Distribution (mathematics) (original) (raw)
Zobecněné funkce, neboli distribuce, představují velmi užitečný nástroj nejen v matematice, ale především v pokročilých partiích moderní fyziky. Jedná se o spojité lineární funkcionály definované na speciálních množinách funkcí. Na těchto funkcionálech jsou dále zavedeny dodatečné operace jako derivace, konvoluce či Fourierova transformace. Teorii zobecněných funkcí vytvořil a rozvinul francouzský matematik Laurent Schwartz. Již předtím se ale objevily intuitivní koncepty objektů s vlastnostmi zobecněných funkcí. Typickým příkladem je Diracova -funkce.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En anàlisi matemàtica, les distribucions (o funcions generalitzades) són objectes que generalitzen funcions. Les distribucions fan possible diferenciar funcions la derivada de les quals no existeix en el sentit clàssic. En particular, qualsevol funció té una derivada distribucional. Les distribucions es fan servir àmpliament per formular solucions generalitzades d'equacions diferencials en derivades parcials. On una solució clàssica pot no existir o ser molt difícil d'establir, una solució de distribució a una equació diferencial és sovint molt més fàcil. Les distribucions són també importants en física i enginyeria on molts problemes condueixen de manera natural a equacions diferencials les solucions o les condicions inicials de les quals són distribucions, com la distribució de delta de Dirac. Les funcions generalitzades van ser introduïdes per Serguei Sóbolev el 1935. Varen ser re introduïdes durant els últims anys de la dècada del 1940 per Laurent Schwartz, qui va desenvolupar una teoria completa de distribucions. (ca) Zobecněné funkce, neboli distribuce, představují velmi užitečný nástroj nejen v matematice, ale především v pokročilých partiích moderní fyziky. Jedná se o spojité lineární funkcionály definované na speciálních množinách funkcí. Na těchto funkcionálech jsou dále zavedeny dodatečné operace jako derivace, konvoluce či Fourierova transformace. Teorii zobecněných funkcí vytvořil a rozvinul francouzský matematik Laurent Schwartz. Již předtím se ale objevily intuitivní koncepty objektů s vlastnostmi zobecněných funkcí. Typickým příkladem je Diracova -funkce. (cs) الإشارات التجريبية هي إشارات تبث في مداخل نظام نريد التعرف عليه من خلال ردة فعله على هذه الإشارات. من أهم دالات التجريب أو إشارات التجريب دالة ديراك أو ودالة هيفيسايد أو حيث أنه نظريا في حالة استعمال إشارة ديراك فإن مخرج النظام يكون دالة التحويل ذاتها إلا أنه في الواقع الفيزيائي لا يمكن استعمال دالات ديراك بما أنها عبارة عن قمة أو سهم لا متناهي في العلو لذلك يتم اللجوء إلى دالة هيفيسايد أو إشارات مثلثية (أي sin و cos) التي تمكن هي الأخرى من معرفة دالة تحويل نظام مباشرة إذا كان خطي. (ar) Eine Distribution bezeichnet im Bereich der Mathematik eine besondere Art eines Funktionals, also ein Objekt aus der Funktionalanalysis. Die Theorie der Distributionen ermöglicht es, eine Art von Lösungen für Differentialgleichungen zu definieren, die im klassischen Sinn nicht hinreichend oft differenzierbar oder gar nicht definiert sind (siehe distributionelle Lösung). In diesem Sinne können Distributionen als eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion angesehen werden. Es gibt partielle Differentialgleichungen, die keine , aber Lösungen im distributionellen Sinn haben. Die Theorie der Distributionen ist daher insbesondere in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften wichtig: Viele der dort untersuchten Probleme führen nämlich zu Differentialgleichungen, die nur mit Hilfe der Theorie der Distributionen gelöst werden konnten. Der Mathematiker Laurent Schwartz war maßgeblich an der Untersuchung der Theorie der Distributionen beteiligt. Im Jahr 1950 veröffentlichte er den ersten systematischen Zugang zu dieser Theorie. Für seine Arbeiten über die Distributionen erhielt er die Fields-Medaille. (de) En analitiko, distribucio estas objekto simila al funkcio sed eble kun neordinaraj punktoj — ekzemple, la delta distribucio . Teknike, distribucio estas kontinua lineara sur ia spaco de "bonaj" funkcioj (por la preciza difino de "boneco", vidu sube). La teorio de distribucioj estas lineara en senco ke oni povas fari linearan operaciojn je distribuoj (ekz., adicion, derivon, konverton de Fourier, k.t.p.), sed oni ne povas, ĝenerale, fari nelinearajn operaciojn (ekz., multiplikon). (eo) En análisis matemático, una distribución o función generalizada es un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida. Además la noción de distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales. Su uso es indispensable en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería. Así, por ejemplo, se utiliza en el análisis de Fourier para obtener soluciones generalizadas de ecuaciones en derivadas parciales. También juegan un papel muy importante en electrodinámica cuántica y en procesamiento de señales. Las "funciones generalizadas" fueron introducidas por Serguéi Sóbolev en 1935. Independientemente y a finales de la década de 1940 Laurent Schwartz formalizó la teoría de distribuciones, lo que le valió la medalla Fields en 1950. (es) Distributions, also known as Schwartz distributions or generalized functions, are objects that generalize the classical notion of functions in mathematical analysis. Distributions make it possible to differentiate functions whose derivatives do not exist in the classical sense. In particular, any locally integrable function has a distributional derivative. Distributions are widely used in the theory of partial differential equations, where it may be easier to establish the existence of distributional solutions than classical solutions, or where appropriate