Global field (original) (raw)
Globale Körper sind die zentralen Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Der bekannteste globale Körper ist der der rationalen Zahlen. Demgegenüber entstehen lokale Körper durch Vervollständigungen globaler Körper.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matematiko, la termino malloka korpo signifas iun ajn el jeno: * , kio estas, de Q * de algebra kurbo super , kio estas, finihave generita korpo de karakteristiko p>0 de 1 Estas nombro de formalaj similecoj inter la du specoj de korpoj. Korpo de ĉu tipo havas la propraĵon, ke ĉiuj el ĝiaj (kompletigoj, plenigoj) estas loke kompaktaj korpoj (vidu: ). Ĉiu korpo de ĉu tipo povas esti komprenita kiel la korpo de frakcioj de en kiu ĉiu ne-nula idealo estas de finia indekso. En ĉiu okazo, estas la produta formulo por ne-nulaj eroj x: La analogio inter la du specoj de korpoj estas forta motiviganta forto en . La ideo de analogio inter nombraj korpoj kaj rimanaj surfacoj iras historien al Dedekindo kaj Vebero en la dek-naŭa jarcento. La pli severa analogio esprimita per la 'malloka korpo' ideo, en kiu Rimana surfaca aspekto kiel algebra kurbo estas mapita al kurboj difinitaj super finia korpo, estis konstruita supren dum la 1930-aj jaroj, kulminante en la Rimana hipotezo por lokaj ζ-funkcioj kvitiĝis per André Weil en 1940. La terminologio povas esti pro la Weil, kiu skribis lian Baza Nombra Teorio (1967) (iluzia titolo se iam tie estis) parte por ellabori la paraleladon. Estas kutime pli simple labori en la okazo de funkcia korpo kaj tiam provi ellabori paralelaj teknikoj sur la nombra korpo. La evoluo de la teorio de Arakelov kaj ĝia ekspluatado far Gerd Faltings en lia pruvo de la konjekto Mordell estas frapa ekzemplo. (eo) Globale Körper sind die zentralen Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Der bekannteste globale Körper ist der der rationalen Zahlen. Demgegenüber entstehen lokale Körper durch Vervollständigungen globaler Körper. (de) In mathematics, a global field is one of two type of fields (the other one is local field) which are characterized using valuations. There are two kinds of global fields: * Algebraic number field: A finite extension of * Global function field: The function field of an algebraic curve over a finite field, equivalently, a finite extension of , the field of rational functions in one variable over the finite field with elements. An axiomatic characterization of these fields via valuation theory was given by Emil Artin and George Whaples in the 1940s. (en) En mathématiques, un corps global est un corps d'un des types suivants : * un corps de nombres, c'est-à-dire une extension finie de ℚ * un corps de fonctions d'une courbe algébrique sur un corps fini, c'est-à-dire une extension finie du corps k(t) des fractions rationnelles à une variable à coefficients dans un corps fini k (de façon équivalente, c'est un corps de type fini et de degré de transcendance 1 sur un corps fini). Emil Artin et George Whaples ont donné une caractérisation axiomatique de ces corps via la théorie des valuations. Il existe de nombreuses similarités formelles entre ces deux types de corps. Un corps de l'un ou de l'autre type possède la propriété que toutes ses complétions sont des corps localement compacts (voir corps locaux). Chaque corps de l'un ou de l'autre type peut être vu comme le corps des fractions d'un anneau de Dedekind dans lequel chaque idéal non nul est d'indice fini. Dans chaque cas, on a la formule du produit pour les éléments x non nuls : L'analogie entre ces deux approches a été source d'une grande motivation pour la théorie algébrique des nombres. L'idée d'une analogie entre les corps de nombres et les surfaces de Riemann remonte à Richard Dedekind et Heinrich Weber, au XIXe siècle. L'analogie plus stricte exprimée par l'idée de corps global, dans laquelle l'aspect d'une surface