Local field (original) (raw)
En mathématiques, un corps local est un corps commutatif topologique localement compact pour une topologie non discrète. Sa topologie est alors définie par une valeur absolue. Les corps locaux interviennent de façon fondamentale en théorie algébrique des nombres.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Ein lokaler Körper ist in der Algebra und Zahlentheorie ein topologischer Körper, dessen zugrundeliegende Topologie lokalkompakt und nicht diskret ist.Die Topologie eines solchen Körpers lässt sich immer durch einen Betrag beschreiben.Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Typen von lokalen Körpern: Archimedische lokale Körper und Nicht-archimedische lokale Körper. Lokale Körper lassen sich vollständig klassifizieren: * Archimedische lokale Körper sind immer isomorph zu oder . * Nicht-archimedische lokale Körper der Charakteristik sind immer isomorph zu einer endlichen Körpererweiterung der -adischen Zahlen (für eine Primzahl ). * Nicht-archimedische lokale Körper der Charakteristik sind immer isomorph zum Körper der formalen Laurent-Reihen , wobei ein endlicher Körper der Charakteristik und eine formale Variable ist. Nicht-archimedische lokale Körper kann man äquivalent auch charakterisieren als Körper, die vollständig bezüglich einer nicht-trivialen diskreten Bewertung sind und einen endlichen Restklassenkörper besitzen. Solche lokale Körper treten in der algebraischen Zahlentheorie als Vervollständigungen von globalen Körpern auf. (de) En mathématiques, un corps local est un corps commutatif topologique localement compact pour une topologie non discrète. Sa topologie est alors définie par une valeur absolue. Les corps locaux interviennent de façon fondamentale en théorie algébrique des nombres. (fr) In mathematics, a field K is called a (non-Archimedean) local field if it is complete with respect to a topology induced by a discrete valuation v and if its residue field k is finite. Equivalently, a local field is a locally compact topological field with respect to a non-discrete topology. Sometimes, real numbers R, and the complex numbers C (with their standard topologies) are also defined to be local fields; this is the convention we will adopt below. Given a local field, the valuation defined on it can be of either of two types, each one corresponds to one of the two basic types of local fields: those in which the valuation is Archimedean and those in which it is not. In the first case, one calls the local field an Archimedean local field, in the second case, one calls it a non-Archimedean local field. Local fields arise naturally in number theory as completions of global fields. While Archimedean local fields have been quite well known in mathematics for at least 250 years, the first examples of non-Archimedean local fields, the fields of p-adic numbers for positive prime integer p, were introduced by Kurt Hensel at the end of the 19th century. Every local field is isomorphic (as a topological field) to one of the following: * Archimedean local fields (characteristic zero): the real numbers R, and the complex numbers C. * Non-Archimedean local fields of characteristic zero: finite extensions of the p-adic numbers Qp (where p is any prime number). * Non-Archimedean local fields of characteristic p (for p any given prime number): the field of formal Laurent series Fq((T)) over a finite field Fq, where q is a power of p. In particular, of importance in number theory, classes of local fields show up as the completions of algebraic number fields with respect to their discrete valuation corresponding to one of their maximal ideals. Research papers in modern number theory often consider a more general notion, requiring only that the residue field be perfect of positive characteristic, not necessarily finite. This article uses the former definition. (en) 대수적 수론에서 국소체(局所體, 영어: local field)는 위상체의 한 종류다. 대역체의 완비화로 얻어진다. (ko) 局所体(きょくしょたい、英: local field)とは、離散付値に対して完備であり、剰余体が有限体である付値体のことである。 局所体の定義としては、上に挙げたもの以外にもいくつかあり、そのうちの代表的なものを挙げる。これらは互いに同値な定義である。 1. * 局所体とは、非アルキメデス付値に対して完備であり、付値環がコンパクトである付値体のことである。 2. * 局所体とは、自明ではない乗法付値に対して連結ではない局所コンパクトな付値体のことである。 3. * 局所体とは、p進体もしくは有限体係数の1変数ベキ級数体の有限次代数拡大体と付値体として同型な付値体のことである。 応用上、局所体をp進体もしくは有限体係数の1変数ベキ級数体の有限次代数拡大体に限定することも多い。その場合、局所体を * 大域体(代数体もしくは有限体上の1変数代数関数体)の離散付値による完備化 と定義されることもある。このとき、大域体から局所体を得ることを局所化という。 上記の定義の他に、実数体や複素数体も局所体に含めることもある。これらが * アルキメデス付値に対して完備である。 * 連結である局所コンパクトな付値体である。 * 代数体のアルキメデス付値による完備化である。 と、上記局所体の定義とよく似た性質を持っているからである。 この場合、非アルキメデス付値による局所体を非アルキメデス的局所体、アルキメデス付値による局所体をアルキメデス的局所体という。 しかし実数体(複素数体)と p進体または1変数ベキ級数体とでは性質の異なる部分が多いので、ここでは当初の定義通り、特に断らない限り局所体といった場合、実数体や複素数体は含まれないとする。しかし、局所体との類似点や相違点を知るために、局所体の性質に対応する実数体や複素数体の結果も記述することにする。 なお、この項では局所体としての性質を記述し、p進体もしくはベキ級数体固有の性質については述べない。それらに対する詳細は個々の記事を参照のこと。 (ja) Em matemática, um corpo local é um tipo especial de corpo que é corpo topológico em relação a uma topologia não discreta. (pt) Локальне поле — певний тип полів з топологією, що часто виникають як поповнення полів. Ця топологія породжується для цих полів деяким абсолютним значенням. Локальні поля пов'язані із глобальними полями — скінченними розширеннями раціональних чисел і раціональних функцій однієї змінної над скінченними полями. (uk) Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей. (ru) 在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。 (zh) |
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