classical solutions may not exist. Distributions are also important in physics and engineering where many problems naturally lead to differential equations whose solutions or initial conditions are singular, such as the Dirac delta function. A function is normally thought of as acting on the points in the function domain by "sending" a point in its domain to the point Instead of acting on points, distribution theory reinterprets functions such as as acting on test functions in a certain way. In applications to physics and engineering, test functions are usually infinitely differentiable complex-valued (or real-valued) functions with compact support that are defined on some given non-empty open subset . (Bump functions are examples of test functions.) The set of all such test functions forms a vector space that is denoted by or Most commonly encountered functions, including all continuous maps if using can be canonically reinterpreted as acting via "integration against a test function." Explicitly, this means that "acts on" a test function by "sending" it to the number which is often denoted by This new action of is a scalar-valued map, denoted by whose domain is the space of test functions This functional turns out to have the two defining properties of what is known as a distribution on : it is linear and also continuous when is given a certain topology called the canonical LF topology. The action of this distribution on a test function can be interpreted as a weighted average of the distribution on the support of the test function, even if the values of the distribution at a single point are not well-defined. Distributions like that arise from functions in this way are prototypical examples of distributions, but many cannot be defined by integration against any function. Examples of the latter include the Dirac delta function and distributions defined to act by integration of test functions against certain measures. It is nonetheless still possible to down to a simpler family of related distributions that do arise via such actions of integration. More generally, a distribution on is by definition a linear functional on that is continuous when is given a topology called the canonical LF topology. This leads to the space of (all) distributions on , usually denoted by (note the prime), which by definition is the space of all distributions on (that is, it is the continuous dual space of ); it is these distributions that are the main focus of this article. Definitions of the appropriate topologies on spaces of test functions and distributions are given in the article on spaces of test functions and distributions. This article is primarily concerned with the definition of distributions, together with their properties and some important examples. (en) En analyse mathématique, une distribution (également appelée fonction généralisée) est un objet qui généralise la notion de fonction et de mesure. La théorie des distributions étend la notion de dérivée à toutes les fonctions localement intégrables et au-delà, et est utilisée pour formuler des solutions à certaines équations aux dérivées partielles. Elles sont importantes en physique et en ingénierie où beaucoup de problèmes discontinus conduisent naturellement à des équations différentielles dont les solutions sont des distributions plutôt que des fonctions ordinaires. La théorie des distributions fut formalisée par le mathématicien français Laurent Schwartz et lui valut la médaille Fields en 1950. Son introduction utilise des notions d'algèbre linéaire et de topologie centrées autour de l'idée de dualité. Il faut chercher l'origine de cette théorie dans le calcul symbolique de Heaviside (1894) et Poincaré (1912), et dans l'introduction par les physiciens de la « fonction de Dirac » (1926). L'objectif a été alors de généraliser la notion de fonction, afin de donner un sens mathématique correct à ces objets manipulés par les physiciens, en gardant en plus la possibilité de faire des opérations telles que des dérivations, convolutions, transformées de Fourier ou de Laplace. Jacques Hadamard, Salomon Bochner et Sergueï Sobolev ont été les artisans successifs de cette œuvre dont le dernier volet est dû à Laurent Schwartz. Cette généralisation de la notion de fonction a été poursuivie en des directions diverses, et a notamment donné lieu à la notion d'hyperfonction due à Mikio Satō. Une autre voie a conduit aux (en), saluées par Laurent Schwartz lui-même comme étant la découverte du bon point de vue fonctoriel sur les distributions[réf. souhaitée]. En particulier, contrairement à ce qui se passe pour les distributions de Schwartz, la multiplication est enfin pleinement définie sur les distributions de Colombeau. La distribution de Dirac est un exemple intéressant de distribution car elle n'est pas une fonction, mais peut être représentée de façon informelle par une fonction dégénérée qui serait nulle sur tout son domaine de définition sauf en 0 et dont l'intégrale vaudrait 1. En réalité, de manière tout à fait stricte, elle est la limite au sens des distributions d'une suite de fonctions d'intégrale 1 et convergeant uniformément vers 0 sur tout compact ne contenant pas 0. Un tel objet mathématique est utile en physique ou en traitement du signal, mais aucune fonction ordinaire n'a ces propriétés. (fr) 함수해석학에서 분포(分布, 문화어: 초함수, 영어: distribution)는 함수와 확률 분포 등을, 디랙 델타 분포와 같이 특이점을 가질 수 있게 일반화한 것이다. (ko) 解析学におけるシュワルツ超函数（シュワルツちょうかんすう、英: distribution; 分布）あるいは超函数（英: generalized function; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。 広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって一貫した超函数論を展開するローラン・シュヴァルツによって再導入される。 超函数(distribution)の拡張の一つとして、佐藤超函数があるとみなすことができる。 (ja) In analisi matematica, le distribuzioni, note anche come funzioni generalizzate, sono oggetti che generalizzano il concetto di funzione. Rivestono grande importanza in diversi settori della fisica e dell'ingegneria, in cui molti problemi non continui conducono in modo naturale a equazioni differenziali le cui soluzioni sono distribuzioni. Nello spazio delle distribuzioni sono inclusi tutti gli abituali spazi funzionali, dalle funzioni continue a quelle integrabili secondo Lebesgue e non solo. Per esse la definizione di derivata può essere estesa in quella di derivata distribuzionale o debole in modo tale che ogni distribuzione sia derivabile e la sua derivata sia ancora una distribuzione. Questa caratteristica rende l'insieme delle distribuzioni l'ambiente ideale per formulare e studiare le equazioni differenziali alle derivate parziali, in particolare nella formulazione debole dei problemi differenziali classici. Il fisico Paul Dirac le utilizzò alla fine degli anni venti del '900 per i suoi studi sulla meccanica quantistica, pur non dandone una definizione rigorosa. La definizione matematica delle "funzioni generalizzate" fu successivamente formulata da Sergej L'vovič Sobolev nel 1935. La teoria delle distribuzioni venne poi sviluppata da Laurent Schwartz. La più importante delle funzioni generalizzate, che non sia una funzione ordinaria, è la cosiddetta delta di Dirac. (it) Teoria dystrybucji – dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych powstały w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadniczą była potrzeba rozszerzenia pojęcia funkcji zmiennej rzeczywistej na funkcje uogólnione, które niekoniecznie musiałyby mieć własności przynależne zwykłym funkcjom (np. różniczkowalność w zwykłym sensie), ale jednak dla których można by wprowadzić pojęcie pochodnych w sposób uogólniony. Funkcje uogólnione nazwano dystrybucjami. Działania wykonywane na dystrybucjach są odmienne od działań, jakie mają sens dla zwykłych funkcji. Np. mnożenie funkcji w wyniku daje inną funkcję, zaś takie działanie dla dystrybucji (np. dla delty Diraca) dawałoby funkcję zerową, co nie miałoby zastosowania. Zamiast tej operacji dla dystrybucji całkuje się ich iloczyn (czyli oblicza się tzw. splot) – w wyniku dostaje się inną dystrybucję. Z innych działań, typowych dla dystrybucji, jest np. wykonywanie transformaty Fouriera. Metody dystrybucyjne, jak obliczanie splotów, transformat itp. znajdują zastosowania m.in. w teorii równań różniczkowych, pozwalając znajdować ich uogólnione rozwiązania. Np. gdy warunki początkowe układów fizycznych są zadane funkcjami nieróżniczkowalnymi, jak w przypadku impulsowego włączenia prądu w układzie elektrycznym. Dzięki temu dystrybucje doskonale nadają się do opisu wielu rzeczywistych układów, których nie dałoby się opisać w ramach teorii zwykłych funkcji. (pl) Обобщённая фу́нкция, или распределе́ние, — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки.Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала XX века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике. Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру, который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщённой производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришёл выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщённых функций. Соболев и Шварц являются создателями теории распределений — обобщённых функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике. В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений. (ru) In de wiskunde is een distributie een generalisatie van het begrip functie. Distributies maken het mogelijk een afgeleide te bepalen van elke continue functie. Verder worden distributies gebruikt bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen, speciaal zoals die in de natuurkunde en techniek voorkomen in de beschrijving van niet-continue problemen. Een bekend voorbeeld van een distributie is de dirac deltapuls. Al in 1935 sprak Sergej Sobolev van gegeneraliseerde functies en onafhankelijk van hem formuleerde Laurent Schwartz in de jaren 40 een theorie over distributies. (nl) I matematisk analys är en distribution ett slags generaliserad funktion. Teorin för distributioner möjliggör en utökning av begreppet derivata till alla kontinuerliga funktioner och används för att formulera generaliserade lösningar till partiella differentialekvationer. Distributioner är viktiga inom fysiken och ingenjörsvetenskapen, där många icke-kontinuerliga problem naturligt leder till differentialekvationer vilkas lösningar är distributioner, till exempel Diracs delta-funktion. (sv) O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida em meados do século XX por Laurent Schwartz, que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields. (pt) 数学分析中，分布（distribution）是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入，因此又称施瓦兹分布（Schwartz distribution）、施瓦兹广义函数（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的函数概念：对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来表示方程的广义解函数，因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用，因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程，例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。 广义函数的概念最早由谢尔盖·索伯列夫在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人开始建立分布理论，首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。 (zh) Узагальнена фу́нкція або розподіл — математичне поняття, що узагальнює класичне поняття функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних, технічних і математичних задачах. Поняття узагальненої функції дає можливість виразити в математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як густина матеріальної точки, точкового заряду, точкового диполя, (просторову) густину простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т. п. З іншого боку, у понятті узагальненої функції знаходить висвітлення той факт, що реально не можна виміряти значення фізичної величини в точці, а можна вимірювати лише її середні значення в малих околах даної точки. Таким чином, метод узагальнених функцій слугує зручним і адекватним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин. Узагальнені функції було введено вперше наприкінці 20-х років XX ст. Діраком у його дослідженнях із квантової механіки, де він систематично використовує поняття δ-функції та її похідних. Основи математичної теорії узагальнених функцій були закладені Соболєвим при розв'язку задачі Коші для гіперболічних рівнянь, а в 50-х роках Шварц дав систематичний виклад теорії узагальнених функцій і вказав багато застосувань. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Bump.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://mi.mathnet.ru/msb5358 https://archive.org/details/introductiontofo0000stei |
| dbo:wikiPageID | 51955 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 127960 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123241352 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Prime_(symbol) dbr:Product_rule dbr:Projective_tensor_product dbr:Quantum_field_theory dbr:Schwartz_space dbr:Module_(mathematics) dbr:Montel_space dbr:Topological_embedding dbr:Topological_subspace dbr:Barrelled_space dbr:Bornological_space dbr:Bounded_set_(topological_vector_space) dbr:Derivative dbr:Algebra_(ring_theory) dbr:Algebraic_analysis dbc:Generalized_functions dbr:Almost_everywhere dbr:Holomorphic_function dbr:Path_integral_formulation dbr:Regularity_structures dbr:Relatively_compact dbr:Riesz_representation_theorem dbr:Vasily_Vladimirov dbr:Vector_space dbr:Inverse_function_theorem dbc:Articles_containing_proofs dbr:Compact_space dbr:Complement_(set_theory) dbr:Complete_topological_vector_space dbr:Complex_number dbr:Continuous_dual_space dbr:Continuous_function dbr:Continuous_linear_functional dbr:Continuous_linear_operator dbr:Convolution dbr:Convolution_theorem dbr:Mathematical_analysis dbr:Measure_(mathematics) dbr:Norm_(mathematics) dbr:Nuclear_space dbr:Transpose_of_a_linear_map dbr:Pullback_(differential_geometry) dbr:Closure_(topology) dbr:Engineering dbr:Fréchet_space dbr:Function_(mathematics) dbr:Functional_(mathematics) dbr:Gaussian_function dbr:Generalized_function dbr:Green's_function dbr:Bounded_operator dbr:Mollifier dbr:Multi-index_notation dbr:Convex_hull dbr:Angle_brackets dbc:Generalizations_of_the_derivative dbr:Linear_form dbr:Linear_operator dbr:Locally_convex_topological_vector_space dbr:Lp_space dbr:Sinc_function dbr:Singular_support dbr:Smooth_function dbr:Strong_dual_topology dbr:Submersion_(mathematics) dbr:Colombeau_algebra dbr:Comparison_of_topologies dbr:Dense_set dbr:Fubini's_theorem dbr:Functional_analysis dbr:Identity_element dbr:Kernel_(algebra) dbr:Partition_of_unity dbr:Physics dbr:Mackey_space dbr:Automorphism dbr:Banach_space dbr:Bandlimiting dbr:Cauchy_principal_value dbr:Topological_vector_space dbr:Topology dbr:Transpose dbr:Weak-*_topology dbr:Weak_topology dbr:Window_function dbr:Domain_of_a_function dbr:Lebesgue_measure dbr:Linear_map dbr:Smoothness dbr:Dual_system dbr:Euclidean_space dbr:Fluid_dynamics dbr:Fourier_transform dbr:Normable_space dbr:Normed_space dbr:Partial_differential_equation dbr:Causal_perturbation_theory dbr:Diffeomorphism dbr:Dirac_comb dbr:Titchmarsh_convolution_theorem dbr:Uniform_convergence dbr:Ultraviolet_divergence dbr:Radon_measure dbr:Regularization_(mathematics) dbr:Regularization_(physics) dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_action dbr:Heaviside_step_function dbr:Hermitian_adjoint dbr:Hilbert_space dbr:Jacobian_matrix_and_determinant dbr:Tensor_product dbr:Hyperfunction dbr:Strong_topology_(polar_topology) dbr:Surjective dbr:Associativity dbr:Abuse_of_notation dbc:Functional_analysis dbc:Smooth_functions dbr:LF-space dbr:Laurent_Schwartz dbr:Lebesgue_integration dbr:Support_(mathematics) dbr:Homeomorphism dbr:Jean-Michel_Bony dbr:Rectangular_function dbr:Dirac_delta_function dbr:Dirac_measure dbr:Martin_Hairer dbr:Bump_function dbr:Poisson_summation_formula dbr:Polar_topology dbr:Polynomial dbr:Spaces_of_test_functions_and_distributions dbr:Square-integrable dbr:Continuous_function_(topology) dbr:Continuously_differentiable dbr:Domain_(function) dbr:Schwartz_function dbr:Injective_function dbr:Injective_tensor_product dbr:Integral dbr:Integration_by_parts dbr:Integration_by_substitution dbr:Metrizable_topological_vector_space dbr:Mikio_Sato dbr:Natural_number dbr:Navier–Stokes_equations dbr:Net_(mathematics) dbr:Associative dbr:Nyquist–Shannon_sampling_theorem dbr:Open_mapping dbr:Open_set dbr:Real_number dbr:Reflexive_space dbr:Seminorm dbr:Separately_continuous dbr:Sequential_space dbr:Several_complex_variables dbr:Continuous_Fourier_transform dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Uniform_continuity dbr:Locally_convex dbr:Locally_integrable dbr:Wave_front_set dbr:Principle_of_locality dbr:Subspace_topology dbr:Injective dbr:Paley–Wiener_theorem dbr:Topological_space dbr:Paraproduct dbr:Rough_path dbr:Unit_disk dbr:Strong_dual_space dbr:LF_space dbr:Mackey_convergence dbr:Vector_subspace dbr:Weak*_topology dbr:Hypocontinuous dbr:Minkowski_sum dbr:Rapidly_decreasing dbr:Image_of_a_function dbr:Vladimir_Glaser dbr:Integral_(mathematics) dbr:Sequentially_continuous dbr:Dense_(topology) dbr:Multi-index dbr:Multi-indices dbr:Sheaf_theory dbr:TVS-isomorphism dbr:Henri_Epstein dbr:File:Bump.png |
| dbp:authorLink | Sergei Lvovich Sobolev (en) Vasilii Sergeevich Vladimirov (en) |