de Riemann en tant que courbe algébrique correspond à des courbes définies sur un corps fini, a été construite dans les années 1930 et a culminé avec la résolution de l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis par André Weil en 1940. La terminologie est due à Weil, qui écrivit en 1967 Basic Number Theory, en partie pour élaborer le parallèle. Il est généralement plus facile de travailler dans le cas des corps de fonctions puis d'essayer de développer des techniques similaires du côté des corps de nombres. Le développement de la théorie d'Arakelov et son exploitation par Gerd Faltings dans sa démonstration de la conjecture de Mordell est un exemple spectaculaire. L'analogie a également joué un rôle dans le développement de la théorie d'Iwasawa et (en). La preuve du (en) dans le programme de Langlands a aussi utilisé des techniques réduisant le cas des corps de nombres à celui des corps de fonctions. (fr) In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn globale lichamen (Nederlands-Nederlands) of velden (Belgisch-Nederlands) de centrale objecten van studie. Globale lichamen/velden generaliseren lichamen van rationale getallen. Onder een globaal lichaam/veld worden twee verschillende zaken verstaan: * een algebraïsch getallenlichaam, dat wil zeggen een eindige uitbreiding van (het lichaam/veld van de rationale getallen) * een globaal functielichaam/-veld, dat wil zeggen het functielichaam/-veld van een algebraïsche kromme over een eindig lichaam/veld, of op equivalente wijze, een eindige uitbreiding van , het lichaam/veld van de rationale functies in één variabele over het eindige lichaam/veld met elementen. (nl) 대수적 수론에서 대역체(大域體, 영어: global field)는 대수적 수체 및 이와 유사한 함수체를 통틀어 이르는 개념이다. (ko) 数学において、大域体（たいいきたい、英: global field）とは、次のいずれかの体のことを言う。 * 代数体、すなわち、Q の有限次拡大。 * 大域函数体 (global function field)、すなわち、有限体上の代数曲線の函数体、同じことであるが、q 個の元を持つ有限体上の一変数有理函数体 Fq(T) の有限拡大 付値論を通したこれらの体の公理的特徴付けは、エミール・アルティン とにより1940年代に与えられた。 この2種類の体の間には形式的な共通点がいくつかある。どちらの体も、完備化が常に局所コンパクト体であるという性質を持っている（局所体を参照）。どちらの体も、零でない全てのイデアルが有限指数であるデデキント整域の分数体として実現できる。どちらの体でも、零でない元 x の積公式 が成り立つ。 2種類の体の間の類似は、代数的整数論の強い動機付けとなってきた。数体とリーマン面の類似という考え方は、19世紀のリヒャルト・デーデキント (Richard Dedekind) や (Heinrich M. Weber) まで遡る。代数曲線としてのリーマン面の一側面が有限体上定義された曲線へ写像される、'大域体'のアイデアによるより強い類似は、1930年代に作り上げられ、1940年にアンドレ・ヴェイユ (André Weil) により解決された有限体上の曲線のリーマン予想で全盛をきわめた。用語はヴェイユによるのであろう。彼は Basic Number Theory (1967) を出版し、その中でこれらの平行性を記述した。 普通は函数体の方が容易で先に遂行し、数体の上で平行するテクニックを開発する。の発展とゲルト・ファルティングス (Gerd Faltings) がモーデル予想の証明にそれを利用したことは、劇的な例である。類似はまた、岩澤理論の発展と岩澤主予想へも影響している。ラングランズ・プログラムのの証明でも、数体の場合を函数体の場合へ帰着させるテクニックを使った。 (ja) Ciała globalne – skończone rozszerzenia ciała liczb wymiernych (zwane ciałami liczb algebraicznych) oraz ciała funkcji wymiernych jednej zmiennej nad ciałami -elementowymi (zwane globalnymi cialami funkcyjnymi). (pl) Глобальное поле — это поле одного из двух видов: * поле алгебраических чисел, то есть конечное расширение поля рациональных чисел , или * глобальное поле функций, то есть на алгебраической кривой над конечным полем, или эквивалентно, конечное расширение — поля рациональных функций от одной переменной над конечным полем из элементов. Аксиоматическая характеризация таких полей через была дана Эмилем Артином и в 1940-м. (ru) 整體域是代數數論研究的主要對象，分成兩類： * 數域：即有理數域 的有限擴張。 * 函數域：這裡是指某個有限域 上有理函數域 的有限擴張。 整體域與局部域相對，整體域對一賦值作完備化便成為局部域。局部域上的分析較為簡單；數學家通常先由局部域入手，再透過阿代爾環之構造研究整體情形。 戴德金與安里西·韋伯在19世紀末首先發現了數域與黎曼曲面的類比； 類比於複射影直線 ，有限擴張類比於分歧覆疊。安德烈·韋伊在1940年提出代數曲線的黎曼猜想，可視作此想法的進一步發展。 代數數論關心的課題原是數域，然而許多猜想或定理都有函數域上的類比，而後者技術上通常比較簡單。因此，研究函數域有助於啟示或釐清數域的情形。模型論上也有手法能將一些函數域的性質轉移至數域。 (zh) |
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| rdfs:label | Globaler Körper (de) Malloka korpo (eo) Global field (en) Corps global (fr) 대역체 (ko) 大域体 (ja) Globaal lichaam (Ned) / Globaal veld (Be) (nl) Ciało globalne (pl) Глобальное поле (ru) 整體域 (zh) |
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