineaire operatoren worden gedefinieerd op een deelruimte, die bestaat uit een aantal vectorruimten, op de gehele ruimten. De stelling laat ook zien dat er "genoeg" continue lineaire functionalen zijn gedefinieerd op elke genormeerde vectorruimte om de studie van de duale vectorruimten interessant te maken. Een andere versie van de stelling van Hahn-Banach staat bekend als de scheidingsstelling van Hahn-Banach (of de scheiden van het hypervlak stelling) en heeft tal van toepassingen in de convexe meetkunde. De stelling is vernoemd naar Hans Hahn en Stefan Banach, die de stelling eind jaren twintig van de twintigste eeuw onafhankelijk van elkaar bewezen. Ironisch genoeg werd de stelling al eerder, in 1912, door Eduard Helly bewezen. (nl) 함수해석학에서 한-바나흐 정리(Hahn-Banach定理, 영어: Hahn–Banach theorem)는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다. (ko) Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku. Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej. (pl) Inom funktionalanalys, en gren av matematiken, är Hahn-Banachs sats ett ofta använt resultat. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach och Hans Hahn. (sv) Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности * Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты; * Теорему о разделении выпуклых множеств; * Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала. (ru) O Teorema de Hahn-Banach é um dos principais resultados da Análise Funcional na Matemática. O Teorema apresenta condições para que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial possam ser estendidos para todo o espaço. Aplicado para espaços normados, garante que exista um determinado funcional linear, contribuindo para a Teoria de Espaços Duais, que representa uma importante área da Teoria de Espaços Normados. O Teorema foi inicialmente deduzido por H. Hahn (1927). Foi então apresentado em sua forma geral por Stefan Banach (1929) e generalizado para espaços vetoriais complexos por H. F. Bohnenblust e A. Sobczyk (1938). (pt) Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір. (uk) 在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。 (zh) |
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| dbp:mathStatement | Let be a sublinear function on a real vector space let be any subset of and let be map. If there exist positive real numbers and such that then there exists a linear functional on such that on and on (en) Let be a vector subspace of a locally convex topological vector space and be a non-empty open convex subset disjoint from Then there exists a continuous linear functional on such that for all and on (en) Suppose is a Hausdorff locally convex TVS over the field and is a vector subspace of that is TVS–isomorphic to for some set Then is a closed and complemented vector subspace of (en) Let be vectors in a real or complex normed space and let be scalars also indexed by There exists a continuous linear functional on such that for all if and only if there exists a such that for any choice of scalars where all but finitely many are the following holds: (en) A real Banach space is reflexive if and only if every pair of non-empty disjoint closed convex subsets, one of which is bounded, can be strictly separated by a hyperplane. (en) If and are vector spaces over the same field and if be a linear map defined on a vector subspace of then there exists a linear map that extends (en) Let be a sublinear function on a real vector space let be a linear functional on a vector subspace of such that on and let be any subset of Then there exists a linear functional on that extends satisfies on and is maximal on in the following sense: if is a linear functional on that extends and satisfies on then on implies on (en) Let be a vector subspace of the topological vector space and suppose is a non-empty convex open subset of with Then there is a closed hyperplane that contains but remains disjoint from (en) Let be a sublinear function on a real vector space let a linear functional on a proper vector subspace such that on , and let be a vector in . There exists a linear extension of such that on (en) Let and be convex non-empty disjoint subsets of a real topological vector space * If is open then and are separated by a closed hyperplane. Explicitly, this means that there exists a continuous linear map and such that for all If both and are open then the right-hand side may be taken strict as well. * If is locally convex, is compact, and closed, then and are strictly separated: there exists a continuous linear map and such that for all If is complex then the same claims hold, but for the real part of (en) If is a seminorm defined on a vector subspace of and if is a seminorm on such that then there exists a seminorm on such that on and on (en) Let a scalar-valued function on a subset of a topological vector space Then there exists a continuous linear functional on extending if and only if there exists a continuous seminorm on such that for all positive integers and all finite sequences of scalars and elements of (en) If is an absorbing disk in a real or complex vector space and if be a linear functional defined on a vector subspace of such that on then there exists a linear functional on extending such that on (en) Suppose a seminorm on a vector space over the field which is either or If is a linear functional on a vector subspace such that then there exists a linear functional such that (en) Let and be non-empty convex subsets of a real locally convex topological vector space If and then there exists a continuous linear functional on such that and for all . (en) Let be a sublinear function on a real or complex vector space let be any set, and let and be any maps. The following statements are equivalent: # there exists a real-valued linear functional on such that on and on ; # for any finite sequence of non-negative real numbers, and any sequence of elements of (en) Let be locally convex topological vector space over , a vector subspace of , and a continuous linear functional on Then has a continuous linear extension to all of . If the topology on arises from a norm, then the norm of is preserved by this extension. (en) |
| dbp:name | Lemma (en) Theorem (en) Corollary (en) Proposition (en) Continuous extensions on locally convex spaces (en) |
| dbp:note | Andenaes, 1970 (en) Separation of a subspace and an open convex set (en) The functional problem (en) |