| dbp:em | 1.500000 (xsd:double) |
| dbp:first | Michael (en) V.S. (en) Sergei (en) |
| dbp:id | G/g043810 (en) G/g043820 (en) G/g043830 (en) G/g043840 (en) G/g130030 (en) |
| dbp:last | Vladimirov (en) Sobolev (en) Oberguggenberger (en) |
| dbp:left | true (en) |
| dbp:mathStatement | Let be a distribution on . For every multi-index there exists a continuous function on such that # any compact subset of intersects the support of only finitely many and # Moreover, if has finite order, then one can choose in such a way that only finitely many of them are non-zero. (en) Suppose is a distribution on with compact support . There exists a continuous function defined on and a multi-index such that where the derivatives are understood in the sense of distributions. That is, for all test functions on , (en) Let be a distribution on . There exists a sequence in such that each has compact support and every compact subset intersects the support of only finitely many and the sequence of partial sums defined by converges in to ; in other words we have: Recall that a sequence converges in if and only if it converges pointwise. (en) Let and If then (en) Let be a collection of open subsets of and let if and only if for each the restriction of to is equal to 0. (en) Suppose has finite order and Given any open subset of containing the support of there is a family of Radon measures in , such that for very and (en) The union of all open subsets of in which a distribution vanishes is an open subset of in which vanishes. (en) Suppose is a Radon measure, where let be a neighborhood of the support of and let There exists a family of locally functions on such that for every and Furthermore, is also equal to a finite sum of derivatives of continuous functions on where each derivative has order (en) Let be a collection of open subsets of For each let and suppose that for all the restriction of to is equal to the restriction of to . Then there exists a unique such that for all the restriction of to is equal to (en) Let be a linear differential operator with smooth coefficients in Then for all we have which is equivalent to: (en) Suppose is a distribution on with compact support and let be an open subset of containing . Since every distribution with compact support has finite order, take to be the order of and define There exists a family of continuous functions defined on with support in such that where the derivatives are understood in the sense of distributions. That is, for all test functions on , (en) |
| dbp:name | Lemma (en) Theorem (en) Corollary (en) Theorem. (en) |
| dbp:text | is called the and it may also be denoted by Unless indicated otherwise, it is endowed with a topology called , whose definition is given in the article: Spaces of test functions and distributions. (en) Assumption: For any compact subset we will henceforth assume that is endowed with the subspace topology it inherits from the Fréchet space (en) By definition, a is a continuous linear functional on Said differently, a distribution on is an element of the continuous dual space of when is endowed with its canonical LF topology. (en) Definition: Elements of are called ' on and is called the ' on . We will use both and to denote this space. (en) The vector space is endowed with the locally convex topology induced by any one of the four families of seminorms described above. This topology is also equal to the vector topology induced by of the seminorms in (en) Suppose and is an arbitrary compact subset of Suppose an integer such that and is a multi-index with length For define: while for define all the functions above to be the constant map. (en) |
| dbp:title | Proof (en) Generalized function (en) Generalized function algebras (en) Generalized function, derivative of a (en) Generalized functions, product of (en) Generalized functions, space of (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:! dbt:About dbt:Anchor dbt:Annotated_link dbt:Block_indent dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:Clarify dbt:Em dbt:Harvtxt dbt:ISBN dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Redirect dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:TOCLimit dbt:Visible_anchor dbt:Very_long dbt:Collapse_bottom dbt:Collapse_top dbt:Harvs dbt:Functional_analysis dbt:Math_theorem dbt:Narici_Beckenstein_Topological_Vector_Spaces dbt:Rudin_Walter_Functional_Analysis dbt:Schaefer_Wolff_Topological_Vector_Spaces dbt:Topological_vector_spaces dbt:Trèves_François_Topological_vector_spaces,_distributions_and_kernels dbt:Horváth_Topological_Vector_Spaces_and_Distributions_Volume_1_1966 dbt:Kolmogorov_Fomin_Elements_of_the_Theory_of_Functions_and_Functional_Analysis |
| dbp:year | 1936 (xsd:integer) 2001 (xsd:integer) |
| dcterms:subject | dbc:Generalized_functions dbc:Articles_containing_proofs dbc:Generalizations_of_the_derivative dbc:Functional_analysis dbc:Smooth_functions |
| gold:hypernym | dbr:Objects |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatPartialDifferentialEquations yago:WikicatSmoothFunctions yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:DifferentialEquation106670521 yago:Equation106669864 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:PartialDifferentialEquation106670866 yago:Relation100031921 yago:WikicatGeneralizedFunctions dbo:Planet yago:Statement106722453 |
