Weil–Châtelet group (original) (raw)
数論幾何学のヴェイユ・シャトレ群（ヴェイユ・シャトレぐん、英: Weil–Châtelet group）、またはWC群（WC-group）とは、体K上定義されたアーベル多様体 A をはじめとする代数群に対して定義される群で、K上定義されたAについてのがなすアーベル群のことである。楕円曲線に対してこれを導入したと一般の場合にこれを導入したにちなみが名付けた。無限降下法と関連するので、アーベル多様体の数論、特に楕円曲線の数論において基本的な役割をはたす。 これはKの絶対ガロア群のガロアコホモロジーとして直接定義できる。代数体などの大域体と局所体の場合が特に関心を持たれている。Kが有限体のときは、楕円曲線についてのヴェイユ・シャトレ群が自明になることがで証明され、任意の連結代数群について自明になることがで証明されている。
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| dbo:abstract | In arithmetic geometry, the Weil–Châtelet group or WC-group of an algebraic group such as an abelian variety A defined over a field K is the abelian group of principal homogeneous spaces for A, defined over K. John Tate named it for François Châtelet who introduced it for elliptic curves, and André Weil, who introduced it for more general groups. It plays a basic role in the arithmetic of abelian varieties, in particular for elliptic curves, because of its connection with infinite descent. It can be defined directly from Galois cohomology, as , where is the absolute Galois group of K. It is of particular interest for local fields and global fields, such as algebraic number fields. For K a finite field, Friedrich Karl Schmidt proved that the Weil–Châtelet group is trivial for elliptic curves, and Serge Lang proved that it is trivial for any connected algebraic group. (en) 数論幾何学のヴェイユ・シャトレ群（ヴェイユ・シャトレぐん、英: Weil–Châtelet group）、またはWC群（WC-group）とは、体K上定義されたアーベル多様体 A をはじめとする代数群に対して定義される群で、K上定義されたAについてのがなすアーベル群のことである。楕円曲線に対してこれを導入したと一般の場合にこれを導入したにちなみが名付けた。無限降下法と関連するので、アーベル多様体の数論、特に楕円曲線の数論において基本的な役割をはたす。 これはKの絶対ガロア群のガロアコホモロジーとして直接定義できる。代数体などの大域体と局所体の場合が特に関心を持たれている。Kが有限体のときは、楕円曲線についてのヴェイユ・シャトレ群が自明になることがで証明され、任意の連結代数群について自明になることがで証明されている。 (ja) Inom aritmetisk geometri är Weil–Châteletgruppen eller WC-gruppen av en , såsom en abelsk varietet A definierad över en kropp K, den abelska gruppen av för A, definierad över K. ) uppkallade den efter, som introducerade den för elliptiska kurvor, och Weil, som introducerade den för mer allmänna grupper. Den spelar en grundläggande roll i , speciellt för elliptiska kurvor, p.g.a. dess samband med . Den kan även definieras direkt Galoiskohomologin som H1(GK,A), där GK är den absoluta Galoisgruppen av K. Den är av speciellt intresse för och , såsom algebraiska talkroppar. Om K är en ändlig kropp, bevisade ) att Weil–Châteletgruppen är trivial för alla elliptiska kurvor, och ) att den är trivial för alla algebraiska grupper. (sv) |
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