| dbp:proof | Since is a complete TVS so is and since any complete subset of a Hausdorff TVS is closed, is a closed subset of Let be a TVS isomorphism, so that each is a continuous surjective linear functional. By the Hahn–Banach theorem, we may extend each to a continuous linear functional on Let so is a continuous linear surjection such that its restriction to is Let which is a continuous linear map whose restriction to is where denotes the identity map on This shows that is a continuous linear projection onto . Thus is complemented in and in the category of TVSs. (en) The set of all possible dominated linear extensions of are partially ordered by extension of each other, so there is a maximal extension By the codimension-1 result, if is not defined on all of then it can be further extended. Thus must be defined everywhere, as claimed. (en) Given any real number the map defined by is always a linear extension of to but it might not satisfy It will be shown that can always be chosen so as to guarantee that which will complete the proof. If then which implies So define where are real numbers. To guarantee it suffices that because then satisfies "the decisive inequality" To see that follows, assume and substitute in for both and to obtain If then the right hand side equals so that multiplying by gives (en) |
| dbp:refs | * (en) |
| dbp:title | Proof (en) Hahn–Banach theorem (en) Proof of dominated extension theorem using Zorn's lemma (en) |
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| rdfs:comment | هي إحدى النظريات الأساسية للتحليل الدالي، وسميت على اسمي من صاغاها: العالم النمساوى Hans Hahn والعالم البولندي ستيفان باناخ Stefan Banach. (ar) The Hahn–Banach theorem is a central tool in functional analysis. It allows the extension of bounded linear functionals defined on a subspace of some vector space to the whole space, and it also shows that there are "enough" continuous linear functionals defined on every normed vector space to make the study of the dual space "interesting". Another version of the Hahn–Banach theorem is known as the Hahn–Banach separation theorem or the hyperplane separation theorem, and has numerous uses in convex geometry. (en) En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920. El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas. (es) En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions. En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle. Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe. (fr) 数学におけるハーン–バナッハの定理（ハーン–バナッハのていり、英: Hahn–Banach theorem）は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間へ拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、の分野で多く用いられている。 定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合については、より早い段階（1912年）でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年にマルツェル・リースによって証明されていた。 (ja) In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn-Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato tali da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti. (it) 함수해석학에서 한-바나흐 정리(Hahn-Banach定理, 영어: Hahn–Banach theorem)는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다. (ko) Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku. Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej. (pl) Inom funktionalanalys, en gren av matematiken, är Hahn-Banachs sats ett ofta använt resultat. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach och Hans Hahn. (sv) Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности * Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты; * Теорему о разделении выпуклых множеств; * Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала. (ru) Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір. (uk) 在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。 (zh) El Teorema de Hahn-Banach és un teorema matemàtic de l'àrea d'Anàlisi funcional, dins la que ocupa un lloc important. Té principalment dues formes: la forma analítica i la forma geomètrica. La forma analítica afirma l'existència d'extensions de formes lineals, en espais vectorials, que compleixin una certa desigualtat respecte a una sub-norma (o una semi-norma o una norma). La forma geomètrica afirma l'existència, també en espais vectorials, d'hiperplans afins tancats que separin a parelles de conjunts convexos disjunts. (ca) Hahnova–Banachova věta je věta z funkcionální analýzy, která tvrdí, že za jistých podmínek lze lineární funkcionál definovaný na nějakém podprostoru rozšířit na celý prostor tak, že se přitom nezmění jeho norma. Větu uveřejnili Hans Hahn a Stefan Banach koncem 20. let 20. století. Existuje celá řada vzájemně více či méně ekvivalentních formulací této věty či jejích blízkých důsledků, které se často označují rovněž jako Hahnova–Banachova věta. Zde uvádíme formulaci, kterou použil v knize Analýza v reálném a komplexním oboru: (cs) Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis.Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen.Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt. (de) In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Hahn-Banach een centrale stelling. De stelling van Hahn-Banach staat de uitbreiding van toe. Deze begrensde lineaire operatoren worden gedefinieerd op een deelruimte, die bestaat uit een aantal vectorruimten, op de gehele ruimten. De stelling laat ook zien dat er "genoeg" continue lineaire functionalen zijn gedefinieerd op elke genormeerde vectorruimte om de studie van de duale vectorruimten interessant te maken. Een andere versie van de stelling van Hahn-Banach staat bekend als de scheidingsstelling van Hahn-Banach (of de scheiden van het hypervlak stelling) en heeft tal van toepassingen in de convexe meetkunde. De stelling is vernoemd naar Hans Hahn en Stefan Banach, die de stelling eind jaren twintig van de tw (nl) O Teorema de Hahn-Banach é um dos principais resultados da Análise Funcional na Matemática. O Teorema apresenta condições para que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial possam ser estendidos para todo o espaço. Aplicado para espaços normados, garante que exista um determinado funcional linear, contribuindo para a Teoria de Espaços Duais, que representa uma importante área da Teoria de Espaços Normados. (pt) |
| rdfs:label | Hahn–Banach theorem (en) مبرهنة هان-باناخ (ar) Teorema de Hahn-Banach (ca) Hahnova–Banachova věta (cs) Satz von Hahn-Banach (de) Teorema de Hahn–Banach (es) Teorema di Hahn-Banach (it) Théorème de Hahn-Banach (fr) ハーン–バナッハの定理 (ja) 한-바나흐 정리 (ko) Stelling van Hahn-Banach (nl) Twierdzenie Hahna-Banacha (pl) Teorema de Hahn-Banach (pt) Теорема Хана — Банаха (ru) Теорема Гана — Банаха (uk) Hahn-Banachs sats (sv) 哈恩－巴拿赫定理 (zh) |
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