| rdfs:comment | Zobecněné funkce, neboli distribuce, představují velmi užitečný nástroj nejen v matematice, ale především v pokročilých partiích moderní fyziky. Jedná se o spojité lineární funkcionály definované na speciálních množinách funkcí. Na těchto funkcionálech jsou dále zavedeny dodatečné operace jako derivace, konvoluce či Fourierova transformace. Teorii zobecněných funkcí vytvořil a rozvinul francouzský matematik Laurent Schwartz. Již předtím se ale objevily intuitivní koncepty objektů s vlastnostmi zobecněných funkcí. Typickým příkladem je Diracova -funkce. (cs) الإشارات التجريبية هي إشارات تبث في مداخل نظام نريد التعرف عليه من خلال ردة فعله على هذه الإشارات. من أهم دالات التجريب أو إشارات التجريب دالة ديراك أو ودالة هيفيسايد أو حيث أنه نظريا في حالة استعمال إشارة ديراك فإن مخرج النظام يكون دالة التحويل ذاتها إلا أنه في الواقع الفيزيائي لا يمكن استعمال دالات ديراك بما أنها عبارة عن قمة أو سهم لا متناهي في العلو لذلك يتم اللجوء إلى دالة هيفيسايد أو إشارات مثلثية (أي sin و cos) التي تمكن هي الأخرى من معرفة دالة تحويل نظام مباشرة إذا كان خطي. (ar) En analitiko, distribucio estas objekto simila al funkcio sed eble kun neordinaraj punktoj — ekzemple, la delta distribucio . Teknike, distribucio estas kontinua lineara sur ia spaco de "bonaj" funkcioj (por la preciza difino de "boneco", vidu sube). La teorio de distribucioj estas lineara en senco ke oni povas fari linearan operaciojn je distribuoj (ekz., adicion, derivon, konverton de Fourier, k.t.p.), sed oni ne povas, ĝenerale, fari nelinearajn operaciojn (ekz., multiplikon). (eo) 함수해석학에서 분포(分布, 문화어: 초함수, 영어: distribution)는 함수와 확률 분포 등을, 디랙 델타 분포와 같이 특이점을 가질 수 있게 일반화한 것이다. (ko) 解析学におけるシュワルツ超函数（シュワルツちょうかんすう、英: distribution; 分布）あるいは超函数（英: generalized function; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。 広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって一貫した超函数論を展開するローラン・シュヴァルツによって再導入される。 超函数(distribution)の拡張の一つとして、佐藤超函数があるとみなすことができる。 (ja) In de wiskunde is een distributie een generalisatie van het begrip functie. Distributies maken het mogelijk een afgeleide te bepalen van elke continue functie. Verder worden distributies gebruikt bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen, speciaal zoals die in de natuurkunde en techniek voorkomen in de beschrijving van niet-continue problemen. Een bekend voorbeeld van een distributie is de dirac deltapuls. Al in 1935 sprak Sergej Sobolev van gegeneraliseerde functies en onafhankelijk van hem formuleerde Laurent Schwartz in de jaren 40 een theorie over distributies. (nl) I matematisk analys är en distribution ett slags generaliserad funktion. Teorin för distributioner möjliggör en utökning av begreppet derivata till alla kontinuerliga funktioner och används för att formulera generaliserade lösningar till partiella differentialekvationer. Distributioner är viktiga inom fysiken och ingenjörsvetenskapen, där många icke-kontinuerliga problem naturligt leder till differentialekvationer vilkas lösningar är distributioner, till exempel Diracs delta-funktion. (sv) O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida em meados do século XX por Laurent Schwartz, que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields. (pt) 数学分析中，分布（distribution）是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入，因此又称施瓦兹分布（Schwartz distribution）、施瓦兹广义函数（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的函数概念：对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来表示方程的广义解函数，因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用，因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程，例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。 广义函数的概念最早由谢尔盖·索伯列夫在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人开始建立分布理论，首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。 (zh) En anàlisi matemàtica, les distribucions (o funcions generalitzades) són objectes que generalitzen funcions. Les distribucions fan possible diferenciar funcions la derivada de les quals no existeix en el sentit clàssic. En particular, qualsevol funció té una derivada distribucional. Les distribucions es fan servir àmpliament per formular solucions generalitzades d'equacions diferencials en derivades parcials. On una solució clàssica pot no existir o ser molt difícil d'establir, una solució de distribució a una equació diferencial és sovint molt més fàcil. Les distribucions són també importants en física i enginyeria on molts problemes condueixen de manera natural a equacions diferencials les solucions o les condicions inicials de les quals són distribucions, com la distribució de delta de (ca) Distributions, also known as Schwartz distributions or generalized functions, are objects that generalize the classical notion of functions in mathematical analysis. Distributions make it possible to differentiate functions whose derivatives do not exist in the classical sense. In particular, any locally integrable function has a distributional derivative. (en) Eine Distribution bezeichnet im Bereich der Mathematik eine besondere Art eines Funktionals, also ein Objekt aus der Funktionalanalysis. Die Theorie der Distributionen ermöglicht es, eine Art von Lösungen für Differentialgleichungen zu definieren, die im klassischen Sinn nicht hinreichend oft differenzierbar oder gar nicht definiert sind (siehe distributionelle Lösung). In diesem Sinne können Distributionen als eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion angesehen werden. Es gibt partielle Differentialgleichungen, die keine , aber Lösungen im distributionellen Sinn haben. Die Theorie der Distributionen ist daher insbesondere in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften wichtig: Viele der dort untersuchten Probleme führen nämlich zu Differentialgleichungen, die nur mit Hilfe der Th (de) En análisis matemático, una distribución o función generalizada es un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida. Además la noción de distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales. Su uso es indispensable en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería. Así, por ejemplo, se utiliza en el análisis de Fourier para obtener soluciones generalizadas de ecuaciones en derivadas parciales. También juegan un papel muy importante en electrodinámica cuántica y en procesamiento de señales. (es) En analyse mathématique, une distribution (également appelée fonction généralisée) est un objet qui généralise la notion de fonction et de mesure. La théorie des distributions étend la notion de dérivée à toutes les fonctions localement intégrables et au-delà, et est utilisée pour formuler des solutions à certaines équations aux dérivées partielles. Elles sont importantes en physique et en ingénierie où beaucoup de problèmes discontinus conduisent naturellement à des équations différentielles dont les solutions sont des distributions plutôt que des fonctions ordinaires. (fr) In analisi matematica, le distribuzioni, note anche come funzioni generalizzate, sono oggetti che generalizzano il concetto di funzione. Rivestono grande importanza in diversi settori della fisica e dell'ingegneria, in cui molti problemi non continui conducono in modo naturale a equazioni differenziali le cui soluzioni sono distribuzioni. (it) Teoria dystrybucji – dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych powstały w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadniczą była potrzeba rozszerzenia pojęcia funkcji zmiennej rzeczywistej na funkcje uogólnione, które niekoniecznie musiałyby mieć własności przynależne zwykłym funkcjom (np. różniczkowalność w zwykłym sensie), ale jednak dla których można by wprowadzić pojęcie pochodnych w sposób uogólniony. Funkcje uogólnione nazwano dystrybucjami. (pl) Обобщённая фу́нкция, или распределе́ние, — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. (ru) Узагальнена фу́нкція або розподіл — математичне поняття, що узагальнює класичне поняття функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних, технічних і математичних задачах. Поняття узагальненої функції дає можливість виразити в математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як густина матеріальної точки, точкового заряду, точкового диполя, (просторову) густину простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т. п. (uk) |
| rdfs:label | توزيع (رياضيات) (ar) Distribució (matemàtiques) (ca) Distribuce (matematika) (cs) Distribution (Mathematik) (de) Distribucio (eo) Teoría de distribuciones (es) Distribution (mathematics) (en) Distribution (mathématiques) (fr) Distribuzione (matematica) (it) 분포 (해석학) (ko) Distributie (wiskunde) (nl) シュワルツ超函数 (ja) Teoria dystrybucji (pl) Teoria das distribuições (pt) Обобщённая функция (ru) Distribution (sv) Узагальнена функція (uk) 分布 (数学分析) (zh) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Continuous_linear_functional dbr:LF-space dbr:Distributions dbr:Spaces_of_test_functions |
| owl:sameAs | freebase:Distribution (mathematics) wikidata:Distribution (mathematics) dbpedia-ar:Distribution (mathematics) dbpedia-ca:Distribution (mathematics) dbpedia-cs:Distribution (mathematics) http://cv.dbpedia.org/resource/Пĕтĕмĕшле_функци dbpedia-de:Distribution (mathematics) dbpedia-eo:Distribution (mathematics) dbpedia-es:Distribution (mathematics) dbpedia-fa:Distribution (mathematics) dbpedia-fr:Distribution (mathematics) dbpedia-hu:Distribution (mathematics) http://hy.dbpedia.org/resource/Ընդհանրացված_ֆունկցիա dbpedia-it:Distribution (mathematics) dbpedia-ja:Distribution (mathematics) dbpedia-kk:Distribution (mathematics) dbpedia-ko:Distribution (mathematics) dbpedia-nl:Distribution (mathematics) dbpedia-pl:Distribution (mathematics) dbpedia-pt:Distribution (mathematics) dbpedia-ru:Distribution (mathematics) dbpedia-simple:Distribution (mathematics) dbpedia-sv:Distribution (mathematics) http://tl.dbpedia.org/resource/Distribusyon_(matematika) dbpedia-uk:Distribution (mathematics) dbpedia-zh:Distribution (mathematics) https://global.dbpedia.org/id/52AyT yago-res:Distribution (mathematics) |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Distribution_(mathematics)?oldid=1123241352&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Bump.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Distribution_(mathematics) |
| is dbo:knownFor of | dbr:Gianfranco_Cimmino dbr:Laurent_Schwartz__Laurent_Schwartz__1 |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Distribution |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Operations_on_distributions dbr:Tempered_distribution dbr:Tempered_distributions dbr:Space_of_test_smooth_functions dbr:Schwartz_distribution dbr:Tensor_product_of_distributions dbr:Distributional_derivative dbr:Fubini's_theorem_for_distributions dbr:Test_function dbr:Test_functions dbr:Distribution_Theory dbr:Distribution_space dbr:Distributions_space dbr:Mathematical_distribution dbr:Space_of_distributions dbr:Space_of_smooth_test_functions dbr:Space_of_test_functions dbr:Theory_of_distributions |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Caccioppoli_set dbr:Calculus dbr:Propagator dbr:Pseudo-differential_operator dbr:Roman_Sikorski dbr:Scalar_field dbr:Elementary_effects_method dbr:List_of_atheists_in_science_and_technology dbr:Multiplier_(Fourier_analysis) dbr:Montel_space dbr:Sinkov_statistic dbr:Rigged_Hilbert_space dbr:Beppo-Levi_space dbr:Bessel_function dbr:Boehmians dbr:Bounded_variation dbr:De_Rham_cohomology dbr:Derivative dbr:Homogeneous_distribution dbr:Homogeneous_function dbr:Human dbr:List_of_Wesleyan_University_people dbr:List_of_trigonometric_identities dbr:Renormalization dbr:Riesz_potential dbr:Riesz_transform dbr:Current_(mathematics) dbr:Cylinder_set_measure dbr:Virial_theorem dbr:Vladimir_Bogachev dbr:Derrick's_theorem dbr:Dorina_Mitrea dbr:Duhamel's_principle dbr:Dynamic_Microsimulation_Model_of_the_Czech_Republic dbr:Index_of_genetics_articles dbr:Integral_equation dbr:Operator_algebra dbr:Lie_group–Lie_algebra_correspondence dbr:List_of_mathematical_functions dbr:List_of_mathematical_theories dbr:List_of_probability_distributions dbr:List_of_real_analysis_topics dbr:Sedimentary_rock dbr:Peakon dbr:Wealth_distribution_by_country dbr:Complete_topological_vector_space dbr:Convolution dbr:Convolution_theorem dbr:Gaussian_free_field dbr:Gelfand_pair dbr:General_linear_model dbr:Generalizations_of_the_derivative dbr:Nuclear_space dbr:Radial_function dbr:Operations_on_distributions dbr:Alexiewicz_norm dbr:Energy dbr:Fréchet–Urysohn_space dbr:Function_(mathematics) dbr:Fundamental_solution dbr:Generalized_function dbr:Georges_de_Rham dbr:Gianfranco_Cimmino dbr:Goodbye_to_Language dbr:Gravitational_potential dbr:Green's_function dbr:Mollifier dbr:Multi-index_notation dbr:Multipole_expansion dbr:Convolution_power dbr:Conway–Maxwell–binomial_distribution dbr:Coorbit_theory dbr:Theta_function dbr:Erdős_arcsine_law dbr:Military_supply-chain_management dbr:Bernstein–Sato_polynomial dbr:Linear_form dbr:Locally_convex_topological_vector_space dbr:Locally_integrable_function dbr:Calculus_on_Euclidean_space dbr:Sign_function dbr:Signorini_problem dbr:Singular_integral dbr:Singular_integral_operators_of_convolution_type dbr:Sobolev_space dbr:Colombeau_algebra dbr:Density_on_a_manifold dbr:Hardy_space dbr:Harish-Chandra_character dbr:Harmonic_analysis dbr:Helly's_selection_theorem dbr:Helmholtz_decomposition dbr:Identity_element dbr:John_Horvath_(mathematician) dbr:Phase_space dbr:Spectral_theory dbr:Mass_distribution dbr:P-adic_distribution dbr:Stokes_operator dbr:Banach_space dbr:C++11 dbr:Cauchy's_integral_formula dbr:Cauchy_principal_value dbr:Topological_vector_space dbr:Torsten_Carleman dbr:Twin_paradox dbr:Wave_packet dbr:Weak_solution dbr:Weak_topology dbr:White_noise dbr:Distribution_(differential_geometry) dbr:Distribution_(number_theory) dbr:Glauber–Sudarshan_P_representation dbr:Hecke_character dbr:Jesper_Lützen dbr:Laplacian_of_the_indicator dbr:Lions–Magenes_lemma dbr:Lobachevsky_integral_formula dbr:Princeton_Lectures_in_Analysis dbr:20th_century_in_science dbr:Dual_space dbr:Duality_(mathematics) dbr:Fourier_series dbr:Fourier_transform dbr:Fourier–Bros–Iagolnitzer_transform dbr:Causal_perturbation_theory dbr:Diamagnetic_inequality dbr:Dirac_comb dbr:Direct_methods_(electron_microscopy) dbr:Discretization dbr:Fourier–Mukai_transform dbr:History_of_mathematical_notation dbr:History_of_mathematics dbr:KMS_state dbr:Titchmarsh_convolution_theorem dbr:List_of_Fourier_analysis_topics dbr:Probability_density_function dbr:Malgrange–Ehrenpreis_theorem dbr:Universal_enveloping_algebra dbr:Martha_Guzmán_Partida dbr:Quasiregular_map dbr:Marion_Cohen dbr:Hagen_Kleinert dbr:Harmonic_function dbr:Heat_kernel dbr:Heaviside_step_function dbr:Hermite_polynomials dbr:Hilbert_transform dbr:Interpolation_space dbr:Israel_Gelfand dbr:Tempered_distribution dbr:Tempered_distributions dbr:Hydrological_model dbr:Hyperfunction dbr:Hypoelliptic_operator dbr:Arthur_Wightman dbr:Jewish_culture dbr:Kamioka_Observatory dbr:LF-space dbr:Laplace's_equation dbr:Laplace_transform dbr:Laurent_Schwartz dbr:Support_(mathematics) dbr:Surjection_of_Fréchet_spaces dbr:Symmetry_of_second_derivatives dbr:Coleman–Mandula_theorem dbr:Hierarchical_network_model dbr:Homological_integration dbr:Wightman_axioms dbr:Principal_part dbr:T(1)_theorem dbr:Differential_form dbr:Differential_forms_on_a_Riemann_surface dbr:Dirac_delta_function dbr:Dirac_measure dbr:Discrete-time_Fourier_transform dbr:Division_by_zero dbr:March_1915 dbr:Martinique dbr:Bump_function dbr:CICE_(sea_ice_model) dbr:Poisson_summation_formula dbr:Space_of_test_smooth_functions dbr:Spaces_of_test_functions_and_distributions dbr:Spectral_density dbr:Spectral_theorem dbr:Field_(physics) dbr:Fredholm_alternative dbr:Schwartz_distribution dbr:Tensor_product_of_distributions dbr:Initial_value_problem dbr:Injective_tensor_product dbr:Kolmogorov–Zurbenko_filter dbr:Michael_Atiyah dbr:Mikio_Sato dbr:Brown_measure dbr:ROOT dbr:Radial_distribution_function dbr:Self-adjoint_operator dbr:Sequential_space dbr:Sergei_Sobolev dbr:World_Happiness_Report dbr:Stochastic_partial_differential_equation dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Set_of_uniqueness dbr:Valuation_(measure_theory) dbr:Negentropy dbr:Newtonian_potential dbr:Wave_front_set dbr:Distribution dbr:Distributional_derivative dbr:Product_lifetime dbr:Oscillatory_integral dbr:Stochastic_simulation dbr:Refinable_function dbr:Stress–strength_analysis dbr:Pokhozhaev's_identity dbr:Singularity_function dbr:Finite_element_method dbr:Parametrix dbr:Weyl's_lemma_(Laplace_equation) dbr:Weierstrass_transform dbr:Schwinger_function dbr:Schwinger–Dyson_equation dbr:Moshe_Shaked dbr:Non-analytic_smooth_function dbr:Non-malleable_code dbr:Paley–Wiener_theorem dbr:Structure_tensor dbr:Vanish_at_infinity dbr:Singular_function dbr:Yang–Mills_existence_and_mass_gap dbr:Typical_subspace dbr:Science_and_technology_in_Russia dbr:Treatise_on_Analysis dbr:Fubini's_theorem_for_distributions dbr:Test_function dbr:Test_functions dbr:Distribution_Theory dbr:Distribution_space dbr:Distributions_space dbr:Mathematical_distribution dbr:Space_of_distributions dbr:Space_of_smooth_test_functions dbr:Space_of_test_functions dbr:Theory_of_distributions |
| is dbp:knownFor of | dbr:Laurent_Schwartz |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Nuclear_space dbr:Surjection_of_Fréchet_spaces dbr:Differentiable_vector–valued_functions_from_Euclidean_space |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Distribution_(mathematics) |
